复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第23讲

第二十三讲 上次课 波导中的模式:k 截止频率 TEO(TEOL, TM 波导中模式均为平面电磁波的相干叠加(以满足合适的边界条件) 谐振腔-只允许分立的频率(对应一定的驻波模式)存在 基模为(110)模式 第十二章电磁波的辐射 我们在第8-9两章中已经介绍了电磁波在不同的媒质中的传输行为,然而, 我们对电磁波如何产生的却仍然不知道。这一章中,我们将详细介绍电磁波如何 从源(电荷、电流分布)区产生出来的,这个过程叫做电磁辐射。 wave propagation radiations §12.1势、规范、及其满足的方程 1,勢的定义 原则上讲,对确定的电荷分布p(F,1)和电流分布j(F,1),我们求它的辐射电 磁场就是求解 Maxwell方程

1 第 二 十 三 讲 上次课  波导中的模式： 2 1 c g k c            ， 2 2 2 2 mn c m n c a b            截止频率： 10 01 TE TE ( ) ， TM11  波导中模式均为平面电磁波的相干叠加（以满足合适的边界条件）  谐振腔 - 只允许分立的频率（对应一定的驻波模式）存在 22 2 mnp 222 mn p c abd     ，基模为（110）模式 第十二章 电磁波的辐射 我们在第 8-9 两章中已经介绍了电磁波在不同的媒质中的传输行为，然而， 我们对电磁波如何产生的却仍然不知道。这一章中，我们将详细介绍电磁波如何 从源（电荷、电流分布）区产生出来的，这个过程叫做电磁辐射。 § 12.1 势、规范、及其满足的方程 1．势的定义 原则上讲，对确定的电荷分布 ( ) r ,t  和电流分布 j( ) r ,t   ，我们求它的辐射电 磁场就是求解 Maxwell 方程

V-E =p/E0 (12.1.1) V·B=0 VXB=AoJ+H0Eo E 直接求解E,B场的方程通常比较麻烦,可以使用并矢格林函数的方法(参考JA Kong的书)。类似处理静电、静磁时的情况,我们在处理与源有关的辐射问题时 解“势”的问题更加方便。与静电、静磁时相比,在一般情况下标势、矢势的定 义有所不同。根据 Maxwell方程第三式,可定义矢势A为 xA=园 (12.1.2) 将其带入 Maxwell方程第二式,可得 V×E+ (12.1.3) 因此可以定义标势,其满足 E+2A=-Vo E A-V (1214) 2,规范条件( Gauge) (12.1.2)与(12.14)所定义的势并不唯一。给定任意一个标量函数A(F),由 此定义一对新的标势和矢势: aA A=A+VA (12.1.5) 将上式代入(1212)和(1214),我们发现{:给出与{q完全一样的EB 场。在经典电动力学的范畴内,后者对应着真实的物理场,前者(标、矢势)并 不对应真实的物理场。因此对于同样的物理体系,{叫}的选择并不唯一,必须 在某一个条件的约束下才可能为唯一确定下来。这个条件称为规范条件。通常使 用的规范是库仑规范 (12.16) 和洛仑兹规范 12.17)

2 0 0 00 / 0 E E B t B B j E t                                  （12.1.1） 直接求解 E,B   场的方程通常比较麻烦，可以使用并矢格林函数的方法（参考 JA Kong 的书）。类似处理静电、静磁时的情况，我们在处理与源有关的辐射问题时 解“势”的问题更加方便。与静电、静磁时相比，在一般情况下标势、矢势的定 义有所不同。根据 Maxwell 方程第三式，可定义矢势 A 为   A B   （12.1.2） 将其带入 Maxwell 方程第二式，可得 E A 0 t             （12.1.3） 因此可以定义标势，其满足 EA E A t t                   （12.1.4） 2．规范条件（Gauge） （12.1.2）与（12.1.4）所定义的势并不唯一。给定任意一个标量函数( )r  ，由 此定义一对新的标势和矢势： ' , ' A A t            （12.1.5） 将上式代入（12.1.2）和（12.1.4），我们发现A', '    给出与A,  完全一样的 E B,   场。在经典电动力学的范畴内，后者对应着真实的物理场，前者（标、矢势）并 不对应真实的物理场。因此对于同样的物理体系，A,  的选择并不唯一，必须 在某一个条件的约束下才可能为唯一确定下来。这个条件称为规范条件。通常使 用的规范是库仑规范   A 0  （12.1.6） 和洛仑兹规范 2 1 A 0 c t       （12.1.7）

