一个球对称的势的“像电荷”也应当对称分布) §44本征函数展开法 本节介绍的是静电学的一个相当普适的方法,大家学习时应仔细体会。基 本上,我们面临的一类问题是在某种边界条件下求解拉普拉斯方程 (44.1) “源”的作用通过边界条件显现出来。据不同的边界形状,我们可以选取适当的 坐标系,用分离变量法求解拉普拉斯方程的通解。假设我们得到了这组解 {n,n=1.2…},它们通常是正交完备的:(qn)=m根据完备性,我们一定 可以将g展开成这组本征态的线性叠加 ∑Cn9 (44.2) (442)一定是(44.1)的解,但不一定满足所要求的边界条件。必须根据边界 条件及本征函数的正交性来确定展开系数Cn。比如通常的边界条件是 Po 其中ξ是界面上的位置变量。根据本征函数的正交性,我们很容易得到展开系数 的表达式 Cn=q2(5)0(5d5 (444) 下面总结一下不同坐标系下的本征函数及它们的正交性。我们应当根据所面临的 问题的对称性选择合适的通解形式进行求解。 (1)轴对称的球坐标系问题(与变量φ无关) 对此类问题, Laplace方程的本征解为rP(cos),rP(cosO)。因此通解 可以一般写成: 9 22, r+Br(+ P(cos 8) (44.5)4 一个球对称的势的“像电荷”也应当对称分布） § 4.4 本 征 函 数 展 开 法 本节介绍的是静电学的一个相当普适的方法，大家学习时应仔细体会。基 本上，我们面临的一类问题是在某种边界条件下求解拉普拉斯方程 2    0 (4.4.1) “源”的作用通过边界条件显现出来。据不同的边界形状，我们可以选取适当的 坐标系，用分离变量法求解拉普拉斯方程的通解。假设我们得到了这组解 n ,n , ,... 1 2  ，它们通常是正交完备的： n m n,m    。根据完备性，我们一定 可以将 展开成这组本征态的线性叠加：   Cn n  （4.4.2） （4.4.2）一定是（4.4.1）的解，但不一定满足所要求的边界条件。必须根据边界 条件及本征函数的正交性来确定展开系数Cn 。比如通常的边界条件是 0 ( ) boundary    （4.4.3） 其中 是界面上的位置变量。根据本征函数的正交性，我们很容易得到展开系数 的表达式： 0 () () C d n n       （4.4.4） 下面总结一下不同坐标系下的本征函数及它们的正交性。我们应当根据所面临的 问题的对称性选择合适的通解形式进行求解。 (1) 轴对称的球坐标系问题 （与变量 无关） 对此类问题，Laplace 方程的本征解为 ( 1) (cos ), (cos ) l l l l rP r P     。因此通解 可以一般写成： ( 1) 0 (cos ) l l ll l l  Ar Br P            （4.4.5）