复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第25讲

第二十五讲 上次课 磁偶极幅射:B=-已x(xm) ·电磁偶极辐射的对称性:→山m,E→B ●天线阵列辐射角分布: ftot (0, )=Ssing (0, )f(a): f(a)=sina(/sin a, a=kl cos 0 即在原有的单个天线的角分布的图案基础上加上一个干涉后的“形状因子”。可 以看出: (1)当a=0时f(a)有极大值,其值为f()=m2。这说明向前传播的方 向仍然是体系辐射最强的方向,而且辐射能力增强了m2倍。这不奇怪, 因为干涉相应使得此方向的所有天线都是相干叠加,场的振幅增强了m 倍,功率增强m2倍 (2)当a= 2丌4丌(m-1) 时有极小值,分布情况如图12.12所示,两个 极小之间有个极大,但高阶的极大值急剧减少。 (3)主极大在a=0处,第一个极小在a=2z处,即kcsO=2z处。若令 θ,则 kIsin y=二。主极大峰所处的角度范围为 2 ≤sin-/2 CT-2 Ff(al 图12.12 可见,m大则v角度小,这表示的方向性很强

1 第二十五讲 上次课  磁偶极幅射:   2 0 2 [ ] 4 B r r eem c r            电磁偶极辐射的对称性： 0 0 , p  mEB         天线阵列辐射角分布： total single f ff (,) (,) ()       ； 2 2 1 ( ) sin / sin 2 2 m f             ，   kl cos 即在原有的单个天线的角分布的图案基础上加上一个干涉后的“形状因子”。可 以看出： （1） 当   0 时 f ( )  有极大值，其值为 2 f (0)  m 。 这说明向前传播的方 向仍然是体系辐射最强的方向，而且辐射能力增强了 2 m 倍。这不奇怪， 因为干涉相应使得此方向的所有天线都是相干叠加，场的振幅增强了 m 倍，功率增强 2 m 倍。 （2） 当 2 4 ( 1)2 , ,, m mm m        时有极小值，分布情况如图 12.12 所示，两个 极小之间有个极大，但高阶的极大值急剧减少。 （3） 主极大在  0 处，第一个极小在 2 m    处，即 2 kl cos m    处。若令 2     ，则 2 klsin m    。主极大峰所处的角度范围为 1 2 sin mkl ml             可见，m 大则 角度小，这表示 的方向性很强

第十一章相对论电动力学 到现在为止,我们已经系统地研究了电磁场理论在不同条件下(静电、静磁 准静、辐射)的表现。然而,这些结果至今仍然是针对某一个特定坐标系成立的。 在不同坐标系下的电磁现象之间的关联如何呢?这就是本章的研究内容 §111狭义相对论的时空观 要想联系不同坐标系下的物理现象,就必须建立正确的时空变换,而后 者是建立在一定的时空观下的。我们在本课程中只关心惯性坐标系之间的变换 牛顿在总结其发展的力学规律时得到了如下绝对时空观。 F=mz)(伽利略变换) 和谐 绝对 相对性原理 时空观 惯性系等价 1.绝对时空观 A,相对性原理 物理世界的规律是通过时间和空间坐标来描述的,而物理规律本身应当与 (惯性)坐标系的选取无关,这就是说,在不同的惯坐标系中,物理规律表述的 形式始终保持不变,这是一个重要的基本假定,称为相对性原理 B,力学规律 牛顿力学的基本方程是 ma= m (11.1.1) C,伽利略变换 两个相对运动的惯性坐标系S和S′之间由伽利略变换联系起来

2 第十一章 相对论电动力学 到现在为止，我们已经系统地研究了电磁场理论在不同条件下（静电、静磁、 准静、辐射）的表现。然而，这些结果至今仍然是针对某一个特定坐标系成立的。 在不同坐标系下的电磁现象之间的关联如何呢？这就是本章的研究内容。 §11.1 狭义相对论的时空观 要想联系不同坐标系下的物理现象，就必须建立正确的时空变换，而后 者是建立在一定的时空观下的。我们在本课程中只关心惯性坐标系之间的变换。 牛顿在总结其发展的力学规律时得到了如下绝对时空观。 1．绝对时空观 A．相对性原理 物理世界的规律是通过时间和空间坐标来描述的，而物理规律本身应当与 （惯性）坐标系的选取无关，这就是说，在不同的惯坐标系中，物理规律表述的 形式始终保持不变，这是一个重要的基本假定，称为相对性原理。 B．力学规律 牛顿力学的基本方程是 2 2 d r F ma m dt      （11.1.1） C．伽利略变换 两个相对运动的惯性坐标系 S 和S 之间由伽利略变换联系起来

