解:f=(x+y+z)2+y2+4yz+3z2=(x )2-z2 (3分) w-Xtytz (3分) 得f=w2+u2v2 (2分) 显然该二次型不是正定的 十、(6分)设向量组a1,a2,…,as线性无关,但加上向量B后线性相关,试证向 量β可由向量组a,a2,,as线性表示 证:由a1,a2,…,as,β线性相关知,存在不全为零的数k,k2,,k,ko,使 ki a 1+k,a 2+.+ks a st ko b=0 由a1,a2,,as线性无关知,上式中k必不为0,从而得 B 即β可由向量组a,a2,,as线性表示 第4页共4页第 4 页 共 4 页 解：f=(x+y+z) 2+ y 2+4yz+3z 2=(x+y+z) 2+ (y+2z) 2-z 2 (3 分) 令 w=x+y+z u=y+2z v=z 即 x=w-u+v y=u-2v z=v (3 分) 得 f=w2+u 2-v 2 (2 分) 显然该二次型不是正定的． (2 分) 十、(6 分)设向量组α1, α2, …, αs 线性无关，但加上向量β后线性相关，试证向 量β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示． 证：由α1, α2, …, αs, β线性相关知，存在不全为零的数 k1, k2,…, ks, k0,使 k1α1+k2α2+…+ ksαs+ k0β=0 由α1, α2, …, αs线性无关知，上式中 k0必不为 0，从而得 β= k1 k0 α1+ k2 k0 α2+…+ ksk0 αs 即β可由向量组α1, α2, …, αs线性表示．