第二组:G(x,y,a)=0,G(x,y,b)=0,(a<b) 可试用变换F(x,y,u)=0,G(x,y,v)=0.(u,v)∈[p,q;a,b].从中解 出x=x(lu,v),y=y(u,v).在此变换之下,区域D变成U/平面上的矩形区域 [p,q]×[a,b] 例10求由抛物线y2=mx,y2=nx(0<m<n)和直线 y=ax,y=【(0<a<B)所围平面区域D的面积。 2.极坐标与广义极坐标变换: 极坐标变换:x=rcos,y=rsmO,(x,y)=r a(r,) 广义极坐标变换:x= ar coS,y= brsin 0 la(x,y)=ab 例1∫ ysl V 例12( Viviani问题)求球体x2+y2+z2≤R2被圆柱面x2+y2=Rx所割 下立体的体积 例13应用二重积分求广义积分jed 例14求橢球体二++二≤1的体积 三、积分换序: 例15f连续对积分[!f(x,y)换序 dyl, f(x, y)dx 例16厂连续,对积分∫上(xy换序 dxh f(x, y)dy+l dx, f(, y)dy 例17计算积分[d[edr 例18求积分I (b>a>0) 239第二组: = byxGayxG = < ba ) ( , 0),,( , 0),,( . 可试用变换 = vyxGuyxF = 0),,( , 0),,( . ∈ baqpvu ] , ; , [) , ( . 从中解 出 . 在此变换之下, 区域 变成UV 平面上的矩形区域 . = = vuyyvuxx ),( , ),( D × baqp ] , [ ] , [ 例 10 求由抛物线 ) 0 ( , 和 直 线 2 2 <<== nmnxymxy α , == βxyxy α << β 0 ( ) 所围平面区域 的面积。 D 2. 极坐标与广义极坐标变换: 极坐标变换: = θ = ryrx sin , cos θ , r r yx = ∂ ∂ ),( ),( θ . 广义极坐标变换: = arx θ = bry sin , cos θ , abr r yx = ∂ ∂ ),( ),( θ . 例 11 ∫∫ ≤+ −− 4 1 22 22 1 yx yx dxdy . 例 12 ( Viviani 问题 ) 求球体 被圆柱面 所割 下立体的体积 . 2222 ≤++ Rzyx =+ Rxyx 22 例 13 应用二重积分求广义积分 . ∫ +∞ − 0 2 dxe x 例 14 求橢球体 1 2 2 2 2 2 2 ≤++ c z b y a x 的体积. 三、积分换序: 例 15 f 连续 . 对积分 换序. . ∫ ∫ e x dyyxfdx 1 ln 0 ),( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ 1 0 ),( e e y dxyxfdy 例 16 f 连续 . 对积分 ∫ ∫ 4 1 1 ),( dxyxfdy y y 换序. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫ ∫∫ 1 4 1 4 1 2 1 4 2 ),( ),( x x dyyxfdxdyyxfdx . 例 17 计算积分 . ∫ ∫ 1 0 1 2 y x dxedy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − )1( 2 1 e . 239 例18 求积分 ∫ >> − = 1 0 ) 0 ( . ln abdx x xx I ab