第三讲 上次课: j-磁的来源 idex R B() r 磁场 F= jdt x b,F=q(E+下xB)-电流在磁场中的受力, Lorentz力 B=Vx,()=均「r磁场的矢势 R ··B(F)=0-磁场为无源场(与电流是否稳恒无关) 有用公式:V R 4TO(R) R 6.B()的旋度 下面来求B(F)的旋度。由(1.2.12)式得 B(F)=Vx(V×A)=V(V·A)-V2A (12.14) (要记住这个公式,先记住矢量叉积公式ax(b×c)=b(a·c)-c(a·b),再作代换 Ⅴ分aVb,c纱B)先看第一项 V·A= j(7) ∫vn:j() R 2.1 利用数学工具将以上微分形式改写成全微分的形式 4 vr 0)dr=+ v(RRv R()dr(1.2.16) (注意V和V"的不同,前者对变量现察点坐标后者剧变量产'-源所在坐标) 注意到在稳恒电流条件下,有v·1(F)=0,故 A=_Ho(v J( 0 (1.2.17) R 这是由于电流分布在有限区域,无穷远处边界处的电流密度一定为零。再看第二 项 VA=2i(ar=[j(v2r'=-J/(r)(R=-()(1.218) R
1 第三讲 上次课： j – 磁的来源 0 3 ( ) 4 jd R B r R -磁场 F jd B F q E v B ,( ) - 电流在磁场中的受力，Lorentz 力 0 ( ) ; ( ) 4 j r B A Ar d R - 磁场的矢势 B r() 0 - 磁场为无源场（与电流是否稳恒无关） 有用公式： 2 3 1 1 4 () R R R R R 6． B( )r 的旋度 下面来求 B( )r 的旋度。由(1.2.12)式得 2 B() ( ) ( ) r A AA (1.2.14) （要记住这个公式，先记住矢量叉积公式 a b c bac cab ( ) ( )( ) ，再作代换 a bc B , , ）先看第一项： 0 0 () 1 ( ) 4 4 j r A d jr d R R (1.2.15) 利用数学工具将以上微分形式改写成全微分的形式 0 0 1 () 1 () () 4 4 j r A jr d jr d R RR (1.2.16) （注意 和'的不同，前者对变量 r -观察点坐标，后者对变量 r ' -源所在坐标）。 注意到在稳恒电流条件下，有 j r() 0 ，故 0 0 ' () () 0 4 4 r jr jr A d dS R R (1.2.17) 这是由于电流分布在有限区域，无穷远处边界处的电流密度一定为零。再看第二 项： 22 2 0 0 0 0 () 1 ( ) ( )( ) () 4 4 j r A d jr d jr Rd jr R R (1.2.18)
整理两项贡献可得B的旋度为 V×B=0() (12.18) (1218)式称为安培环路定理的微分形式,对应的积分形式为pBd= Tips:从推导过程中可以看出,(1.2.18)式显然只在穗恒电流亲件下成立,一情况下 的形式必须重新考虑! 7,磁偶极子 当外加电场时,物质中的正电荷受到沿电场的作用力而负电荷受到反向于电场的 作用力,因此正负电荷被拉开形成电偶极子。与此相对应,对一个物质施加磁场, 电子在磁场 Lorentz力的作用下做回旋运动,形成一个分子环流。因此,一个环 形稳恒电流在静磁学中起到与电偶极子在静电学中完全一样的作用, 我们叫它磁偶极子。下面我们就研究一个 磁偶极子(电流Ⅰ,线圈半径a)的磁场, 与p类似,我们先计算m产生的势 4)=[P) dl(12.19) R 4丌JR 在远场条件下r>r因此= ≈一 代入上式可得(第一项贡献 R 14a,根据电流守恒,显然=0) R r) (1.2.20) 为了便于计算,考虑一个大小 为a×b的矩形线圈。计算x分 量可得 4([=2x+)12)+m(x+192]=一y0122 同理可以得到y分量的表达式:4()、oxb。综合可得 A() 4丌r 注意到m=S=lb,类似电偶极子的标势,我们可以将磁偶极子的矢势写成更
2 I a b r r' R o 整理两项贡献可得 B 的旋度为 0 B j r( ) （1.2.18） （1.2.18）式称为安培环路定理的微分形式，对应的积分形式为 B 0 dl I ． Tips： 从推导过程中可以看出，（1.2.18）式显然只在稳恒电流条件下成立，一般情况下 的形式必须重新考虑！ 7．磁偶极子 当外加电场时，物质中的正电荷受到沿电场的作用力而负电荷受到反向于电场的 作用力，因此正负电荷被拉开形成电偶极子。与此相对应，对一个物质施加磁场， 电子在磁场 Lorentz 力的作用下做回旋运动，形成一个分子环流。因此，一个环 形稳恒电流在静磁学中起到与电偶极子在静电学中完全一样的作用， 我们叫它磁偶极子。下面我们就研究一个 磁偶极子（电流 I，线圈半径 a）的磁场， 与 p 类似，我们先计算 m 产生的势。 