第五章微分中值定理及应用 §1微分中值定理 1.证明:(1)方程x3-3x+c=0(c是常数)在区间[,1内不可能有两个不同的实 根 (2)方程x"+px+q=0(n为正整数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实 根;当n为奇数时至多有三个实根 2.设f(x)=x"(1-x)”,m,n为正整数,x∈[0,1],则存在ξ∈(0,1),使 3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1)|sinx-inys|x-yxy∈(-0+∞) )anxx∈(-22)等号成立当且仅当x=0 (3)ex>1+x.x≠0 (4) < y y 0<x< (5) arctan<x.x> 0. 4.设函数在点a具有连续的二阶导数,证明 li f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=f(a) h 5.设lmf(x)=a,求证:任意T>0,有 x→+ lim [ f(x+r)-f(x)= Ta 6.函数∫(x)在[a,b可导,其中a≥0,证明:存在5∈(a,b),使得 5f(b)-f(a)=(b2-a2)f() 7.设f(x)在(a,+∞)上可导,且limf(x)=limf(x)=A。求证:存在∈(a,+∞) 使∫(5)=0。 8.设∫(x)可导,求证:f(x)在两零点之间一定有∫(x)+∫(x)的零点第五章 微分中值定理及应用 §1 微分中值定理 1．证明：（1）方程 3 x x c − + = 3 0 （ c 是常数）在区间 [0,1] 内不可能有两个不同的实 根； （2）方程 n x 0 + + = px q （ n 为正整数， p q, 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实 根；当 n 为奇数时至多有三个实根。 2．设 ( ) (1 ) , , m n f x x x m n = − 为正整数， x [0,1] ，则存在   (0,1) ，使 1 m n   = − 3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） sin sin , , ( , ); x y x y x y −  −  − + （2） tan , ( , ), 2 2 x x x     − 等号成立当且仅当 x = 0 ； （3） 1 , 0; x e x x  +  （4） ln ,0 ; y x y y x x y y x x − −     （5） 2 arctan , 0. 1 x x x x x    + 4．设函数在点 a 具有连续的二阶导数，证明 '' 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) lim ( ). h f a h f a h f a f a → h + + − − = 5．设 ' lim ( ) x f x a →+ = ，求证：任意 T  0 ，有 lim [ ( ) ( )] . x f x T f x Ta →+ + − = 6． 函数 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，其中 a  0 ，证明：存在   ( , ) a b ，使得 2 2 ' 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ).   f b f a b a f − = − 7．设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导，且 lim ( ) lim ( ) x a x f x f x A → + → = = 。求证：存在   + ( , ) a ， 使 ' f ( ) 0  = 。 8．设 f x( ) 可导，求证： f x( ) 在两零点之间一定有 ' f x f x ( ) ( ) + 的零点