值得注意的是:洛仑兹规范在静电静磁条件下与库仑规范一致。 3,势所满足的方程 将(12.1.2)与(12.1.4)带入 Maxwell方程中的第一和第四式,我们得到对势的 方程 (12.18) V2A+V(V·A)=0J+ 这组方程是{叫耦合在一起的,使用起来不方便。利用 Lorent规范条件可以 将其化简成相当对称而标准的有源波动方程的形式 (12.1.9) 因此,我们首先根据源的情况求解(12.1.9)得到势,然后再由势求出电磁场。 §12.2推迟势 由于A和φ满足同样的方程,因此我们只要讨论一个标量方程 q(F,)=-p(F,1)/Eo (12.1.9) 的解。求解上述方程的标准方法是定义一个格林函数,满足 1a2 c OrG(-r, t-t)=-8( -F")o(t-t) (12.2.1) 这个函数其实就是当r'时刻在F处做一个扰动时空间所激发的场。定义 R=F-F,T=1-',则发现电势可以表示为: p(,0)=G(R,T)p(',t')dr'dr (12.2.2) 将(122.1)代入上式,很容易证明上式是(12.1.93)的解。因此知道了格林函 数,则具有任意时空分布的源激发的场都可以知道。下面求解格林函数。在R, T空间求解非常不方便,利用 Fourier变换可得

3 值得注意的是：洛仑兹规范在静电静磁条件下与库仑规范一致。 3．势所满足的方程 将（12.1.2）与（12.1.4）带入 Maxwell 方程中的第一和第四式，我们得到对势的 方程：   2 0 2 0 2 / 1 () ( ) A t A A Aj ct t                             （12.1.8） 这组方程是A,  耦合在一起的，使用起来不方便。利用 Lorentz 规范条件可以 将其化简成相当对称而标准的有源波动方程的形式 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 , 1 c t A Aj c t                  （12.1.9） 因此，我们首先根据源的情况求解（12.1.9）得到势，然后再由势求出电磁场。 § 12.2 推 迟 势 由于 A  和 满足同样的方程，因此我们只要讨论一个标量方程 2 2 2 2 0 1 (,) (,) rt rt c t                 （12.1.9’） 的解。求解上述方程的标准方法是定义一个格林函数，满足 2 2 2 2 1 Gr r t t r r t t ( ', ') ( ') ( ') c t                    （12.2.1） 这个函数其实就是当 t' 时刻在 r '  处做一个扰动时空间所激发的场。定义 R    r rT t t ', '    ，则发现电势可以表示为： 0 1   ( , ) ( , ) ( ', ') ' ' r t G R T r t dr dt       （12.2.2） 将（12.2.1）代入上式，很容易证明上式是（12.1.9’）的解。因此知道了格林函 数，则具有任意时空分布的源激发的场都可以知道。下面求解格林函数。在 R， T 空间求解非常不方便，利用 Fourier 变换可得

7)=n1(k,o (122.3) (n)=a27J“。M0 带入(12.2.)可以解得(k,)空间的格林函数的解为 G(k,) (1224) 其中 k2 (122.5 因此,将(1224)带回(12.2.3)可得(R,T)空间的格林函数为 G(R, T) ido 求解这个积分并不容易。先计算对k的积分 ik.R G(R,o) k dk sin ede (2 k kdk (2T iR k-ko 2(2x)iR(k2-k2 )dk dk 4(2r)(k-ko k+ko (1227) 4(2n)2iR (k-k。k+k Jk-ko k+k e-ikrdk 上面的积分中有奇点,若想得到收敛的结果,必须假设k具有一个很小的虚部。 但这个虚数的符号应当取+还是取·呢? 选择的依据是“因果关系”!一在正常介质中这个虚部必须为正 因果关系”要求电磁波在介质中向前传播(能流的方向)时应当产生焦耳热 从而使得能量被耗散。而k是介质中向前传播的波矢,假设k=Re(k)+i6, 则eel= e Re kore-ore-ior,因此δ一定为正。 对上面的两个积分分别选择如下图所示的闭合回路,将被积函数解析延拓到

