第92讲正项级数审敛法 409 (1)若0<A<+∞(即A为一正常数),则∑n与∑v同时收敛或同时发散 2)若A=0,且∑v收敛则∑u收敛; (3)若A=+∞,且∑v发散则∑u发散 使用比较审敛法时,常选用的参照级数有 (i)几何级数 2m=1=,H1<1 发散,|r|≥1 (i)p一级数∑ 1/收敛,当p>1时; n21发散,当p≤1时. 由比较判别法可推出如下常用的简易判别法: (1)若分母关于n的最高次数q比分子关于n的最高次数p大1(即q-p>1)时,级 数∑u(un>0)收敛,当q-p≤1时级数∑u,发散 (2)若当n→∞时,u,~v,(即un,是同阶无穷小),则∑an与∑v具有相同的敛散性 例3判别下列级数的收敛性: (1)∑,1;(2)S3(3)∑ (4)>sin; n(n+1) arctan (5)∑√n1n(1+,); (6) (7)∑ (7 (n+1)"1 (8) cOS x)"(p 解(1)因ln(n+1)<n、所n(n+1)n 1而、发散,故∑ln(n+1发散 (2)因sinx<,而∑收敛故∑sn收敛 (3)由于lim=1,im√an=1,此时比值及根值审敛法均失效.可转而考虑比较判 别法. 因为a,=√m(n2+≤n ≤1=b,而∑b收敛,所以∑ 收敛 n(n2+1) (4)虽然显见sin1<1,但由∑发散,却不能判定级数∑sn的敛散性转而由 重要极限lim SInT x=1知lm 10=1,由比较法的极限形式及》 发散知,Sin上发散 (5)解法1因为当x>0时,有1n(1+x)<x,所以√nln(1+1)<Xn=1, 从而由∑收敛可知∑√nm(+1收敛 解法2易见当n→∞时,m(1+1)~,从而√nn(1+)~1.已知>↓收 敛由比较审敛法的等价无穷小形式知,√nln(1+1)收敛