复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第10讲

第十讲 上次课 介质/介质边界条件:91=q25M 唯一性定理-边条确定后解唯一确定 ●镜像法-利用虚拟电荷代替界面处的面电荷,使其满足边条,唯一性定理 可确定其是问题的真实解 g q q=q rEo Id 利用上面得到的结果,我们可以引申出来许多题目,并得到解答。 (1)当R/d→1时,设d=R+δ,→0,有 R2R+6) q=gR/(R+d)-q(1-d/R)-q, 此时物理问题等价于无限大平面的像电荷的解。 (2)导体球接电势。此时边界条件为:ql==V,V是已知常数。为了满足 此边界条件,应在原解(o=0)的基础上再加上镜像电荷(处于导体内部), 其作用是在导体表面上产生一个常数电势。简单的分析发现此像电荷应处于导体 球中心,电量为q=4mR。故此时的解为 q_ VOR (3)导体球为孤立导体带电Q。这种情况的边界条件为oa=常数(未知),以

1 第十讲 上次课：  介质/介质边界条件： 1 2 12 1 2 , f n n               唯一性定理 – 边条确定后解唯一确定  镜像法 – 利用虚拟电荷代替界面处的面电荷，使其满足边条，唯一性定理 可确定其是问题的真实解 q' q  r q r q' r b d 2 0 1 ' , , 4 d b qq R R b qq rr d d            利用上面得到的结果，我们可以引申出来许多题目，并得到解答。 （1） 当 R/d 1时，设dR ,     0 ，有： 2 b R /( R ) R      ， q' qR /( R d ) ~ q( d / R ) ~ q  1 ， 此时物理问题等价于无限大平面的像电荷的解。 （2）导体球接电势V0。此时边界条件为： r R V0，V0是已知常数。为了满足 此边界条件，应在原解（ 0 r R    ）的基础上再加上镜像电荷（处于导体内部）， 其作用是在导体表面上产生一个常数电势。简单的分析发现此像电荷应处于导体 球中心，电量为 " 0 0 q VR  4 。 故此时的解为 0 0 0 1 '" 1 ' 4 4 db db qq q qq V R rr r rr r                  (4.3.15) （3）导体球为孤立导体带电 Q。这种情况的边界条件为 r R   常数(未知)，以

及 pods=g (4.3.16) 根据与上题相同的 Argument,必须加上一个放在球心电量为q”的像电荷。于是, 球外电势为 qqq (43.17) 此时计算球面上的电荷可知 a+ g 4.3.18) 问题得解。 (4)点电荷q在导体球壳内,距球心d处。 这类问题要复杂许多,先考虑一个简单的情形:球壳接地。 此时球内(Ⅰ)外(I)区域内的电势分别满足 V9,=-go(x-d, y, =)/Eo (4.3.19) 而边界条件为 II [9L=Pu=0, r=R, (1) qn→0,r→∞ (2) 先考虑球内的电势。根据镜像法的精神,球内的电势应当是由真实电荷q和球外 的“像电荷”q的叠加: 与电荷在球(壳)外面的情形类似,可以解得q'=q,b=R2/d。考虑球壳 外的电势,应当是qn=0。接下来考虑一个复杂一点的情形,假设球壳的电势设 为V,因此边条改为q=n=V,r=R。此时原来得到的解不能满足边界条件 (1),需再设“像电荷”才行。筒单的分析发现任何处于Ⅱ区的像电荷都不能 满足条件(1)又不能在原点设像电荷(因处于考察区)怎么办呢?

2 及 0 dS Q n        (4.3.16) 根据与上题相同的 Argument，必须加上一个放在球心电量为q的像电荷。于是， 球外电势为 0 ' 1 ' '' 4 q q qq q rr r             （4.3.17) 此时计算球面上的电荷可知 0 Q dS q q q Q q ' '' '' ' n            （4.3.18） 问题得解。 （4）点电荷q 在导体球壳内，距球心d 处。 这类问题要复杂许多，先考虑一个简单的情形：球壳接地。 此时球内（I）外（II）区域内的电势分别满足 2 0 2 0 I II  q ( x d,y,z )/           （4.3.19） 而边界条件为 0 (1) 0 (2) I II II , r R, , r           先考虑球内的电势。根据镜像法的精神，球内的电势应当是由真实电荷 q 和球外 的“像电荷”q’的叠加： 0 ' 1 ' 4 I q q q q r r              与电荷在球（壳）外面的情形类似，可以解得 R q' q d  ， 2 b R /d  。 考虑球壳 外的电势，应当是 0 II  。接下来考虑一个复杂一点的情形，假设球壳的电势设 为V0 ，因此边条改为 0 I II    V, r R 。此时原来得到的解不能满足边界条件 （1），需再设“像电荷”才行。简单的分析发现任何处于 II 区的像电荷都不能 满足条件（1），又不能在原点设像电荷（因处于考察区），怎么办呢？ d q b -q' r r q' r q I II