(11.1.2) t=t 将(11.1.2)代入(11.1)发现力学规律在不同的坐标系中保持相同,因此,牛 顿力学,伽利略变换与相对性原理和谐统一。 2,绝对时空观的困难 但是,当人们把绝对时空观应用到电磁理论时遇到了巨大的困难,主要表现 在对光的传播规律的描述上。对于经典的力学规律描述的波,如水波,当它在 个坐标系中的速度为时,在相对于这个坐标系做匀速运动的另一个坐标系中测 出的速度为v’=u-v。特别是,当l=v时,v'=0,即水波不再运动。 电磁波也是一种波,有一个运动速度c,因此人们自然要问:究竟这个光速c是 在哪个坐标系中测得的?假设光速为C的这个坐标系叫做以太系,是否可以测 得地球相对于以太系的运动速度?抑或地球就是那个绝对坐标系? 迈克耳孙和莫雷设计了精妙的干涉实验测量了不同条件下测量点相对于以 太系的运动速度。然而实验测不到任何的以太漂移速度。换言之,在任何惯性坐 标系中测得的光速是同一个常数c,与传播方向无关,与光源运动的速度无关。 这个结果是惊人的,揭示了描述电磁规律的麦克斯韦方程组,与伽利略变换以及 相对性原理不和谐。 线斯书方形不和(利略变 麦莫实验 相对性原理

3 ' ' r r vt t t          (11.1.2) 将（11.1.2）代入（11.1.1）发现力学规律在不同的坐标系中保持相同，因此，牛 顿力学，伽利略变换与相对性原理和谐统一。 2．绝对时空观的困难 但是，当人们把绝对时空观应用到电磁理论时遇到了巨大的困难，主要表现 在对光的传播规律的描述上。对于经典的力学规律描述的波，如水波，当它在一 个坐标系中的速度为u  时，在相对于这个坐标系做匀速运动的另一个坐标系中测 出的速度为u' u v      。特别是，当u v    时，u '  0  ，即水波不再运动。 v 电磁波也是一种波，有一个运动速度 c，因此人们自然要问：究竟这个光速 c 是 在哪个坐标系中测得的？假设光速为 C 的这个坐标系叫做以太系，是否可以测 得地球相对于以太系的运动速度？抑或地球就是那个绝对坐标系？ 迈克耳孙和莫雷设计了精妙的干涉实验测量了不同条件下测量点相对于以 太系的运动速度。然而实验测不到任何的以太漂移速度。换言之，在任何惯性坐 标系中测得的光速是同一个常数c ，与传播方向无关，与光源运动的速度无关。 这个结果是惊人的，揭示了描述电磁规律的麦克斯韦方程组，与伽利略变换以及 相对性原理不和谐

3.爱因斯坦的选择 相对性原理、 Maxwel方程以及伽利略变换不和谐,则必须放弃(改造)其 中一个使得这三者和谐。爱因斯坦选择保留前面2个,放弃伽利略变换。他提出 如下两条基本假设 (1)相对性原理 自然规律在不同惯性系中的表达式相同。 (2)光速不变原理(选择 Maxwell方程在一切惯性系中形式不变) 光速与光源的运动无关,与光的传播方向无关,在不同的惯性系中观察到的真空 中的光速相同。这事实上并非爱因斯坦的假设,而是麦莫实验所揭示的基本实 验事实。在这个基础上, Maxwell方程组在所有坐标系下都保持不变,人们必须 寻找新的时空变换来替代伽利略变换 4,洛伦兹变换 基于不同惯性系中测出的光速不变这一假 设,洛伦兹提出了他的时空变换 考虑在t=t=0时,S与S重合,S'系相 对于S系沿x轴以速度v运动。 假设此时从原点发射一束光波,光沿各方向 的传播方向都是c。所以t时刻S系中光到达 的位置满足 x2+y2+=2=c2 (11.1.3) 存在两事件:1发射(0,0,00) 2接收(x,y,z,1) 在S看来,同样的事件应该用如下时空点描述 1发射(0,0,0,0) 2接收(x,y,x,t) 根据光速不变原理,变换后的(x,y,z,1)必须满足 x2+y2+z2=(cm) (11.1.4) 洛伦兹提出的时空变换为:

