第十九讲 上次课 ●偏振:椭圆偏振、圆偏振、线偏振 色散介质的介电行为-D()=J=(-1)E()t', 在单频谐变电场激励下,Dn=(o)E。 金属介电函数的 Drude模型 GHz E ( w)=l- USt GH以下-极大的正的虚部;光波段-负的实部 §8.4电磁波在导电介质中的传播 上节中我们系统介绍了金属的有效介电函数E,(o),下面我们研究电磁波在 导电介质中的传播。原则上,我们需要在金属中求解如下 Maxwell方程 (0E)=P B=0 V×E=--B (8.1.1) VxH=7。0 E 针对一个特定频率ω,所有的场量均以e形式随时间谐变, (E( D).H(, ),P( ),j( D)=(E(). H(), P() j())e tor (84.1) 将金属中的“传导电流”吸收到电位移矢量中(参考第十八讲(83.14)式) 并利用连续性方程vj+ap/t=0,可以证明 Maxwe11l方程针对时谐场的形式 为
1 第十九讲 上次课： 偏振：椭圆偏振、圆偏振、线偏振 色散介质的介电行为 --- D t t t E t dt ( ) ( ') ( ') ' ， 在单频谐变电场激励下， D E ( ) 金属介电函数的 Drude 模型： 2 0 2 , GHz () 1 ( /) 1 , c p r p i i visible s w e w e w ww t w w ìï ï £ ï =- » ïï í + ï æ ö ï -ç ÷ ï ï ç ÷÷ è ø ïî GHz 以下-极大的正的虚部；光波段-负的实部 §8.4 电磁波在导电介质中的传播 上节中我们系统介绍了金属的有效介电函数 r ( ) ，下面我们研究电磁波在 导电介质中的传播。原则上，我们需要在金属中求解如下 Maxwell 方程 0 0 ( ) 0 f f E B E B t Hj E t （8.1.1） 针对一个特定频率 ，所有的场量均以 i t e 形式随时间谐变， ( ) ( ), ( ),j( ) ( ) ( ), ( ),j( ) i t E r ,t ,H r ,t r ,t r ,t E r ,H r r r e （8.4.1） 将金属中的“传导电流”吸收到电位移矢量中（参考第十八讲（8.3.14）式）， 并利用连续性方程 / 0 f f j t ，可以证明 Maxwell 方程针对时谐场的形式 为：
V·(E(O)E)=0 V·H=0 (842) V×E=loy0 H V×H=-i0(O)E 对(842)中第2式同时作用V×,并利用ⅴ·H=0,可得 V=Vx(VxB)=0a(o)厅 (84.3) 我们立刻发现这个针对单频的“时谐”Mme程和无色散介质中磁场满足的 方程(8.1.5)完全一样!只不过这时“介电常数”依赖于频率,只针对目前的 所设的频率正确。(843)的解是平面波,H(F)=He(此时只需考虑空间变 化部分,时间部分总是em),代入可解得电磁波传播的色散关系 E(o) (844) 这与一般介质中的色散关系全一样,除了此处E是频率的函数,因此只要知道了 E,(a)就可以求解(844)得到电磁波传播的行为。注意,上面的讨论是一般成 立的,对任何线形各向同性介质,只要体系在频域的本构关系D(O)=E(o)E(o)已 知,我们就可以利用(844)式电磁波传播的色散关系。下面考虑几个特殊情形。 1.良导体在GHz及以下频段 A,复波矢 良导体,如金银铜等,在GHz及以下频段的有效介电常数为 e,(u)≈-cons.+ (84.5) 将(845)式代入(844)可得 (846) V50 其中 (84.7) 则 Im(e) k=(1+)a·e (84.8)
2 0 (( )) 0 0 ( ) E H Ei H Hi E （8.4.2） 对（8.4.2）中第 2 式同时作用 ，并利用 H 0 ，可得 2 2 0 HH H ( ) （8.4.3） 我们立刻发现这个针对单频的“时谐”Maxwell 方程和无色散介质中磁场满足的 方程（8.1.5）完全一样！只不过这时“介电常数”依赖于频率，只针对目前的 所设的频率正确。（8.4.3）的解是平面波， 0 ( ) ik r H r He （此时只需考虑空间变 化部分，时间部分总是 i t e ），代入可解得电磁波传播的色散关系 2 2 ( ) r k c （8.4.4） 这与一般介质中的色散关系全一样，除了此处 r 是频率的函数，因此只要知道了 ( ) r 就可以求解（8.4.4）得到电磁波传播的行为。