解决的办法是注意到φ=V本身就是 Poisson方程的解。在以前电荷放置于 球外的问题中我们不用这个解,因为那时考察区域在球外,这个解不能满足边界 条件φ→0,r=∞。但现在考察区在球内,不需要这个边界条件,故可以采用, 因此,I区电势的最终解为 g q (4.3.20) n 8 下面考虑Ⅱ区中的电势。这个区域内无源,电势应当是某些处于其它区域的像 电荷产生,考虑边条(1),显然“像电荷”为处于原点(I区)的电量为4E0VR 的点电荷。因此,Ⅱ区电势: V。R (4.3.21) (4320)-(4321)就是问题的解,满足所有的方程以及边条。问题虽然得解, 但物理图像不清楚:比如此时导体球壳上带电荷为多少?为什么I区的电场与外 部条件无关?要搞清楚这些问题,必须意识到事实上导体球壳应当是无限薄的- 个壳层,有内外两个界面。静电平衡时电荷分布在两个界面上,球壳内部的电荷 密度为0。内表面上的电荷密度可以容易由 1-(d/R)2 on=-50Em=50ar4xR2(1+d/R3-2d/Ros)24aR2ho(4.322) 求出,其总电荷可以由上式积分求出,但更容易地,可由 Gauss定理求出: 0=fE qin tq (43.23) 而外表面上的电荷为 po 因此物理图像是 (1)球内的电荷在球壳内表面感应出等量异号的电荷即达到平衡,再外加任何电荷都不会 的到内表面而只会呆在外表面。 (2)这些均匀分布在外表面的电荷起的作用不过是改变整个球亮的电势,但对内电场没有 丝毫影响 (3)m刚应于Ⅱ区处于b处的“像电荷,而。应于贡献q=V的像电荷(对应于

3 解决的办法是注意到 V0本身就是 Poisson 方程的解。在以前电荷放置于 球外的问题中我们不用这个解，因为那时考察区域在球外，这个解不能满足边界 条件   0 , r 。但现在考察区在球内，不需要这个边界条件，故可以采用， 因此，I 区电势的最终解为 0 0 ' 1 ' 4 I q q q q V r r              （4.3.20） 下面考虑 II 区中的电势。这个区域内无源，电势应当是某些处于其它区域的像 电荷产生，考虑边条（1），显然“像电荷”为处于原点（I 区）的电量为 0 0 4 V R 的点电荷。因此，II 区电势： 0 I I V R r   （4.3.21） （4.3.20）-（4.3.21）就是问题的解，满足所有的方程以及边条。问题虽然得解， 但物理图像不清楚：比如此时导体球壳上带电荷为多少？为什么 I 区的电场与外 部条件无关？要搞清楚这些问题，必须意识到事实上导体球壳应当是无限薄的一 个壳层，有内外两个界面。静电平衡时电荷分布在两个界面上，球壳内部的电荷 密度为 0。内表面上的电荷密度可以容易由   2 0 0 2 2 3 2 2 1( ) ( ) 4 4 1 ( ) 2( )cos I in in / q d/R q E F rR R d/R d/R                   （4.3.22） 求出，其总电荷可以由上式积分求出，但更容易地，可由 Gauss 定理求出： 0 E in in       dS q q q q     （4.3.23） 而外表面上的电荷为 0 0 4 out out q dS RV      （4.3.24） 因此物理图像是： （1）球内的电荷在球壳内表面感应出等量异号的电荷即达到平衡，再外加任何电荷都不会 跑到内表面而只会呆在外表面。 （2）这些均匀分布在外表面的电荷起的作用不过是改变整个球壳的电势，但对内电场没有 丝毫影响。 （3） in 对应于 II 区处于 b 处的“像电荷”，而 out 对应于贡献 V0的像电荷（对应于