4 4 4 1 (, ) (, ) (2 ) 1 (,) (2 ) ik R i T ik R i T G R T G k e e dkd R T e e dkd                          （12.2.3） 带入（12.2.1）可以解得(, ) k   空间的格林函数的解为 2 2 0 1 G k(, ) k k     （12.2.4） 其中, 2 2 0 k   （12.2.5） 因此，将（12.2.4）带回（12.2.3）可得(,) R T  空间的格林函数为 4 22 0 1 (,) (2 ) ik R i T e e G R T dkd k k             (12.2.6) 求解这个积分并不容易。先计算对 k 的积分：     cos 2 322 222 0 0 2 22 2 22 0 0 0 2 0 0 2 0 1 1 ( , ) sin (2 ) (2 ) 1 1 (2 ) 2(2 ) 1 11 4(2 ) 1 4(2 ) 1 1 ik R ikR ikR ikR ikR ikR ikR ikR e e G R dk k dk d kk kk ee k kdk e e dk iR k k iR k k e e dk iR k k k k iR kk k                                                           0 00 1 1 ikR ikR e dk e dk k kk kk                               （12.2.7） 上面的积分中有奇点，若想得到收敛的结果，必须假设 0 k 具有一个很小的虚部。 但这个虚数的符号应当取 + 还是取 - 呢？ 选择的依据是“因果关系”！--- 在正常介质中这个虚部必须为正。 “因果关系”要求电磁波在介质中向前传播（能流的方向）时应当产生焦耳热 从而使得能量被耗散。而 0 k 是介质中向前传播的波矢，假设 k ki 0 0  Re( )   ， 则 ik r i k r 0 0 it r it Re( ) ee e ee       ，因此 一定为正。 对上面的两个积分分别选择如下图所示的闭合回路，将被积函数解析延拓到

复平面,则利用留数定理容易推出 Case 1 83 Part 1 Part 2 k+iδ k+i8 k-i8 1AR×24(2n)iR 4(2)iR o R x(-2mi) (12.28) 在(1228)式中加入时间振荡因子em,则发现这个解对应这样一个单频波, 4丌R ,其物理意义为一个点源的“出射波”--即从源点向外发射的球面波 显然这是符合“因果关系”的解。若选择k0的虚部为负,则结果为不符合因果 关系的“会聚波″。进而将(12.28)代入(122.6)可得最终的格林函数 G(R,T) do δ(R/c-T (1229) 2丌J4丌R 4丌R 这个解的物理意义更加明晰一在原点处0时刻作一个激发,则激励的波以球面 波的形式传播出去一波振幅以1/R形式衰减,且只在R≡ct处有值。将格林函数 形式(1229)带入(12.24)得到 P(r,t) S(R/c-T)P(r, t )drdt (122.10) 4 4 式中方括号[]表示!=1--,同理可得 dr(122.11) 4丌R 我们注意到,A的表达式在形式上与静态时 的解一致,只是在动态时t时刻的辐射场是由 此时刻前的一个时刻的扰动贡献的,而这个 推迟的时间正是从源到观测点光信号传播所需

5 复平面，则利用留数定理容易推出 Part 2 . -k0 -i k0 +i . -k0 -i . Case 1 k >0 Part 1 k0 +i . 0 0 0 2 2 1 1 (, ) 2 (2 ) 4(2 ) 4(2 ) 4 ik R ik R ik R e GR e i e i iR iR R            (12.2.8) 在（12.2.8）式中加入时间振荡因子 i T e  ，则发现这个解对应这样一个单频波， 0 4 ik R e i T e R    ，其物理意义为一个点源的“出射波”--- 即从源点向外发射的球面波。 显然这是符合“因果关系”的解。若选择 0 k 的虚部为负，则结果为不符合因果 关系的“会聚波”。进而将（12.2.8）代入（12.2.6）可得最终的格林函数   0 1 1 (,) / 24 4 ik R e i T GRT e d R c T R R            （12.2.9） 这个解的物理意义更加明晰 – 在原点处 0 时刻作一个激发，则激励的波以球面 波的形式传播出去 – 波振幅以 1/R 形式衰减，且只在 R=ct 处有值。将格林函数 形式（12.2.9）带入（12.2.4）得到   0 0 11 1 ( , ) ( / ) ( ', ') ' ' 4 4 r t R c T r t dr dt d R R              （12.2.10） 式中方括号[ ]表示 R t t c    ，同理可得 0 (,) 4 j Art d R              （12.2.11） 我们注意到, A  的表达式在形式上与静态时 的解一致，只是在动态时t 时刻的辐射场是由 此时刻前的一个时刻的扰动贡献的，而这个 推迟的时间正是从源到观测点光信号传播所需 t 3 t 2 t 1