注意，上面的讨论是一般成 立的，对任何线形各向同性介质，只要体系在频域的本构关系 D( )= ( )E( ) 已 知，我们就可以利用（8.4.4）式电磁波传播的色散关系。下面考虑几个特殊情形。 1． 良导体在 GHz 及以下频段 A． 复波矢 良导体，如金银铜等，在 GHz 及以下频段的有效介电常数为 0 0 () . c c r i i const s s e w ew ew »- + » （8.4.5） 将（8.4.5）式代入（8.4.4）可得 0 (1 ) c r i k i c c （8.4.6） 其中 0 2 c （8.4.7） 则 k ie (1 ) (8.4.8) 1/2 Im() Re()
其中任意单位矢量(传播方向)。 注意很多教材上假设e,(a)=1+,这其实并不完全正确。但事实上,这并不 影响解的形式-当Im(E)>Re(n)时,解就是(846)式的形式,根本与c的 实部无关!(参看右上图)。 将(848)带入(841),则电磁波在金属中的电场(假设传播方向为z 方向)为 E= Ee (84.9) 当然横波条件要求E在xy平面。可见,此时平面波的振幅沿传播方向指数衰减 振幅衰减到r=0处的_倍的距离一称为透入深度(也叫趋肤深度),定义为 2 (8.4.10) ocHo 因此电磁波不能渗入在导电介质的内部,而是很快在表面的一个厚度为δ的薄层 内衰减掉。与此相对应:金属上产生的交流电流一定也只是局域在表层的这个 薄层内-这个结论我们曾在讨论准静态近似下的电流的趋肤效应时得到过 Tps:这神种衰减表示电磁波的舱量有消耗。但剧良导体,G→∞,0→>0,入射的电磁波几 平被100%反射回去。因此,良导体几平不能吸收电磁波(在GHz),可以看作理想导体。 B,电磁场强度之间的关系 由(842)式中的第2式可得
3 其中e 任意单位矢量（传播方向）。 注意很多教材上假设 0 () 1 c r is e w e w = + ，这其实并不完全正确。但事实上，这并不 影响解的形式 – 当Im( )>>Re( ) r r 时，解就是（8.4.6）式的形式，根本与 r e 的 实部无关！（参看右上图）。 将（8.4.8）带入（8.4.1），则电磁波在金属中的电场（假设传播方向为 z 方向）为 0 z iz t E Ee e (8.4.9) 当然横波条件要求 E0 在 xy 平面。可见，此时平面波的振幅沿传播方向指数衰减。 E z 振幅衰减到r 0处的 1 e 倍的距离 1 称为透入深度（也叫趋肤深度），定义为 1 2 c (8.4.10) 因此电磁波不能渗入在导电介质的内部，而是很快在表面的一个厚度为 的薄层 内衰减掉。与此相对应：金属上产生的交流电流一定也只是局域在表层的这个 薄层内 – 这个结论我们曾在讨论准静态近似下的电流的趋肤效应时得到过。 Tips：这种衰减表示电磁波的能量有消耗。但对良导体， 0 c , ，入射的电磁波几 乎被 100%反射回去。因此，良导体几乎不能吸收电磁波（在 GHz），可以看作理想导体。 B．电磁场强度之间的关系 由（8.4.2）式中的第 2 式可得
B6=-k×E0=-(1+) (8.4.11) 良导体内的电磁波有如下重要特点 (1)与介质中的电磁波B、E之间同相位不同,此处B、E之间有的相位差, 趋向导体内部时,2者均指数衰减。 (2)良导体内部的电磁能量是以磁场能形式存在的: B 2 EO (84.12) 这种趋势随着频率的减小增大。当ω=0时,磁能是电能的无限大倍,因此E 只能为0-此时电磁场能量只以磁能的形式出现。这与静电时金属内部不存在静 电场的结果一致。导电介质中电磁波的传播特性如图83所示 注意 (1)这星U1~5B2指的是纯的电新的能量,并没有把“传导电流”携带的机械舵量 (2)对色散个质,利用UE~DE~6(0)E计算介质中电磁场的总能量是不剧的 2 否则你就得到负能量这个荒爆的结论。色散介质中的量是个复杂的问题,要得到完整的 答,请参考 Landau的书 2.良导体在光波段(等离子体中的光波) 在光波段,金属的有效介电常数为e,()≈1-=2,这个模型也被广泛应用 于研究其他自由电荷组成的等离子体(唯一的区别是电荷密度不同导致u2不 同)。将其带入色散关系可得
