复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第24讲

第二十四讲 ● Lorentz规范下势函数满足的方程 1a2/q J ·推迟势(辐射场因果关系要求)401=∫r,[门=元(!-R/e) 电偶极辐射(0=1=-0m,B=V×x=m 远场r>kV/c9B=4 E场可以写成一个物理的表示:E=-kx(B)类似平面电磁波(EBK满足右手法则) 例1如图12.3所示,两个金属小球分别带电 荷Q和一Q,它们之间距离为l,两小球的电荷的数值 和符号同步地周期性变化,这就是所谓的赫兹振子。 试分析赫兹振子辐射场的能流特点 解取球坐标系,+Q和—Q处在z轴上,设Q=Qem 则体系的电偶极矩为 p=lQe=lEe 图12.3 将它们代入偶极辐射的远区公式,有 8=H60(12) in ee trey 4cr (12.3.11) E=kx(cB) H02(Q) 由(12311)式可以看出,场正比于,电场只有E方向分量,磁场只有方向 分量,且CB4=E。辐射场在偶极矩方向上为零。辐射能流的平均值为 ()=RExE]=2 a Ho@(@o)sin 32Tc r (12.3.12)

第 二 十 四 讲  Lorentz 规范下势函数满足的方程 2 2 0 2 2 0 1 / c t A j ϕ ρ ε µ   ∂       ∇ − =−       ∂        推迟势（辐射场因果关系要求） 0 ( , ) , ( ', / ) 4 j Art d j jr t R c R µ τ π     = ′   = − ∫          电偶极辐射 [ ] 0 0 (,) 4 4 p p p A rt i r r µ µ ω π π     = = −      ， [ ] 0 4 p i p B A r ωµ π =∇× = − ∇×    远场r >> λ ： r i e c ω ∇ ↔  [ ] 2 0 4 B ep r cr ω µ π = ×    E 场可以写成一个物理的表示： ( ) E k cB ˆ =− ×   类似平面电磁波（E,B,K 满足右手法则）！ [例 1] 如图 12.3 所示，两个金属小球分别带电 荷 Q 和—Q，它们之间距离为l ，两小球的电荷的数值 和符号同步地周期性变化，这就是所谓的赫兹振子。 试分析赫兹振子辐射场的能流特点。 解 取球坐标系，+Q 和—Q 处在 z 轴上，设 0 i t Q Qe− ω ′ = ， 则体系的电偶极矩为 0 i t z z p lQe lQ e e − ω ′ = =   将它们代入偶极辐射的远区公式，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 ( ) 2 0 0 ( ) sin 4 ˆ ( ) sin 4 i t rc i t rc lQ B ee cr lQ E k cB e e r ω φ ω θ µ ω θ π µ ω θ π − − − −   = −    =− × = −       (12.3.11) 由(12.3.11)式可以看出，场正比于 1 r ，电场只有 eθ  方向分量，磁场只有eφ  方向 分量，且cB E φ θ = 。辐射场在偶极矩方向上为零。辐射能流的平均值为 ( ) 2 4 2 * 2 0 0 2 2 0 0 1 sin Re 2 2 32 P r r c lQ S E B Be e c r µ ω θ µ µπ = ×= =          (12.3.12)

对这个结果讨论如下 (1)辐射能流的特点是正比于,且与0的四方成正比。 (2)这说剪辐射能力在低频时弱,而在高频时高,这与我们第六章所讨论 的“准静态近似”的适用亲件一歌 (3)辐射能沈正比于是一个穗定辐射问题的必然要求,如若不然,则必然 在空间产生能量积晨,从而辐射问题不稳定。也正因为如此,辐射能流 在某一个特定的立体角组成的通道内保持相同 基于此,在讨论辐射问题时,我们常用角分布的概念来描述体系向空间不同方 向辐射能量的情况,其定义为 S).r2 (f(0.) dQ 这表示在θ、φ方向单位立体角内的平均辐射能流,显然,现在 f(Oy)=24() 32z2c (12.3.12) 辐射角分布的情况如图124所示,在θ=的方向幅射最强,在θ=0、丌的方向 无辐射。 图12.4 3,磁偶极辐射 下面考虑磁偶极辐射,此时应当考虑A项。在远场(r>>)及单频条件下