0 0 () 1 ( ) 4 4 j r I A r d dl R R (1.2.19) 在远场条件下 r r '因此 3 111 ' ' r r R rr r r ，代入上式可得（第一项贡献 1 dl r ，根据电流守恒，显然=0） 0 3 ( ) ( ') 4 I A r r r dl r (1.2.20) 为了便于计算，考虑一个大小 为a b 的矩形线圈。计算 x 分 量可得 /2 /2 0 0 3 3 /2 /2 ( ) ( ' / 2) ' ( ' / 2) ' 4 4 a a x a a A r xx yb dx xx yb dx yba r r (1.2.21) 同理可以得到 y 分量的表达式： 0 3 ( ) 4 A y r xba r 。综合可得 0 3 ( ) ˆ ˆ 4 Iba A r yx xy r （1.2.22） 注意到m IS Iabz ˆ ，类似电偶极子的标势，我们可以将磁偶极子的矢势写成更 B v q a E + - m p
紧凑的形式 A()=Ao mxF (1.2.23) 由此可进一步求出空间的磁场 F)=VxA=ovx mx 3(m·)F (1.224) 我们发现磁偶极子的磁场与电偶极子的电场的形式完全一致! 这并不奇怪,在远场看,p与m的场是完全一样 尽管近场结构很不一样.这事实上蕴含着很深的物理: 在无源区,电场的磁场满足一样的方程。 对比静电场与静磁场,发现它们之间有着惊人的对称性 磁 P(r)dr E() 4 R B(F)=ndr×R 4丌R F=pdr F=jdz×B 散度 V·E(F)=p(F)/E0 V·B()=0 旋度 V×E V×B=Aj(F) p(r)dr bo E()=-Vq,94n0:R F)=V×A, Ho[ jdr 4丌JR 偶极子的 P 4 A()=o mxP 4丌 偶极子的 H「m-3(m,f) 4ts r3 4 以后我们还会发现电、磁之间更多的对称性,这在学习电动力学中(特别是与磁 场相关的问题是特别需要注意的) §13电磁感应定律 自从奥斯特发现了电流产生磁场之后,人们一直在研究是否存在相反的效应,即 磁场能不能产生电流. Faraday建立了描述磁产生电的电磁感应定律.对一个闭 合的线圈, Faraday的实验表明
3 紧凑的形式 0 3 ( ) 4 m r A r r (1.2.23) 由此可进一步求出空间的磁场 0 0 3 3 3( )ˆ ˆ ( ) 4 4 r m mrr Br A m r r (1.2.24) 我们发现磁偶极子的磁场与电偶极子的电场的形式完全一致！ 这并不奇怪，在远场看，p 与 m 的场是完全一样， 尽管近场结构很不一样. 这事实上蕴含着很深的物理： 在无源区，电场的磁场满足一样的方程。 对比静电场与静磁场，发现它们之间有着惊人的对称性 电 磁 源 j 场 3 0 1 () ( ) 4 r d E r R R 0 3 ( ) 4 jd R B r R 力 F dE F jd B 散度 0 Er r ( ) ( )/ B r() 0 旋度 E 0 0 B j r( ) 势 0 1 () ( ) , 4 r d E r R 0 ( ) , 4 jd Br A A R 偶极子的 势 3 0 1 4 p r r 0 3 ( ) 4 m r A r r 偶极子的 场 3 0 1 3( ) 4 p p p rr ˆ ˆ E r 0 3 3( ) 4 m m mrr ˆ ˆ B r 以后我们还会发现电、磁之间更多的对称性，这在学习电动力学中（特别是与磁 场相关的问题是特别需要注意的） §1.3 电磁感应定律 自从奥斯特发现了电流产生磁场之后，人们一直在研究是否存在相反的效应，即 磁场能不能产生电流．Faraday 建立了描述磁产生电的电磁感应定律．对一个闭 合的线圈，Faraday 的实验表明， I -q +q
(1)仅当通过这个线圈的磁通量产生变化时,线圈之中才会产生感应电流; (2)电流的大小与线圈材料的电导成正比(同样形状的线圈,线圈材料的导电 性越好,电流越大) 这第二个性质预示着电磁感应效应中更基本的物理量应当是电动势,而不是电 流。总结了大量的实验, Faraday给出了感应电动势的大小 BdS (1.3.1) 感生电动势(电流)的方向是与楞次给出的-感生电流的产生是用来抵消磁通 量的改变的。总结法拉弟和楞次的贡献,完整的电磁感应定律是 B·dS (13.2) 显然,磁通量的改变可以由两种机制产生 (1)磁场本身发生变化(B变,感生); (2)回路相对磁场发生变化(ds变,动生)。 对第一种情况,注意到电动势的定义为外力将单位电量的 电荷在环路上驱动一周所提供的能量。△W=Fdl/q Es=9。E团 (13.3) 其中E=F/q与静电场同样量纲,且具有同样地对电荷的驱动作用,因此我们 称它为“非静电来源的电场“,因此,(1.3.2)式可改写成 E (1.34) 利用斯托克斯定理:E-=(xE,△,得!(xE+a)=0。因为 线圈回路是任意的故积分曲面是任意的,所以得到 V×E, 此即是电磁感应定律的微分形式,式中的E和B是相对于同一参考系定义的。 第二种情况要复杂许多,因为此时线圈在运动,此时线圈内的电荷受到的驱动电 场是在一个相对于实验室运动的坐标系中的电场,用Ek表示。Ek与B的关系是 两个相对运动的坐标系中场的关系。对这个问题的深入理解,我们将推迟到学习 相对论时进行 (135)式显示:当磁场发生变化时