4 / 4 0 00 0 0 1 (1 ) i c B kE ieE e eE (8.4.11) 良导体内的电磁波有如下重要特点： （1）与介质中的电磁波B 、E 之间同相位不同，此处B 、E 之间有 4 p 的相位差， 趋向导体内部时，2 者均指数衰减。 （2）良导体内部的电磁能量是以磁场能形式存在的： 22 2 0 00 0 0 0 1 22 2 c c U~ B E E U B E （8.4.12） 这种趋势随着频率的减小增大。当w = 0 时，磁能是电能的无限大倍，因此E 只能为 0- 此时电磁场能量只以磁能的形式出现。这与静电时金属内部不存在静 电场的结果一致。导电介质中电磁波的传播特性如图 8.3 所示。 注意： （1）这里 0 2 0 2 U~ E E 指的是纯粹的电场的能量，并没有把“传导电流”携带的机械能量 算上。 （2）对色散介质，利用 1 1 2 ( ) 2 2 U ~ D E~ E E 计算介质中电磁场的总能量是不对的， 否则你就得到负能量这个荒谬的结论。色散介质中的能量是个复杂的问题，要得到完整的 答案，请参考 Landau 的书。 2．良导体在光波段（等离子体中的光波） 在光波段，金属的有效介电常数为 2 2 () 1 p r w e w w » - ，这个模型也被广泛应用 于研究其他自由电荷组成的等离子体（唯一的区别是电荷密度不同导致 2 wp 不 同）。将其带入色散关系可得
(1 (84.13) 对此我们作如下的讨论: (1)当d<以时,k为一纯虚数,可写成k=i/6,其中 6 (84.14) 此时金属中的电磁场是纯粹的指数衰减的,E~Ee=Ee°,与(849)式表 示的一边衰减一边振荡(传 播)略有不同。这种波称为 Propagating wave 衰逝波,或者叫消逝波,倏 逝波等( Evanescent wave)。当电磁波由空气入 射到金属上时,进入金属后 电磁波后的透入深度为δ。 若金属为半无限大,则电磁波完全不能通过金属,因此将被反射回去;若金属板 为有限厚度,则会有衰逝波隧穿过去(类似量子力学中的隧穿效应)。δ越大, 则隧穿过去的电磁波就越多(如右图所示) (2)磁场为 (=,1)=1kxE E (84.15) 这里磁场与电场有丌/2的相差,与介质、良导体在GHz等情形均不相同 这个相位的不同,造成了能流形式在各种介质中的不同!(参考作业题) (3)当ω=ωn时,δ→∞,此时隧 穿效应达到极值。 (4)当 0< n=√r<1,此时金属(或是等离子 不透明 影外透明 体)是比真空还要光疏的介质,光波
5 2 2 2 22 2 22 1 (1 ) ( ) p p k c c w w w w w = -= - (8.4.13) 对此我们作如下的讨论： (1) 当w w p ， 0 1 r ， n = < er 1，此时金属（或是等离子 体）是比真空还要光疏的介质，光波 p Transmission 不透明 紫外透明 Metal Evanescent wave Air, Propagating wave Air, Propagating wave
可以在其中传播。但因为折射率与空气毕竟不同,所以此时一个有限厚度的金属 板对电磁波仍然有反射,造成透射率的降低。因此,透射率在ω=ω时达到峰 值,人们常有这个峰值所在的频率来探测金属的等离子体共振频率。 (5)金属在GHz和在光波段均可以很好的反射电磁波,但机理及表现形式完全 不同。前者是靠金属的介电常数的虚部,而后者靠的是负的介电常数 3,非良导体 对于导电性能不好的导电媒质,比如一些电介质,其既有价带电子贡献的介 电性质(E),又因为有少量掺杂的电荷或是其他原因具有很小的电导率a。这 种物质的复介电函数可以写成 E(o)=E,+1 (84.16) 因为电导率很小,当c<<1,(84.16)意味着这种物质的介电常数具有很小的虚 部。将(84.16)带入色散关系(844)中可得 k=B+ia≈ l一 。|∠o (84.17) 电磁波的行为为 E(F,1)=,Ee"e(=m (84.1 显然,电磁波在这种介质中的传播性质又与良导体的两种情况均不同,与真空中 的性质相仿,只是波在传播的过程中有少量能量耗散。 §85旋光介质中的电磁波 之前我们研究了一般电介质和导电介质中的电磁波的传播特性。这两种媒 介(虽然前者为非色散介质,后者是色散介质)的共同特性是都是各向同性介质。 下面我们将研究一种各向异性介质一旋光介质中的电磁波的传播特性。 当对等离子介质施加静磁场时,这类介质叫做旋光介质。比如地球附近的受 地磁场影响的等离子体层,或者出于恒定磁场中的金属,都是这类介质。要研究