一个球对称的势的“像电荷”也应当对称分布) §44本征函数展开法 本节介绍的是静电学的一个相当普适的方法,大家学习时应仔细体会。基 本上,我们面临的一类问题是在某种边界条件下求解拉普拉斯方程 (44.1) “源”的作用通过边界条件显现出来。据不同的边界形状,我们可以选取适当的 坐标系,用分离变量法求解拉普拉斯方程的通解。假设我们得到了这组解 {n,n=1.2…},它们通常是正交完备的:(qn)=m根据完备性,我们一定 可以将g展开成这组本征态的线性叠加 ∑Cn9 (44.2) (442)一定是(44.1)的解,但不一定满足所要求的边界条件。必须根据边界 条件及本征函数的正交性来确定展开系数Cn。比如通常的边界条件是 Po 其中ξ是界面上的位置变量。根据本征函数的正交性,我们很容易得到展开系数 的表达式 Cn=q2(5)0(5d5 (444) 下面总结一下不同坐标系下的本征函数及它们的正交性。我们应当根据所面临的 问题的对称性选择合适的通解形式进行求解。 (1)轴对称的球坐标系问题(与变量φ无关) 对此类问题, Laplace方程的本征解为rP(cos),rP(cosO)。因此通解 可以一般写成: 9 22, r+Br(+ P(cos 8) (44.5)

4 一个球对称的势的“像电荷”也应当对称分布） § 4.4 本 征 函 数 展 开 法 本节介绍的是静电学的一个相当普适的方法，大家学习时应仔细体会。基 本上，我们面临的一类问题是在某种边界条件下求解拉普拉斯方程 2    0 (4.4.1) “源”的作用通过边界条件显现出来。据不同的边界形状，我们可以选取适当的 坐标系，用分离变量法求解拉普拉斯方程的通解。假设我们得到了这组解 n ,n , ,... 1 2  ，它们通常是正交完备的： n m n,m    。根据完备性，我们一定 可以将 展开成这组本征态的线性叠加：   Cn n  （4.4.2） （4.4.2）一定是（4.4.1）的解，但不一定满足所要求的边界条件。必须根据边界 条件及本征函数的正交性来确定展开系数Cn 。比如通常的边界条件是 0 ( ) boundary    （4.4.3） 其中 是界面上的位置变量。根据本征函数的正交性，我们很容易得到展开系数 的表达式： 0 () () C d n n       （4.4.4） 下面总结一下不同坐标系下的本征函数及它们的正交性。我们应当根据所面临的 问题的对称性选择合适的通解形式进行求解。 (1) 轴对称的球坐标系问题 （与变量 无关） 对此类问题，Laplace 方程的本征解为 ( 1) (cos ), (cos ) l l l l rP r P     。因此通解 可以一般写成： ( 1) 0 (cos ) l l ll l l  Ar Br P            （4.4.5）

经向波函数r分别在r=0处收敛,r在r→∞时收敛。P(x)为 Legendre 多项式,低阶的几项为 (x)=1 P(r=x (446) P2(x)=(3x2-1) 本征函数之间满足如下正交关系 P(cos0)P (cos 0)d cos B (44.7) (2)与z无关的柱对称问题 对此类问题, Laplace方程的本征解为p"e,mn(p),1。因此其通解为 q=4+Blnp+∑(4,p+Bp-)cos(m)+∑Cnp+D,p")sin(np)(448) 本征函数之间的正交性为 cos(no)sin(no yo=0 (448) cos(no )cos(n'odo= sin(np)sin(n'oyo=0,n#n 下面,我们通过几个实例来介绍这种方法。为增强信心,先考虑一个简单的情形 I例4]一半径为R的接地导体球置于一均匀外场E中,求空间场的分布。 解:如图所示,取E方向为〓轴,这是一个绕〓轴旋转对称的问题。球外空 间没有电荷,电势在无穷远处趋向于均匀电场的电势,总的来说,电势满足 r=R(1) (449) q→>- E rcos6,r→(2)