4 3．爱因斯坦的选择 相对性原理、Maxwell 方程以及伽利略变换不和谐，则必须放弃（改造）其 中一个使得这三者和谐。爱因斯坦选择保留前面 2 个，放弃伽利略变换。他提出 如下两条基本假设： (1) 相对性原理 自然规律在不同惯性系中的表达式相同。 (2) 光速不变原理 （选择 Maxwell 方程在一切惯性系中形式不变） 光速与光源的运动无关，与光的传播方向无关，在不同的惯性系中观察到的真空 中的光速相同。这事实上并非爱因斯坦的假设，而是麦-莫实验所揭示的基本实 验事实。在这个基础上，Maxwell 方程组在所有坐标系下都保持不变，人们必须 寻找新的时空变换来替代伽利略变换。 4．洛伦兹变换 基于不同惯性系中测出的光速不变这一假 设，洛伦兹提出了他的时空变换。 考虑在 ' t t   0 时， S 与 ' S 重合， ' S 系相 对于S 系沿 x 轴以速度v 运动。 假设此时从原点发射一束光波，光沿各方向 的传播方向都是c 。所以t 时刻S 系中光到达 的位置满足 2 2 2 22 x  y z ct （11.1.3） 存在两事件： 1 发射 (0,0,0,0) 2 接收 (, , ,) x yzt 在 ' S 看来，同样的事件应该用如下时空点描述 1 发射 (0,0,0,0) 2 接收 ' ' '' (, , ,) x yzt 根据光速不变原理，变换后的 ' ' '' (, , ,) x yzt 必须满足 '2 '2 '2 2 x  y z ct ( ') （11.1.4） 洛伦兹提出的时空变换为：

=(x-)/1-v/e2 y (11.1.5) 容易证明洛仑兹变换满足(11.1.4)-也就是说,在S系中观测事件传播的速度 仍为c,而且是各向同性的一尽管S相对S沿x轴运动,在S系中看到的速度沿 x轴与其它轴没有任何的不同! 引入一个虚构的由三维实空间和虚的时间轴构成的四维空间(闵可夫斯基空 间),一个时空点在这个空间中的表示为 则 Lorentz变换可以写成 变换矩阵为 00 iBr 0010 iBy 00 y 其中B=v/e,y=1/√-B2。容易证明a是个正交矩阵,即 (11.19) §11.2物理规律协变性的数学形式 相对性原理要求物理规律在不同的惯性坐标系下保持不变,而不同惯性系之 间的物理量之间的关系由洛伦兹变换给出,这就要求描述物理规律的物理方程式 的形式一定要在 Lorente变换下保持不变。下面首先研究不同物理量在 Lorentz 变换下的性质。 1.物理量按时空变换性质分类

5 ' 22 ' ' ' 22 2 ( )/ 1 1 x x vt v c y y z z v t t x vc c                      （11.1.5） 容易证明洛仑兹变换满足（11.1.4）- 也就是说，在 ' S 系中观测事件传播的速度 仍为c ，而且是各向同性的—尽管 ' S 相对S 沿 x 轴运动，在 ' S 系中看到的速度沿 x 轴与其它轴没有任何的不同！ 引入一个虚构的由三维实空间和虚的时间轴构成的四维空间（闵可夫斯基空 间），一个时空点在这个空间中的表示为 x   x y z ict ,,,  （11.1.6） 则 Lorentz 变换可以写成 i ij j x  x （11.1.7） 变换矩阵为 0 0 0 10 0 0 01 0 0 0 i i             α （11.1.8） 其中 2    v c/ , 1/ 1   。容易证明 是个正交矩阵，即 , T ij ik jk       I （11.1.9） § 11. 2 物理规律协变性的数学形式 相对性原理要求物理规律在不同的惯性坐标系下保持不变，而不同惯性系之 间的物理量之间的关系由洛伦兹变换给出，这就要求描述物理规律的物理方程式 的形式一定要在 Lorentz 变换下保持不变。下面首先研究不同物理量在 Lorentz 变换下的性质。 1．物理量按时空变换性质分类