对这个结果讨论如下： （1） 辐射能流的特点是正比于 2 1 r ，且与ω 的四次方成正比。 （2） 这说明辐射能力在低频时较弱，而在高频时高，这与我们第六章所讨论 的“准静态近似”的适用条件一致； （3） 辐射能流正比于 2 1 r 是一个稳定辐射问题的必然要求，如若不然，则必然 在空间产生能量积累，从而辐射问题不稳定。也正因为如此，辐射能流 在某一个特定的立体角组成的通道内保持相同。 基于此，在讨论辐射问题时，我们常用角分布的概念来描述体系向空间不同方 向辐射能量的情况，其定义为 ( ) 2 2 , P P P S d SS r d f S r d d θ φ ⋅ ⋅Ω = = = ⋅ Ω Ω    (12.3.11) 这表示在 θ φ 、 方向单位立体角内的平均辐射能流，显然，现在 ( ) ( ) 2 4 0 0 2 2 , sin 32 lQ f c µ ω θ φ θ π = （12.3.12） 辐射角分布的情况如图 12.4 所示，在 2 π θ = 的方向幅射最强，在θ π = 0、 的方向 无辐射。 3．磁偶极辐射 下面考虑磁偶极辐射，此时应当考虑 A2  项。在远场（r >> λ ） 及单频条件下

只保留ⅴ对推迟势的作用(亦即,作代换V纱12,),则有 A,=-4]?. vbidr'=-4]( oe dr'=-1 0o-p irrc ∫P[ja (12313) 4727[+元订可元]r 上式{}中第一项在静磁条件下为0(参考第十五讲(5,5,7”)式),当电流随时间 谐变时,其为电四极子的贡献(严格证明从略)。第二项可改写为 =4(2[两一元1=-m2FxP]r (12.3.14) 4rc F×[m 这里第二个等式用到了关系式:ax(bxa)=(a·c)b-(ab)。其它多极展开式中 没有磁偶极子的贡献。因此,磁偶极辐射所对应的矢势即时(12.3.14)式,标势 为0。带入势和场的关系,即可求出磁偶极子的E和B B=VxAm=i-e, xAm =-Aoe, x(e x[m]) (12.3.16) E=-k×(cB) Hgo-e.x[m] 讨论如下 (1)我们注意到磁偶极子的辐射场(12.3.16)与电偶极子辐射场(12.3.9)非 常相似。事实上,在讲解静电/静磁理论时我们已经了解到,μm之于B场 与p/ε0之于E场完全相同。现在,我们又看到了相同的依赖关系--将 (1239)中E场中的p/c0代换成,我们就得到了磁偶极子的B场! 因此这两个场互为对偶场,记住一个就可以得到另一个。更一般地,当我 们作如下代换p→一,E→CB,cB→-E,即可由电偶极子的场推出此偶 极子的场。 (2)磁偶极辐射与电四极辐射一个量级,均比电偶极辐射小,因此对一个体系 若其有磁偶极辐射,应当同时检査同一量级的电四极子是否存在