5 经向波函数 l r 分别在 r=0 处收敛， ( 1) l r   在r   时收敛。 ( ) P x l 为 Legendre 多项式，低阶的几项为 0 1 2 2 () 1 ( ) 1 ( ) (3 1) 2 ... P x Px x Px x            （4.4.6） 本征函数之间满足如下正交关系 ' ,' 2 (cos ) (cos ) cos 2 1 PPd l l ll l       （4.4.7） （2）与 z 无关的柱对称问题 对此类问题，Laplace 方程的本征解为 , ln( ), 1 n in e      。因此其通解为 0 0 1 1 ln ( )cos( ) ( )sin( ) nn n n nn n n n n  AB A B n C D n                   （4.4.8） 本征函数之间的正交性为 cos( )sin( ) 0 cos( )cos( ' ) sin( )sin( ' ) 0, ' n nd n n d n n d nn             （4.4.8） 下面，我们通过几个实例来介绍这种方法。为增强信心，先考虑一个简单的情形 [例 4] 一半径为 R 的接地导体球置于一均匀外场 E0  中，求空间场的分布。 解：如图所示，取 E0  方向为 z 轴，这是一个绕 z 轴旋转对称的问题。球外空 间没有电荷，电势在无穷远处趋向于均匀电场的电势，总的来说，电势满足 2 0 0 0 (1) cos , (2) r R Er r                ， （4.4.9）

□■■|■ ■口■■■■ ·o 「■二 □ 图4.5 这个问题的通解即为: ?(c (44.10) 通解中有无穷多常数,这些常数可由问题的边界条件确定。虽然看上去很复杂, 其实仔细分析之后不难解决。将试解带入边条(2),发现 A, r'P(cos 0)->-Eorcos6 (44.11) 根据P(cos)函数的相互正交性,我们可以分别比较(4411)式中不同P(cosO) 函数的系数。因此可得 A=-E0,{4=0,l=0,2,3,} (44.12) 再将试解带入边条(1),得到 cos+ FP(cos0)=0 (44.13) 再次利用P(cos)函数的相互正交性,不同P(cosO)的参数应当分别为0,故 B=E0R,{B=0.,l=0,2,3,} (44.14) 将(4412)与(44.14)代入试解,我们得到最终的结果 ER p=-Eorcos 0+ (44.15) 至此,我们已完成了这个问题的求解。为了看出更多的物理,我们将(44.15)

6 这个问题的通解即为： 1 0 (cos ) l l l l l l B Ar P r               （4.4.10） 通解中有无穷多常数，这些常数可由问题的边界条件确定。虽然看上去很复杂， 其实仔细分析之后不难解决。将试解带入边条（2），发现 0 0 (cos ) cos l r l l l Ar P E r         （4.4.11） 根据 (cos ) Pl  函数的相互正交性，我们可以分别比较（4.4.11）式中不同 (cos ) Pl  函数的系数。因此可得 , 0, 0, 2,3,... AE A l 1 0     l  （4.4.12） 再将试解带入边条（1），得到 1 0 2 1 1 cos (cos ) 0 l l l l B B ER P R R                （4.4.13） 再次利用 (cos ) Pl  函数的相互正交性，不同 (cos ) Pl  的参数应当分别为 0，故   3 1 0 , 0, 0, 2,3,... B ER B l   l （4.4.14） 将（4.4.12）与（4.4.14）代入试解，我们得到最终的结果 3 0 0 2 cos cos E R E r r      （4.4.15） 至此，我们已完成了这个问题的求解。为了看出更多的物理，我们将（4.4.15）

改为 -Eo+pF (4.4.16) 其中 p=4ms。RE (44.17) 我们看到此时除了外加的均匀电场的贡献外,还有一个偶极子的电场.这是由于 导体球在电场的作用下正电荷推积在一侧,而负电荷推积在电场的另一侧,因此 对外面的作用等效为一个偶极子,其偶极炬正比于外加电场以及球的体积! 讨论: (1)我们可以认为偶极子的场就是这个体系在外场下的散射场。外场是均匀电 场,所以只产生偶极子; (2)我们在上节研究导体球外有点电荷的问题时,曾经考虑过当点电荷离导体 球非常远的情形。那时我们的结论是导体球在外场下的电荷分布是形成了 个偶极子。其实当电荷离目标很远时,其电场就是近似为均匀场!将其 与现在我们考虑的情况建立一个联系将是非常有意思的事情。 (3)你可以进一步了解本征函数展开方法的本质-其实展开系数完全由边界 条件决定!在这个问题中,外界条件是均匀场,其只具有1=1项,因此最 后的结果也就只有1=1项。若外场不是均匀场,而是具有高l的项,则体 系的响应也一定有高1项。 注:人们会问边界条件q→- Ercos e,r→∞(2)为什么不能加上一个常数电势 q?若加上的话,这个常数是什么意思?其实无限大空间均匀电场的问题从来不是一个 well- defined”的问题。因为我们通常取无限远处为电势0点,但无隈区域中的均匀电 场要求无限远处有电荷以及电势不是0.真正的实验上实现均匀场只能在有限空间,比如用 平板电容,此时问题是Wel1- defined,但求解这样一个问题就比现在我们考虑的复杂许多, 因为极板会引入无穷多镜像电荷…。因此我们现在考虑的是真实情况的一种理想化,是实 验上不能实现的。在我们今后的学习中,我们还要考虑这种理想情形,因为这类问题可以