我们首先将所遇到的各种物理量作一番分类。 考虑三维空间中的一个纯坐标转动变换下,比如 将坐标系以z轴为转轴转动θ角度(如图所示), 则不同的物理量具有不同的变换关系。比如 (1)任意一点到原点的空间距离r=√,产在变换下 保持不变,这就是一个标量 (2)位置矢量F={x2x3}经过坐标旋转变换后变成F’={xx2x3},{x1x2x}与 {xx2x3}两组数之间的变换关系为 (112.1) 其中,转动矩阵的形式为 cos0 sin e T=-sin 0 cos 00 (11.22) 容易证明,所有三维空间的矢量(电场、磁场,力)都满足上面的变换关系。我 们把满足(1l2.1)式变换关系的物理量叫做矢量 (3)同样道理,2阶张量(如电四极矩D)中的9个元素在坐标变换下满足 Dy=T DIk (11.2.3) 将上面对3维坐标变换的定义推广到4维时空变换 标 个 Lorentz变换下保持不变的物理量叫做标量。正交性质(11.1.9)显示:四维 矢量的标积是个变换不变量 i Cik =xx (11.24) 因此这是个“四维标量”。(1124)是光速不变(111-1114)的另外一种表述 方式。通常将 ds=-dx, dx=(cdn)- drI (11.25) 叫做间隔,它描述的是两个事件之间的时空间隔,是个不依赖于惯性系的“标 量”。在相对论时空观中,时间空间耦合在一起,单独讨论两个时件的时间和空

6 我们首先将所遇到的各种物理量作一番分类。 考虑三维空间中的一个纯坐标转动变换下，比如 将坐标系以 z 轴为转轴转动 角度（如图所示）， 则不同的物理量具有不同的变换关系。比如 (1)任意一点到原点的空间距离r rr     在变换下 保持不变，这就是一个标量。 (2) 位置矢量 123 r xxx {,,}  经过坐标旋转变换后变成 123 {,,} '' ' r' x x x   ， 123 {,,} x x x 与 123 {,,} '' ' x x x 两组数之间的变换关系为 ' i ij i x  T x (11.2.1) 其中，转动矩阵的形式为 cos sin 0 sin cos 0 0 01 T             （11.2.2） 容易证明，所有三维空间的矢量（电场、磁场，力）都满足上面的变换关系。我 们把满足（11.2.1）式变换关系的物理量叫做矢量。 （3）同样道理，2 阶张量（如电四极矩 D  ）中的 9 个元素在坐标变换下满足 ' D TT D ij il jk lk  (11.2.3) 将上面对 3 维坐标变换的定义推广到 4 维时空变换 (1) 标量 一个 Lorentz 变换下保持不变的物理量叫做标量。正交性质（11.1.9）显示：四维 矢量的标积是个变换不变量， i i ij ik j k j j x  x xx xx     （11.2.4） 因此这是个“四维标量”。（11.2.4）是光速不变（11.1.3-11.1.4）的另外一种表述 方式。通常将 2 22 ds dx dx cdt dr ()| |       (11.2.5) 叫做间隔，它描述的是两个事件之间的时空间隔, 是个不依赖于惯性系的“标 量”。在相对论时空观中，时间空间耦合在一起，单独讨论两个时件的时间和空 e y ' ex ' e y ex r x y x' y

间间隔都没有意义(依赖于具体的参照系),但“间隔”却是有意义的物理量。 (2)矢量(一阶张量) 定义一个由四个数量定义的集合{V,VnF2V4},若这些量在 Lorentz变换下满足 与四维坐标一样的变换关系 则这样的集合称为一个四维矢量(或是一阶张量) (3)二阶张量 进一步,若有一物理量用4×4矩阵T表示,在坐标变换x=ax,下,其变换关 系为 aa (11.25 则称此物理量为二阶张量 (4)几个例子 的变换行为为一阶张量 因为x=anx,→x=(a)x2=()x=anx (1126) (b)两矢量的标积为标量 四维间隔就是两个矢量的标积。同理,因为一是矢量,故有 =1 即口算符为四维不变量。由此推知,若A为四维矢量,则此矢量的四维散度 8A.为一不变量,即