只保留∇对推迟势的作用（亦即, 作代换 r i e c ω ∇ ↔  ）, 则有 { } 00 0 2 2 0 2 44 4 1 4 2 r j j i A r d r i e d r r jd r c r rc i r r j jr d r j jr d r c µ µ ω µ ω τ ττ ππ π µ ω τ τ π           = − ⋅∇ = − ⋅ = − ⋅ ′ ′ ′ ′ ′′         =− ⋅ + + −    ′ ′′ ′ ′′    ∫∫ ∫ ∫ ∫              （12.3.13） 上式{}中第一项在静磁条件下 0 0 2 2 0 2 1 1 4 2 4 2 [] 4 m i i A r r j jr d r jrd r c r c i r m r c µ ω µ ω τ τ π π µ ω π =− ⋅ − =− × ×   ′ ′′  ′ ′     = × ∫ ∫           为 0（参考第十五讲（5.5.7’）式），当电流随时间 谐变时，其为电四极子的贡献（严格证明从略）。第二项可改写为 （12.3.14） 这里第二个等式用到了关系式：a b c acb abc ××=⋅ −⋅ ( ) ( )( )        。其它多极展开式中 没有磁偶极子的贡献。因此，磁偶极辐射所对应的矢势即时（12.3.14）式，标势 为 0。带入势和场的关系，即可求出磁偶极子的 E  和 B  ： ( ) 2 0 2 2 0 [ ] 4 ˆ ( ) [ ] 4 m rm r r r B A ieA e e m c c r E k cB e m cr ω µ ω π µ ω π   =∇× = × = − × ×    =− × =− ×           (12.3.16) 讨论如下 （1） 我们注意到磁偶极子的辐射场（12.3.16）与电偶极子辐射场（12.3.9）非 常相似。事实上，在讲解静电/静磁理论时我们已经了解到，µ0m  之于 B  场 与 0 p / ε  之于 E  场完全相同。现在，我们又看到了相同的依赖关系 --- 将 （12.3.9）中 E  场中的 0 p / ε  代换成 µ0m  ，我们就得到了磁偶极子的 B  场！ 因此这两个场互为对偶场，记住一个就可以得到另一个。更一般地，当我 们作如下代换 , , m p E cB cB E c → → →−      ，即可由电偶极子的场推出此偶 极子的场。 （2） 磁偶极辐射与电四极辐射一个量级，均比电偶极辐射小，因此对一个体系 若其有磁偶极辐射，应当同时检查同一量级的电四极子是否存在

§124线型天线辐射 我们讨论线型天线的辐射问题。线型天线是最典型也是最常见的天线结构, 它具有较强的辐射能力和较好的辐射方向性。 要解决天线辐射的问题首先要知道天线中的电流分布。我们考虑输入到天线 中的信号随时间作简谐变化,则天线中的电流线密度一定也随时间作简谐变化。 假设天线由理想导体组成,则电流只在导体表面且满足J=n×H。进一步考虑 磁场,其满是波动方程(v2-1)=0,故其解一定是“-的线性组合(k 可以取模为k=O/c的所有值)。当天线很细时,可只考虑k=土起的两支波的贡 献,故H以及J的形式一定只是e)的线性组合。设信号沿天线的中点输入, 取此点为坐标的原点,电流对此点是对称的,在天线的两端点(二=±)处电流 应为零,故电流分布为 sIn (12.4.1) 知道了电流分布便可计算矢势A dz(124.2) O A R 如图126所示,有(图中R记为为F) k R≈r-z′cosb (1243) 图12.6 将(124.3)代入(124.2),在远场条件(r>z,r>A)下得 A 10l0 -ik'cose s6 (124.4) 2丌k

§ 12.4 线型天线辐射 我们讨论线型天线的辐射问题。线型天线是最典型也是最常见的天线结构， 它具有较强的辐射能力和较好的辐射方向性。 要解决天线辐射的问题首先要知道天线中的电流分布 J nH = ×    。我们考虑输入到天线 中的信号随时间作简谐变化，则天线中的电流线密度一定也随时间作简谐变化。 假设天线由理想导体组成，则电流只在导体表面且满足 。进一步考虑 磁场，其满足波动方程 2 2 2 1 H 0 c t   ∂   ∇− =   ∂  ，故其解一定是 ikr t ( ) e ⋅ −ω   的线性组合（k  可以取模为k c =ω / 的所有值）。当天线很细时，可只考虑k kz = ± ˆ  的两支波的贡 献，故 H  以及 J  的形式一定只是 i kz t ( ) e ± −ω 的线性组合。设信号沿天线的中点输入， 取此点为坐标的原点，电流对此点是对称的，在天线的两端点 ( ) 2 l z = ± 处电流 应为零，故电流分布为 0 ( , ) sin 2 i t l I z t Ie k z − ω ′     ′ ′ = − ′         (12.4.1) 知道了电流分布便可计算矢势 A  ： ( ) 2 0 0 2 sin 2 4 i t Rc l z l kl kz e I A dz R ω µ π − − −   − ′     = ′ ∫ （12.4.2） 如图 12.6 所示，有（图中 R0  记为为r  ） Rrz ≈ − ′cosθ （12.4.3） 将（12.4.3）代入（12.4.2），在远场条件（r zr >> >> ', λ ）下得 2 0 0 ( ) cos 2 0 0 ( ) 2 sin 4 2 cos cos cos 2 2 2 sin l i t r c ikz z l i t rc I kl A e k z e dz r kl kl I e kr ω θ ω µ π θ µ π θ − − − ′ − − −   ≈ − ′ ′           −     =   ∫ (12.4.4)

