410 高等数学重点难点100讲 arctan (6)当n→∞时,易见 1)+1 =,由比较审敛法的等价无穷小 arctan 形式知, 4√n(n2-1)+1 收敛 (7)分母、分子关于n的最高次数分别为n+1,n-1,其差为2,所以所给级数收敛.事 实上,由比较法的极限形式得: m-oo (n +1)*=lim (1+-)+ (8)因为当x→0时,1-c08x~2·所以当n→+∞时,(1-con)~(2川7xy 2‘m,易见级数>(1-cos)当p>2时收敛;当0<P≤方时发散 下面将使用比较判别法,选取参照级数的一般方法归纳如下: 1.通项放缩法 例4讨论 1!+2!+…+n! (n+3)! 的敛散性 解通项u=1+2…,2<型+m+型=m2 (n+1)(n+2)(n+3)(n+2)(n+3)S√3 由∑,收敛知原级数收敛 例5判断级数习amy(p>0)的敛散性 解由罗比塔法则易证:对任意的正数a,,恒有ln(nx)=0.所以,不论a为怎样 大的正数,B为怎样小的正数,只要它们是固定的常数,则从某一个n开始总有:(nn)<n2, 特别地有:(lnn)<n,或 (Inn)' 由 发散知 4(Inn 发散 同理可证,对任意正数aP恒有limh=0(a>1) 2.对通项恒等变形,寻找参照级数 例6讨论∑n的敛散性(其中,x为参数) 解注意到x的变化范围为(0,+∞),通项,=n=(n-)=.当l2 1即0<x<1时,原级数收敛;当1n1≤1即x≥1时,原级数发散 3.取绝对值法 例7研究级数∑2i的绝对收敛性