2-97 305 322 解:由于A的各阶顺序主子式 2-9 2130.|032120,但0323|0 所以矩阵A不是正定矩阵 八、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解. x1+x2-X3+x4=1 +4x2-3x3+5X4=2 解:增广矩阵 1-111 4-35-2 4-35-2 21-3410-75-95 -75-95 (4分) 方程组有解,令ⅹ=0,x4=0得x2=5/7,x1=6/7,非齐次方程组的特解为 (2分) 对应的齐次线性方程组,令x=c1,x=c2,得x2=5c/7-9/7c2,x1=c1/7+c2/7, 齐次方程组的通解为 非齐次方程组的通解为 9701 0 九、(10分)试用配方法寻求可逆线性变换X=CY,把下面二次型化为标准形,并 判别其是否正定.二次型为 f(x, y, z)=x2+2y2+4z2+2xy+6yz+2zX 第3页共4页第 3 页 共 4 页 A= 1 2 -9 7 0 3 -2 3 0 0 4 2 1 5 -7 12 解：由于 A 的各阶顺序主子式 1>0, |1 2 0 3 |=3>0, | 1 2 -9 0 3 -2 0 0 4 |=12>0, 但| 1 2 -9 7 0 3 -2 3 0 0 4 2 1 5 -7 12| =0 所以矩阵 A 不是正定矩阵． 八、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． 2x1+x2-x3+x4=1 3x1-2x2+x3-3x4=4 x1+4x2-3x3+5x4=-2 解：增广矩阵 B= 2 1 -1 1 1 3 -2 1 -3 4 1 4 -3 5 -2 ~ 1 4 -3 5 -2 0 -7 5 -9 5 0 -14 10 -18 10 ~ 1 4 -3 5 -2 0 -7 5 -9 5 0 0 0 0 0 (4 分) 方程组有解，令 x3=0,x4=0 得 x2=-5/7, x1=6/7,非齐次方程组的特解为 x1 x2 x3 x4 = 6 7 -5 7 0 0 (2 分) 对应的齐次线性方程组，令 x3=c1,x4= c2,得 x2= 5c1/7-9/7c2, x1= c1/7+ c2/7, 齐次方程组的通解为 x1 x2 x3 x4 = c1 1 7 5 7 1 0 +c2 1 7 -9 7 0 1 (4 分) 非齐次方程组的通解为 x1 x2 x3 x4 = c1 1 7 5 7 1 0 +c2 1 7 -9 7 0 1 + 6 7 -5 7 0 0 (2 分) 九、（10 分）试用配方法寻求可逆线性变换 X=CY，把下面二次型化为标准形，并 判别其是否正定．二次型为 f(x,y,z)=x 2+2y 2+4z 2+2xy+6yz+2zx