010 从上面的几个典型物理系统的数学模型可以看出,很多系统虽然具有不同的物理特性 但却具有相同形式的数学模型。例如,例2.1所示弹簧阻尼器系统和例2.2所示RLC网络, 都可以用2个1阶线性常微分方程描述。 2.2.3线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式 1.单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统,状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系, 输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此,单输入单输出(SISO)n阶线性系 统状态空间表达式的一般形式为 x,=aux+anx?+.+alnxn+b,l x2=a2151+a22x2++a2nxn+b2u (2.7a) xn=anx1+an2x2+……+amxn+bnl y=Cx+C2x2+.+C,rn+du (2.7b) 写成矩阵形式 a2n. b2 (2.8a) +du (2.8b) 或表示为 x=Ax+ Bu y=Cx+du (2.9b) 其中,x=[x1x2…xnJ,A={an}mw,B=b1b2…bn,C=k1c2…cn],d 为常数,称为直接传递。 2.多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有r个输入、m个输出的n阶多输入多输出(MIMO)线性系统的状态方程为 x1=a1 x2=a21x1+a22x2+…+a2nxn+b211+b122+…+b2lr (2.10a) amman+bnu+6m2u2+.+burl 输出方程为(2.6c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 x x x y y 从上面的几个典型物理系统的数学模型可以看出，很多系统虽然具有不同的物理特性， 但却具有相同形式的数学模型。例如，例 2.1 所示弹簧阻尼器系统和例 2.2 所示 RLC 网络， 都可以用 2 个 1 阶线性常微分方程描述。 2.2.3 线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式。 1. 单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系， 输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输出（SISO）n 阶线性系 统状态空间表达式的一般形式为 (2.7a) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + = + + + + = + + + + x a x a x a x b u x a x a x a x b u x a x a x a x b u n n n nn n n n n n n & L M & L & L 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 2 1 11 1 12 2 1 1 y = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn + du (2.7b) 写成矩阵形式 u (2.8a) b b b x a a a a a a a a a x n n nn n n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M L M L L & 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 y = [c1 c2 L cn ]x + du (2.8b) 或表示为 x& = Ax + Bu (2.9a) y = Cx + du (2.9b) 其中，x = [ ] x1 x2 L xn T ，A = {aij }n×n ， [ ] T B = b1 b2 L bn ， [ ] n C c c L c = 1 2 ，d 为常数，称为直接传递。 2. 多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有 r 个输入、 m 个输出的 n 阶多输入多输出（MIMO）线性系统的状态方程为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + n n n nn n n n nr r n n r r n n r r x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u & L L M & L L & L L 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 12 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 (2.10a) 输出方程为