的时间。这就是推迟势,其物理的根据是因果关系。 §12.3多极辐射 很多情况下辐射源电流、电荷分布于空间一很小区域内,而我们则关心远场 的行为,此时类似静电、静磁时的处理方法,我们可以作多极展开。 1.推迟势的多极展开 我们讨论的是远离源的场,即r>l(图122),1为源的线度。被积函数是R的 函数,我们可以将它在F处展开为级数,即 (R-r) alp r.v RR 式中表示{1-,以后为简便起见,脚标0不再写出。同理可得 故 dr'-.vLIdr'+ 图122 4 1=均[ar-地[vDdr+ 4 我们下面分别研究A、g展开式中各项的物理意义,以及它们所代表的辐射场的 性质 2.电偶极辐射 q展开式中的第一项 Po- ATOr da =4rE0 (12.3.2) ρ是系统的总电荷量,一般情况下不随时间变化,没有辐射。第二项

6 的时间。这就是推迟势，其物理的根据是因果关系。 § 12. 3 多 极 辐 射 很多情况下辐射源电流、电荷分布于空间一很小区域内，而我们则关心远场 的行为，此时类似静电、静磁时的处理方法，我们可以作多极展开。 1．推迟势的多极展开 我们讨论的是远离源的场，即r l  （图 12.2），l 为源的线度。被积函数是 R  的 函数，我们可以将它在r  处展开为级数，即             0 0 ... Rr Rr Rr r RR R r r R                             (12.3.1) 式中 0  表示 , r r t c           ，以后为简便起见，脚标 0 不再写出。同理可得 ... jj j r Rr r               故     0 1 ... 4 dr d r r                     0 0 4 4 j j A d rd r r                       我们下面分别研究 A   、 展开式中各项的物理意义，以及它们所代表的辐射场的 性质。 2．电偶极辐射  展开式中的第一项   0   00 0 1 44 4 Q d d rr r              （12.3.2） Q是系统的总电荷量，一般情况下不随时间变化，没有辐射。第二项

(12.3.3) 48.r 式中[小=P[]dr',表示系统总的电偶极矩 A展开式中的第一项 dt-4πl 4 q (123.4) Ho d 10 4r dt 4丌r 所以,电偶极矩系统所产生的A和φ为(12.33)及(12.34)。下面考虑单频的 辐射源,p(r,t)=p(F)e,j(F',t)=j(F)em(任意情况总可以展开成单频结 果的叠加)。从联系B与A的公式,我们得到电偶极辐射场中的磁场部分为 BM瓜 V (12.3.5) 电场当然也可以由势推出。但在无源区,电场可以更简单地由磁场导出 E VxVX 1236) 4 下面仔细分析一下在(12.3.5)和(12.36)式中要用到的一项 (x[)+V(问 (123.7) 考虑第一项,因为[小=peec,则微分运算可以代换成 Vai-e=ike (12.3.8) 再考虑第二项,因v e,最终,(12.3.7)变为 oe, xlp e×[p (12.3.7) 因此,和的比较决定了哪一项大,哪一项小。下面我们分三个区域来讨论