由可由B=VxA求得B。考虑远场时作代换V纱1°,则 B=ike, x A=-ikA sin ee, (12.4 电场容易求得 E=×(cB)=- ica. sin Bea (1246) 由E、B即可求出辐射能流 cos -|-cos S7 I SIn 平均角分布为 ((.0)={3 ooc cos( cos 0/-cos k/ (12.4.7) d sin e kl 它依赖于的值。讨论如下: (1)当天线长度远小于波长时,M<<1,可以将上式展开得 (f(O,9)= 41c(k1)sin20 u.+ Sin- 6x (1248) 32n2C 与(12312)对比发现,此时天线等价于一个电偶极子,强度为p=。显然 对短天线,天线越长,辐射能力越大 (2)当天线再增长到M<<1条件不满足时,天线的辐射能力随k做周期性振荡 通常人们将信号发生器与天线中间空隙的两端分别相连,给定一个定幅的输入信 号,测量被反射回来的信号强度(称为反射损耗- return loss,S1l等),显然这 个量越小,说明辐射出去的功率越强,因此S1l的极小值就标示着天线辐射的 个极大值。研究发现,当 l13 时,天线的辐射能力达到极值一特别是 半波电线(长度l=)辐射能力最强

由 A  可由 B A =∇×   求得 B  。考虑远场时作代换 r i e c ω ∇ ↔  ，则 sin B ike A ikA e = × =− r z θ φ     (12.4.5) 电场容易求得 ( ) ˆ sin E k cB ickA e =− × =− z θ θ    （12.4.6） 由 E B   、 即可求出辐射能流 ( ) 2 2 * 0 0 2 2 0 cos cos cos 1 2 2 2 8 sin P r kl kl I c S EB e r θ µ µπ θ       −     = ×=       平均角分布为 2 2 0 0 2 2 cos cos cos 2 2 (,) 8 sin P kl kl S dS I c f d r θ µ θ φ π θ       −   ⋅   = = Ω     (12.4.7) 它依赖于 2 kl 的值。讨论如下： （1）当天线长度远小于波长时，kl <<1，可以将上式展开得 ( ) 4 2 2 2 4 2 0 0 0 2 0 2 2 sin ( , ) sin 8 64 32 4 I c kl I l f c c µ θ µ ω θ φ θ π π   = = ×    （12.4.8） 与（12.3.12）对比发现，此时天线等价于一个电偶极子，强度为 2 0 4 I l p c = 。显然 对短天线，天线越长，辐射能力越大。 （2）当天线再增长到kl <<1条件不满足时，天线的辐射能力随kl 做周期性振荡。 通常人们将信号发生器与天线中间空隙的两端分别相连，给定一个定幅的输入信 号，测量被反射回来的信号强度（称为反射损耗 – return loss, S11 等），显然这 个量越小，说明辐射出去的功率越强，因此 S11 的极小值就标示着天线辐射的 一个极大值。研究发现，当 1 3, ,... 2 2 l λ = 时，天线的辐射能力达到极值 – 特别是 半波电线（长度 2 l λ= ）辐射能力最强