7 间间隔都没有意义（依赖于具体的参照系），但“间隔”却是有意义的物理量。 (2) 矢量（一阶张量） 定义一个由四个数量定义的集合 4 {,,,} VVVV xyz ，若这些量在 Lorentz 变换下满足 与四维坐标一样的变换关系 V V       （11.2.4） 则这样的集合称为一个四维矢量（或是一阶张量） (3) 二阶张量 进一步，若有一物理量用4 4  矩阵T 表示，在坐标变换 x x        下，其变换关 系为 T T      k l kl  (11.2.5) 则称此物理量为二阶张量。 （4）几个例子 (a) x   的变换行为为一阶张量 因为     1 T x x x x xx                      （11.2.6） 故 v x x xx x                （11.2.7） (b) 两矢量的标积为标量 四维间隔就是两个矢量的标积。同理，因为 x   是矢量，故有 2 2 2 2 2 1 xx x x xx ct                           (11.2.8) 即 2  算符为四维不变量。由此推知，若 A 为四维矢量，则此矢量的四维散度 A x     为一不变量，即

A (112.9) 3.物理规律的协变性 相对性原理要求,物理规律在任何一个惯性参考系内都是相同的,这就意味着在 坐标变换下,表示物理规律的等式的形式应保持不变。如果等式两边的物理量是 由同阶的张量构成的,那么这种形式的方程一定满足相对性原理,我们称这种 形式的方程式为协变式。例如,某一物理规律可表示为如下形式 B (11.2.10) 式中A,B,分别代表S系中这一物理过程的不同物理量。当把它变换到S'系时, 由于A,B都是一阶张量(即矢量),其变换规律分别为 AH=apA, (11.2.11) B aA=a B′ (112.12) 由此可见,要判断规律是否满足相对性原理,只要看其物理方程是否是协变的即 可 第二十五讲作业 习题 1)天线的辐射图案的定向性由如下定向性指标来描述:D 其中△⊙1,△2分 △O1·△e2 别为天线辐射主极大在两个相互垂直的方向上的半宽值。如图所示,由m·n个半波天 线组成的天线阵列,沿x(y)方向的周期为a(b),分别计算天线阵列在xz面内的辐射的 主极大的宽度的一半(定义为△⊙1)以及其在yz面内的辐射主极大的宽度的一半(定 义为Δ⊙2),并由此计算天线阵列的定向性指标D。(提示:主极大的峰宽可定义为两个 相邻零点之间的角度差) P297,11.1

8 A AA x xx                  (11.2.9) 3．物理规律的协变性 相对性原理要求，物理规律在任何一个惯性参考系内都是相同的，这就意味着在 坐标变换下，表示物理规律的等式的形式应保持不变。如果等式两边的物理量是 由同阶的张量构成的，那么这种形式的方程一定满足相对性原理，我们称这种 形式的方程式为协变式。例如，某一物理规律可表示为如下形式： A B    （11.2.10） 式中 A  , B 分别代表S 系中这一物理过程的不同物理量。当把它变换到S 系时， 由于 A B,  都是一阶张量(即矢量)，其变换规律分别为 A A B B             （11.2.11） 故 A A BB        v v     （11.2.12） 由此可见，要判断规律是否满足相对性原理，只要看其物理方程是否是协变的即 可。 第二十五讲作业 习题 1） 天线的辐射图案的定向性由如下定向性指标来描述： 1 2 4 D      ，其中 1 2   , 分 别为天线辐射主极大在两个相互垂直的方向上的半宽值。如图所示，由 m n 个半波天 线组成的天线阵列，沿 x (y)方向的周期为 a (b), 分别计算天线阵列在 xz 面内的辐射的 主极大的宽度的一半（定义为 1 ）以及其在 yz 面内的辐射主极大的宽度的一半（定 义为 2 ），并由此计算天线阵列的定向性指标 D。（提示：主极大的峰宽可定义为两个 相邻零点之间的角度差） P. 297, 11.1 x y . z