7     1 0 0 4 4 p r d r r                 (12.3.3) 式中 p  r d        ，表示系统总的电偶极矩。 A  展开式中的第一项：   00 0 1 0 0 44 4 4 4 i i i i i i j A d v d qv rr r d qr p r dt r                                                  (12.3.4) 所以，电偶极矩系统所产生的 A  和 为（12.3.3）及（12.3.4）。下面考虑单频的 辐射源， ' ' ( ', ') ( ') , ( ', ') ( ') it it r t r e jr t jr e             （任意情况总可以展开成单频结 果的叠加）。从联系 B  与 A  的公式，我们得到电偶极辐射场中的磁场部分为   0 0 4 4 p i p B r r                    (12.3.5) 电场当然也可以由势推出。但在无源区，电场可以更简单地由磁场导出   2 0 1 4 c p E B i r           (12.3.6) 下面仔细分析一下在（12.3.5）和（12.3.6）式中要用到的一项：         p 1 1 p p r rr                      （12.3.7） 考虑第一项，因为  0 i r i t c p pe e       ，则微分运算可以代换成 r r i e ike c      （12.3.8） 再考虑第二项，因 2 1 1 r e r r          ，最终，（12.3.7）变为 11 1 [] [] r r iep ep c rr r               （12.3.7’） 因此， c  和 1 r 的比较决定了哪一项大，哪一项小。下面我们分三个区域来讨论

L远区:不仅要求r>l,而且r>4,为辐射场的波长,此时,公式(1237) 中第一项远大于第二项。因此在计算电磁场时,只需计算V算子作用到[小上即 可,无需计算其作用到一上。这等价于做代换(12.3.8)。因此,远区场强的公式 为 B=e, x[ (12.3.9) e, x(e, x[pl) (2)近区:r>l。这时公式(12.35)和(12.36)中的旋度算子 只要对分母运算即可。因为每对分母运算一次得到一个-因子,而对分子运算得 到一个因子,显然比贡献大。于是我们得到近区的场强为 B=x[问 (12.3.10) E=(3,([-[ 我们注意到此时电场和静态时的电偶极子的电场形式上完全一样,只不过时间上 推迟了一个辐射时间而已-事实上在这个条件下,“准静态”近似适用(参考第 6章) 3)中间区域:虽然r>l,但r≈λ,这时我们必须同时保留对分母运算的项 和对分子运算的项。这是因为对两者运算得到的因子和O=1是同数量级 习题 P.343,12.1 补充 (1)仿照课件中对真空中格林函数的解(1229)的推导,利用因果关系,推导 出一个均匀的负折射介质〔ε<0,μ<0)中的格林函数的解,并解释所得的格林 函数的物理意义。 (2)推导(12.3.10)式,计算一个偶极振子在近场条件下的能流分布的时间平 均值;(选作)证明(12.3.10)满足准静态近似下的 Maxwell方程

8 (1) 远区：不仅要求 r l  ，而且 r   ， 为辐射场的波长，此时，公式(12.3.7) 中第一项远大于第二项。因此在计算电磁场时，只需计算 算子作用到 p  上即 可，无需计算其作用到 1 r 上。这等价于做代换（12.3.8）。因此，远区场强的公式 为       2 0 2 2 0 4 , 4 r r r B ep cr E eep c r                  (12.3.9) (2) 近区： r   ，但仍满足 r l  。这时公式(12.3.5)和(12.3.6)中的旋度算子 只要对分母运算即可。因为每对分母运算一次得到一个 1 r 因子，而对分子运算得 到一个 1  因子，显然 1 r 比 1  贡献大。于是我们得到近区的场强为           0 2 3 0 , 4 1 3 4 r r r i B ep r E ee p p r               (12.3.10) 我们注意到此时电场和静态时的电偶极子的电场形式上完全一样，只不过时间上 推迟了一个辐射时间而已 – 事实上在这个条件下，“准静态”近似适用（参考第 6 章）。 (3) 中间区域：虽然 r l  ，但 r   ，这时我们必须同时保留对分母运算的项 和对分子运算的项。这是因为对两者运算得到的因子 1 r 和 1 c    是同数量级。 习题 P． 343， 12.1 补充 （1）仿照课件中对真空中格林函数的解（12.2.9）的推导，利用因果关系，推导 出一个均匀的负折射介质（   0, 0  ）中的格林函数的解，并解释所得的格林 函数的物理意义。 （2）推导（12.3.10）式，计算一个偶极振子在近场条件下的能流分布的时间平 均值；（选作）证明（12.3.10）满足准静态近似下的 Maxwell 方程