16/=[xe"dxdy, D:x=0,y=l,y=x 例7求底半径为R的两直交圆柱所围立体的体积 二重积分换元 换元公式:设变换x=x1),y=y1)的0Mxy)≠0,则 a(,v) f(x,y)dxdy=If(r(u, v),y(u, v) a(x, duds a(l,) 其中D’是在该变换的逆变换u=u(x,y),v=v(x,y)下XY平面上的区域D在 U平面上的象.由条件y)≠0,这里的逆变换是存在的 a(,v) 般先引出变换=(x,y),v=v(x,y),由此求出变换 x=x(u, v ),y=y(u,,) a(x,=au, v)- a(u,v)a(x,y) 例 dxd 0,x+y=1 D 註当被积函数形如∫(a1x+by+c1,a2x+b2y+c2)(a1b2≠a2b1),积分 区域为直线型时,可试用线性变换l=a1x+by+c1,v=a2x+b2y+c2 例9「x 解设n=2,y=xy,则(n,y)∈[,2;1,3] x a(u,v) X a(,y) a(u, v) 2y 註若区域D是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设 区域D由以下两组曲线围成 第一组:F(x,y,p)=0,F(x,y,q)=0,(p<q) 238例 6 , ∫∫ − = D y dxdyexI 2 2 = = , 1 , 0 : = xyyxD . 例 7 求底半径为 R 的两直交圆柱所围立体的体积 . 二. 二重积分换元: 1. 换元公式: 设变换 = = vuyyvuxx ),( , ),( 的 Jacobi 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ vu yx , 则 ( ) ∫∫ ∫∫′ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf ),( ),( ),( ),( , ),( , 其中 是在该变换的逆变换 D′ = = yxvvyxuu ),( , ),( 下 XY 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 D UV 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ vu yx , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换 = = yxvvyxuu ),( , ),( , 由此求出变换 = = vuyyvuxx ),( , ),( .而 1 ),( ),( ),( ),( − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ yx vu vu yx . 例 8 ∫∫ + − D yx yx dxdye , == + yxyxD = 1 , 0 , 0 : . 註 当被积函数形如 ( , ) ( ) 1221222111 ++ + + ≠ babacybxacybxaf , 积分 区域为直线型时, 可试用线性变换 111 222 = + + , = + + cybxavcybxau . 例 9 , ∫∫ dxdyyx 22 D x y x yxyxyD 3 , 1 , 2 , 2 1 : ==== . 解 设 xyv x y u , == . 则 ] 3 , 1 ; 2 , 2 1 vu ∈ [) , ( . x y xy x x y yx vu 2 1 ),( ),( 2 = − = ∂ ∂ ， ⇒ uy x vu yx 2 1 2),( ),( == ∂ ∂ . 因此 , ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ′ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅=⋅= D D u v u du dvvdudv u v 3 1 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2ln 3 26 ln 32 1 2 1 2 1 . 註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域. 设 区域 由以下两组曲线围成 : D D 第一组: = qyxFpyxF = < qp ) ( , 0),,( , 0),,( ; 238