分°,(Ax4≤∑∑M(a()+())Ax△y M C∑0,(AxA,+M∑∑o,(Ax4y ≤M∑∑oGAx+M∑oG2)∑△r ≤M(b2-a2)E+M(b1-a1)=M[(b2-a2)+(b1-a1 因此,函数∫(x,y)=f1(x)f2(y)在矩形域D=[a1,b1]×{a2,b2]上可积,且 J/=m∑∑(5)(mAxA m∑()文5A=不广 (二).二重积分换元公式的证明(简证) 主要是证明换算公式ddp=(x,y)ddhv a(u, v) 设函数u=l(x,y),v=v(x,y)在XOY平面上的区域D内有连续的偏导数 在此变换之下,YOY平面上的区域D变为U平面上的区域D’,且设 a(x,y) 引理=l(x,y),v=v(x,y)如上所述,又设在XOY平面上有一块包含点 (x,y)的区域σ,点(x,y)和σ都在D内.通过变换u=l(x,y),v=v(x,y) 将点(x,y)变换为UV平面上一点(,v),将变换为U平面上包含点(,v)的 一块区域σ’那么当G无限地向点(x,y)收缩时,它们的面积之比的极限 为|J|,即 σ*(a) y)lo1 a(x,y) 证明思路 i>在D内取出一点A(x,y),作一个矩形ABCD(边与坐标轴平行,字母∑∑= = ≤ΔΔ⋅ m j n i ij ji yxff 1 1 21 ω )( ∑∑ ( ) = = ΔΔ+ m j n i i j ji yxffM 1 1 1 2 ωω )()( ≤ ∑∑ + = = ΔΔ m j n i i ji M yxf 1 1 1 ω )( ∑∑= = ΔΔ m j n i j ji M yxf 1 1 2 ω )( ≤ ∑ ∑ = = Δ +Δ m j n i ij i xfyM 1 1 1 ω )( ∑ ∑ = = ΔΔ m j n i j ij xyfM 1 1 2 ω )( )]()[()()( 22 11 1122 ε ε =−+−≤ ε − + − ababMabMabM . 因此 , 函数 = 21 yfxfyxf )()(),( 在矩形域 ],[],[ 2211 = × babaD 上可积 , 且 ∫ → = D T f 0|||| lim ∑∑= = ΔΔ m j n i jiji yxff 1 1 21 ηξ )()( . 0|||| 0|||| 2 1 lim → → = T T ∑ ∑ ∫ ∫⋅=Δ⋅Δ = = 1 1 2 2 21 1 1 2 1 )()( b a b a m j n i jj ii η ξ ffxfyf （二）. 二重积分换元公式的证明 ( 简证 ): 主要是证明换算公式 dudv vu yx dxdy ),( ),( ∂ ∂ = . 设函数 在 平面上的区域 内有连续的偏导数 . 在此变换之下 , 平面上的区域 变为 UV 平面上的区域 = = yxvvyxuu ),( , ),( XOY D XOY D D′ , 且 设 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ = vu yx J . 引理 如上所述, 又设在 平面上有一块包含点 的区域 = = yxvvyxuu ),( , ),( XOY yx ),( σ , 点 和yx ),( σ 都在 D 内 . 通过变换 = = yxvvyxuu ),( , ),( 将点 变换为 yx ),( UV 平面上一点 vu ),( , 将σ 变换为UV 平面上包含点 的 一块区域 .那么当 vu ),( * σ σ 无限地向点 收缩时 yx ),( , 它们的面积之比 || || * σ σ 的极限 为 J || , 即 ),( ),( || |*| lim ),( yx vu yx ∂ ∂ = → σ σ σ . 证明思路: ⅰ> 在 D 内取出一点 yxA ),( , 作一个矩形 ABCD ( 边与坐标轴平行, 字母 241