= Frequency (3)随着的增大,辐射图案与偶极子辐射图案有了明显的区别,开始有分叉 出现,并开始朝天线方向集中(书上的图形计算有误!)。真正有用的天线就是既 有很好的辐射效率(S11极小),又有很好的辐射图案的半波天线 §125天线阵 天线最重要的两个品质是辐射图案和辐射效率。虽然半波天线的辐射效率比 较高,但它在φ角上没有任何的定向性。在实际应用中,为了获得更好的辐射方 向性,我们常把一系列天线排布成天线阵,利用干涉效应来获得较好的方向性。 最常用的是把半波天线当作基元天线列阵。惯常的排布有两种:一种是线性排列。 如图128,或横向排列,如图12.9;再有是m×n方阵,如图12.10。 图12.8 |||----||↑ 图12.9 我们只讨论在线性排列的情况下,它的方向性同单一的半波天线的方向性有 什么不同。如图12.11,m个半波天线线性排列,它们所激发的场到达远处某点 的路程不同,这就使它们彼此间有相位差,从而发生干涉使辐射具有方向性,如 图121所示。每个天线与其邻近的天线之间的路程差为lcos(l为两天线间的 距离),若第一个天线的辐射场为

0 20 40 60 80 100 0 1 Return Loss Frequency (GHz) B （3）随着 l λ 的增大，辐射图案与偶极子辐射图案有了明显的区别，开始有分叉 出现，并开始朝天线方向集中（书上的图形计算有误！）。真正有用的天线就是既 有很好的辐射效率（S11 极小），又有很好的辐射图案的半波天线。 § 12.5 天 线 阵 天线最重要的两个品质是辐射图案和辐射效率。虽然半波天线的辐射效率比 较高，但它在φ 角上没有任何的定向性。在实际应用中，为了获得更好的辐射方 向性，我们常把一系列天线排布成天线阵，利用干涉效应来获得较好的方向性。 最常用的是把半波天线当作基元天线列阵。惯常的排布有两种：一种是线性排列。 如图 12.8，或横向排列，如图 12.9；再有是 m n × 方阵，如图 12.10。 我们只讨论在线性排列的情况下，它的方向性同单一的半波天线的方向性有 什么不同。如图 12.11，m 个半波天线线性排列，它们所激发的场到达远处某点 的路程不同，这就使它们彼此间有相位差，从而发生干涉使辐射具有方向性，如 图 12.11 所示。每个天线与其邻近的天线之间的路程差为l cosθ（l 为两天线间的 距离），若第一个天线的辐射场为

E1=C() R 则第二个半波天线的辐射场为 二二二二 E2=C() R2 由于R2≈R+ / cos e,故有 E2≈C(O)=ne"=E1 R 同理,可得第三个半波天线的场为 E,≈E, 依次类推,得m个半波天线产生的总场为 ∑Ees (1233) 可见它的辐射角分布比单个半波天线的角分布多了一个因子: in2kIcos8 1,c= =f(a) 式中a= kl cos e,f(a) 。因此总的辐射角分布为 2 fota (6, o)=singl (0,o).f(a) (12.34) 即在原有的单个天线的角分布的图案基础上加上一个干涉后的“形状因子

1 1 1 ( ) ikR e E C R = θ   则第二个半波天线的辐射场为 2 2 2 ( ) ikR e E C R = θ   由于 2 1 R Rl ≈ + cosθ ，故有 1 cos cos 2 1 1 ( ) ikR e ikl ikl E C e Ee R θ θ ≈ = θ    同理，可得第三个半波天线的场为 2 cos 3 1 i kl E Ee θ ≈   依次类推，得m 个半波天线产生的总场为 1 cos cos 1 1 cos 0 1 1 m imkl iNkl total ikl N e E Ee E e θ θ θ − = − = = − ∑   (12.33) 可见它的辐射角分布比单个半波天线的角分布多了一个因子： 2 2 cos cos 2 sin cos 1 2 ( ) 1 1 sin cos 2 imkl ikl m kl e f e kl θ θ θ α θ     −   = = −       式中α θ = kl cos ， 2 2 sin 2 ( ) sin 2 m f α α α       =       。因此总的辐射角分布为 total single f ff (,) (,) () θφ θφ α = ⋅ (12.34) 即在原有的单个天线的角分布的图案基础上加上一个干涉后的“形状因子

习题 344,12.5,12.8,12.10 补充题 )证明(1248),并从偶极子的定义出发证明通有谐变电流的短天线的有效偶极矩就是

习题 P． 344， 12.5，12.8， 12.10 补充题： 1） 证明（12.4.8），并从偶极子的定义出发证明通有谐变电流的短天线的有效偶极矩就是 2 0 4 I l p c =