7 改为 0 3 0 4 p r E r r           (4.4.16) 其中 3 0 0 p  4 R E  (4.4.17) 我们看到此时除了外加的均匀电场的贡献外，还有一个偶极子的电场. 这是由于 导体球在电场的作用下正电荷推积在一侧，而负电荷推积在电场的另一侧，因此 对外面的作用等效为一个偶极子，其偶极炬正比于外加电场以及球的体积！ 讨论： （1） 我们可以认为偶极子的场就是这个体系在外场下的散射场。外场是均匀电 场，所以只产生偶极子； （2） 我们在上节研究导体球外有点电荷的问题时，曾经考虑过当点电荷离导体 球非常远的情形。那时我们的结论是导体球在外场下的电荷分布是形成了 一个偶极子。其实当电荷离目标很远时，其电场就是近似为均匀场！将其 与现在我们考虑的情况建立一个联系将是非常有意思的事情。 （3） 你可以进一步了解本征函数展开方法的本质 – 其实展开系数完全由边界 条件决定！在这个问题中，外界条件是均匀场，其只具有 l=1 项，因此最 后的结果也就只有 l=1 项。若外场不是均匀场，而是具有高 l 的项，则体 系的响应也一定有高 l 项。 注：人们会问边界条件 0    Er r cos , (2)  为什么不能加上一个常数电势 0 ？若加上的话，这个常数是什么意思？其实无限大空间均匀电场的问题从来不是一个 “well-defined” 的问题。因为我们通常取无限远处为电势 0 点，但无限区域中的均匀电 场要求无限远处有电荷以及电势不是 0。真正的实验上实现均匀场只能在有限空间，比如用 平板电容，此时问题是 Well-defined，但求解这样一个问题就比现在我们考虑的复杂许多， 因为极板会引入无穷多镜像电荷…。因此我们现在考虑的是真实情况的一种理想化，是实 验上不能实现的。在我们今后的学习中，我们还要考虑这种理想情形，因为这类问题可以

解析求解且给我们许多 Insight.需要说明的是,此时我们总是假设q为0,相当于我们 选择了坐标原点为电势0点。 习题: (1)一个孤立的带电Q的导体球壳(半径为R)中离球心d处放置一个带电 为q的点电荷,求空间的电势分布及电荷分布 (2)设一个孤立的带电量为Q的导体球放置在外电场中,计算空间的电势分 布。仿照课件给出所有的推导步骤。 附加题(有兴趣的同学选作) (1)在两块无限大接地金属平板之间,利用分离变量法计算直角坐标系下的 Laplace方程的通解,并讨论不同本征函数之间的正交关系 0,z=d 0,z=0

8 解析求解且给我们许多 Insight。 需要说明的是，此时我们总是假设0 为 0，相当于我们 选择了坐标原点为电势 0 点。 习题： （1） 一个孤立的带电 Q 的导体球壳（半径为 R）中离球心 d 处放置一个带电 为 q 的点电荷，求空间的电势分布及电荷分布。 （2） 设一个孤立的带电量为 Q 的导体球放置在外电场中，计算空间的电势分 布。仿照课件给出所有的推导步骤。 附加题（有兴趣的同学选作） （1） 在两块无限大接地金属平板之间，利用分离变量法计算直角坐标系下的 Laplace 方程的通解，并讨论不同本征函数之间的正交关系。 x y z  = 0, z = 0  = 0, z = d