ExP273-275 重积分可积性与换元公式(2时) (一).可积性:回顾一元函数可积条件的讨论 h函数f(x,y)在ⅪOy平面上可求面积区域D上(R)可积分对VE>0 存在区域D的分割T,使得∑0,AD<E.这里O,为函数f(x,y)在△D上 的振幅,即O=supf(x,y)-nff(x,y)=sup|f(P)-f(P2) B,P2∈△ 例1设f(x,y)=f1(x)2(y)为定义在矩形域D=[a1,b1]×{a2,b2]上的函数 若函数f在[a1b1]上可积,f2在[a2b2]上可积.则函数∫在D上可积 且 f=」f2 证对VE>0,存在区间[a1,b]的分法T和区间[a2b2]的分法72,使 ∑ ()Ax,<,∑o()Ay<E 这里o(1)=sup|f(x)-f(x"), r rEr-i,rI (2)=sup|2()-/2() y',yElyr-1 ',I 71×72构成D的一个分割,在第订个小矩形Ax1×△y/上,注意到 lf(x)f2(y)-f1(x")2(y) =f1(x)(y)-f(x”)f2(y)+f1(x")f2(y)-f1(x")2(y”)≤ ≤|f2(y")‖f(x)-f(x”)+|f1(x)‖f2(y)-f2(y”) →2O)=sup|f(x)2(y)-f1(x”)2(y”) (x,y')(x",y)e△x ≤sup|f2(y")‖f(x)-f1(x")+ supI f(x”)‖f2(y)-f2(y” ≤Mo,()+Mo,(/2),其中f1(x)M,|f2(y)M 于是在D的分割71×T2之下,有Ex P273—275. 三、二重积分可积性与换元公式 ( 2 时 ) （一）． 可积性：回顾一元函数可积条件的讨论. Th 函数 yxf ),( 在 XOY 平面上可求面积区域 D 上(R)可积 ⇔ 对 ∀ε > 0 , 存在区域 的分割 D T , 使得 ∑ Dii <Δ εω . 这里ω i 为函数 yxf ),( 在 ΔDi 上 的振幅 , 即 |)()(|sup),(inf),(sup 1 2 , 21 yxfyxf PfPf i i i DPP D D i = − = − Δ∈ Δ Δ ω . 例1 设 = 21 yfxfyxf )()(),( 为定义在矩形域 ],[],[ 2211 = × babaD 上的函数. 若函数 在 上可积 , 在 上可积 . 则函数 在 上可积 , 且 1f ],[ 11 ba 2 f ],[ 22 ba f D . ∫ ∫ ⋅= D b a b a fff 2 2 1 1 ∫ 21 证 对 ε >∀ 0 , 存在区间 的分法 和区间 的分法 ba 11 ],[ T1 ba 22 ],[ T2 , 使 ∑ , ∑ . = <Δ n i i i xf 1 1 ω )( ε = <Δ m j j j yf 1 2 ω )( ε 这里 |)()(|sup)( 1 1 ],[, 1 1 f xfxf ii xxxx i = ′ − ′′ ∈ − ′′′ ω , |)()(|sup)( 2 2 ],[, 2 1 f yfyf jj yyyy j = ′ − ′′ ∈ − ′′′ ω . ×TT 21 构成 的一个分割 D , 在第 个小矩形 ij ji Δ × Δyx 上 , 注意到 21 ′′ − ′′ 21 yfxfyfxf ′′ |)()()()(| = = 21 ′′ − 21 ′′′ + ′′ 21 ′ − ′′ 21 yfxfyfxfyfxfyfxf ′′ |)()()()()()()()(| ≤ |)()(||)(||)()(||)(| 2 1 1 1 2 2 ≤ ′′′ − ′′ + ′′ ′ − yfyfxfxfxfyf ′′ . ⇒ ω ij f )( = )()()()(|sup | 21 21 ),(),,( yfxfyfxf ji yxyxyx ′ ′ − ′′ ′′ ′′′′′′ ΔΔ∈ |)()(||)(|sup|)()(||)(|sup 2 1 1 1 2 2 ≤ ′′ ′ − ′′ + ′′ ′ − yfyfxfxfxfyf ′′ )()( 1 2 ≤ ωi + ω j fMfM , 其中 ≤ |)(| , |)(| ≤ MyfMxf1 2 . 于是在 的分割 之下 D ×TT 21 , 有 240