6 可以在其中传播。但因为折射率与空气毕竟不同，所以此时一个有限厚度的金属 板对电磁波仍然有反射，造成透射率的降低。因此，透射率在 p w w = 时达到峰 值，人们常有这个峰值所在的频率来探测金属的等离子体共振频率。 （5）金属在 GHz 和在光波段均可以很好的反射电磁波，但机理及表现形式完全 不同。前者是靠金属的介电常数的虚部，而后者靠的是负的介电常数。 3．非良导体 对于导电性能不好的导电媒质，比如一些电介质，其既有价带电子贡献的介 电性质（ r ），又因为有少量掺杂的电荷或是其他原因具有很小的电导率 c 。这 种物质的复介电函数可以写成 0 ( ) c r r i （8.4.16） 因为电导率很小， 0 1 c ，（8.4.16）意味着这种物质的介电常数具有很小的虚 部。将（8.4.16）带入色散关系（8.4.4）中可得 0 2 0 c r r ki i c （8.4.17） 电磁波的行为为 ( ) 0 (,) x izt E r t eEe e x （8.4.18） 显然，电磁波在这种介质中的传播性质又与良导体的两种情况均不同，与真空中 的性质相仿，只是波在传播的过程中有少量能量耗散。 §8.5 旋光介质中的电磁波 之前我们研究了一般电介质和导电介质中的电磁波的传播特性。这两种媒 介（虽然前者为非色散介质，后者是色散介质）的共同特性是都是各向同性介质。 下面我们将研究一种各向异性介质 – 旋光介质中的电磁波的传播特性。 当对等离子介质施加静磁场时，这类介质叫做旋光介质。比如地球附近的受 地磁场影响的等离子体层，或者出于恒定磁场中的金属，都是这类介质。要研究
电磁波在这种介质中的传播行为,类似研究金属中的电磁波,我们还是首先研究 其本构关系,然后再求解 Maxwell方程 1.旋光介质的本构关系 考虑处于静磁场B中的自由电子气对电场的响应时。忽略杂质的散射项,电 子的运动方程为 =园+ (8.5.1) 其中,设B=B,外电场随时间谐变(E(t)=Ee-)。显然,电子的运动速 度也具有e因子。设v(1=ie-,则(8.51)式的3个分量形式可以写为 -wU Eor +-vo, Bo -E --0 B (8.5.2) Eo Bo eBo 定山pm=m0,物理意义是电子在垂直磁场平面(xy平面)内 做圆周运动的圆频率,代入(8.5.2)解之可得 WwFor +WnEo E (8.53) Eo 将(853)代入电流密度公式了=n,可得电流密度的形式: n e2 iwe. +W.E e-u=2=(wE, +w,E) iwe (8.54) E 我们发现电流和电场之间的关系满足广义欧姆定律 E (8.5.5)
7 电磁波在这种介质中的传播行为，类似研究金属中的电磁波，我们还是首先研究 其本构关系，然后再求解 Maxwell 方程。 1．旋光介质的本构关系 考虑处于静磁场B0 中的自由电子气对电场的响应时。忽略杂质的散射项，电 子的运动方程为 0 v m eE v B t ¶ = +´ é ù ê ú ¶ ë û (8.5.1) 其中，设B Be 0 0 = z ，外电场随时间谐变（ 0 ( ) i t E t Ee- w = ）。显然，电子的运动速 度也具有 i t e- w 因子。设 0 ( )= i t vt ve ，则(8.5.1)式的 3 个分量形式可以写为 0 0 00 0 0 00 0 0 x xy y yx y z e e iv E vB m m e e iv E vB m m e iv E m w w w -= + -= - - = （8.5.2） 定义 0 0 | | 0 B e B eB m m w = =- > ，物理意义是电子在垂直磁场平面（xy-平面）内 做圆周运动的圆频率，代入（8.5.2）解之可得 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 x By x B y Bx y B z z e iE E v m e iE E v m eE v im w w w w w w w w w + = - - = - = - （8.5.3） 将（8.5.3）代入电流密度公式 e j n ev = ，可得电流密度的形式： ( ) ( ) 2 2 00 0 22 22 2 0 2 2 2 0 0 e x By p i t x x By B B p y x By B p z z n e iE E j e iE E m j iE E v E i w w w ew w w ww ww e w w w w w e w w + - = =+ - - = - - = - （8.5.4） 我们发现电流和电场之间的关系满足广义欧姆定律 , , i ij j j E or j E = =⋅ s s (8.5.5)
但此时电导率为一个各向异性的矩阵,定义为 0 有了电导率矩阵,我们可以进一步求出介质的有效介电常数。此时, Maxwell第 四条方程(时域谐变下)为VxH=(G(o)-i060)E,将交变条件下“传导电流” 看成金属的束缚电流,则对此有效电介质来讲,方程应为VxH=-iE·E。两式 对比可得 E1∈20 ,()=I+i- E10 (8.57) 是一个各向异性的“等效介电常数”张量,其中 (8.5.8) wB)w 注意:当B=0时,2=0.6=63=1-02/2,体系回到各向同性的等离子体 所以磁场对等离子体的影响是使得体系的本构关系变成各向异性,而且对 元素为纯虚数。具有类似(8.57)式的介电常数的体系通常叫做旋电材料,其中 的电磁波的行为非常奇异。与此相对应,若磁导率矩阵(u)具有(8.57)式, 则体系称为“旋磁材料”。 习题 P.205,8.3(这里的金属指在GHz以下的良导体) 补充题: 1)针对课件中讨论的导电介质的3种情形,分别写出当一支初始振幅为E。p2的 平面电磁波在3种介质中沿z方向传播时,能流密度的时间平均值((1), 以及在z点附近单位体积内单位时间产生的焦耳热的时间平均值 Q(-,1)
8 但此时电导率为一个各向异性的矩阵，定义为 ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 0 () 0 0 0 B p B B B i i i w w w e sw w w w w w w w é ù ê ú = - - - - ë û (8.5.6) 有了电导率矩阵，我们可以进一步求出介质的有效介电常数。此时，Maxwell 第 四条方程（时域谐变下）为 0 H iE (() ) ， 将交变条件下“传导电流” 看成金属的束缚电流，则对此有效电介质来讲，方程应为 HiE 。两式 对比可得 1 2 2 1 0 3 0 1 () 0 0 0 r i Ii i e e ew s e e e w e é ù ê ú ê ú = + =-ê ú ê ú ê ú ë û （8.5.7） 是一个各向异性的“等效介电常数”张量，其中 ( ) 22 2 12 3 22 2 2 2 1 , , 1 p pB p B B w ww w ee e ww w w ww =- = =- - - （8.5.8） 注意：当 0 B 0 时， 2 2 2 13 0 1 p , / ，体系回到各向同性的等离子体。 所以磁场对等离子体的影响是使得体系的本构关系变成各向异性，而且非对角 元素为纯虚数。具有类似（8.5.7）式的介电常数的体系通常叫做旋电材料，其中 的电磁波的行为非常奇异。与此相对应，若磁导率矩阵 ( ) r m w 具有（8.5.7）式， 则体系称为“旋磁材料”。 习题 P．205， 8.3 （这里的金属指在 GHz 以下的良导体） 补充题： 1） 针对课件中讨论的导电介质的 3 种情形，分别写出当一支初始振幅为 E e0 x 的 平面电磁波在3种介质中沿z方向传播时，能流密度的时间平均值（ S z,t ( ) ）， 以及在 z 点附近单位体积内单位时间产生的焦耳热的时间平均值 ( ) d Q z,t dt
2)利用连续性方程Vj+/ar=0,证明时谐条件下电磁场满足(8.4.2)。 思考题(供有余力同学选作) 冰*本冰冰冰** 3)利用迟逾时间近似考虑杂质散射的影响,重新推导有磁场存在时等离子体的 本构关系(G(o),E()),讨论当o>On时体系中的电磁波色散关系,以及直 流(a→0)条件下的G的形式及其所对应的物理。 4)查阅资料( Landau《连续介质电动力学》270页以及《统计物理I》第4章) 搞清楚一个铁磁介质的有效磁导率的形式
9 2） 利用连续性方程 / 0 f f j t ，证明时谐条件下电磁场满足（8.4.2）。 ************************** 思考题（供有余力同学选作） ************************** 3） 利用迟逾时间近似考虑杂质散射的影响，重新推导有磁场存在时等离子体的 本构关系（ ( ), ( ) r ），讨论当 p 时体系中的电磁波色散关系，以及直 流（ 0 ）条件下的 的形式及其所对应的物理。 4）查阅资料（Landau《连续介质电动力学》270 页以及《统计物理 II》第 4 章）， 搞清楚一个铁磁介质的有效磁导率的形式