4 （1） 仅当通过这个线圈的磁通量产生变化时，线圈之中才会产生感应电流； （2） 电流的大小与线圈材料的电导成正比（同样形状的线圈，线圈材料的导电 性越好，电流越大） 这第二个性质预示着电磁感应效应中更基本的物理量应当是电动势，而不是电 流。总结了大量的实验，Faraday 给出了感应电动势的大小 S d B dS dt 感 （1.3.1） 感生电动势（电流）的方向是与楞次给出的 - 感生电流的产生是用来抵消磁通 量的改变的。总结法拉弟和楞次的贡献，完整的电磁感应定律是 S d B dS dt 感 （1.3.2） 显然，磁通量的改变可以由两种机制产生： （1）磁场本身发生变化（B 变，感生）； （2）回路相对磁场发生变化（ds 变，动生）。 对第一种情况，注意到电动势的定义为外力将单位电量的 电荷在环路上驱动一周所提供的能量 W F dl / q q K C E dl 感 （1.3.3） 其中 / EK F q 与静电场同样量纲，且具有同样地对电荷的驱动作用，因此我们 称它为“非静电来源的电场“．因此，(1.3.2)式可改写成 K C S B E dl dS t (1.3.4) 利用斯托克斯定理: ( ) K K C S E dl E dS , 得 ( )0 K S B E dS t 。因为 线圈回路是任意的故积分曲面是任意的，所以得到 K B E t (1.3.5) 此即是电磁感应定律的微分形式, 式中的 EK 和 B 是相对于同一参考系定义的。 第二种情况要复杂许多，因为此时线圈在运动，此时线圈内的电荷受到的驱动电 场是在一个相对于实验室运动的坐标系中的电场，用 ' EK 表示。 ' EK 与 B 的关系是 两个相对运动的坐标系中场的关系。对这个问题的深入理解，我们将推迟到学习 相对论时进行。 （1.3.5）式显示：当磁场发生变化时
1)空间中会激发出类似静磁场的(这里-B/等价于电流密度)蜗旋电场; 2)这种电场不是由电荷激发的,而是由变化的磁场产生的; 3)它们的存在并不依赖于有没有线圈,线圈中产生电流只是一个探测手段 4)E和静电场一样对电荷产生驱动力F=qE,+E),因此对电荷来讲,它感 知到的就是空间的总场E=E,+Ex,无论来源。 §14麦克斯韦方程组 前面几节中,我们讲述了电磁现象的基本实验定律,现总结如下: VE=p/Eo VxE=0}(静止电荷) B,= (稳定电流) V×B,=A4引 V×E Ba (变化磁场) 它们分别都有自己的适用条件和范围。在一般的情况下,所有的场量及激发它 们的源(p,j)都可能随时间变化,此时描述它们行为的电磁规律是什么呢? Maxwell仔细研究了这个问题,总结出了 Maxwell方程组。让我们假设自己就是 当年的 Maxwell,面对已经建立的实验定律思考一下一般的规律应当是怎样的 第一条方程 vE,=p/6是由库仑定律导出的.它的直观物理图象是单位电荷激发1E 根电场线。在普遍情况下,电场可以随时间变化,电场的变化有两种可能的起源 1)源电荷运动 2)总电场中含有感应电场E 对第一个可能,电荷运动是其发出的电力线将跟随它运动,因此在t时刻在r位 置处做一无限小的闭合区间,可以预期此时刻电场线通过表面的总数仍然与其中 的电量成正比。对第二个可能,注意到E与静磁场非常类似,是围绕着磁场变 化产生的蜗旋场,而这种电场场线显然是连续无源的,可以预期E=0。综 合这两个考虑,对空间的总电场来说, V.E(,)=V,E,+V.E=D(F,)/ (14.1) 注:直接从电磁感应定律的原始形式不能推出感应电场为无源场V·E=0的结论的。这应 当是Mawl做的合理推广,正确与否被后来的无数实验所验证。有机会查查历史上 Maxwell当时是怎样得到这个结论的
5 1）空间中会激发出类似静磁场的（这里 0 B / 等价于电流密度）蜗旋电场； 2）这种电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场产生的； 3）它们的存在并不依赖于有没有线圈，线圈中产生电流只是一个探测手段； 4） EK 和静电场一样对电荷产生驱动力 F q( E E ) s K ，因此对电荷来讲，它感 知到的就是空间的总场 E E E s K ，无论来源。 §1.4 麦克斯韦方程组 前面几节中，我们讲述了电磁现象的基本实验定律，现总结如下： 0 0 ( ) 0 0 ( ) s s s s K E E B B j B E t 静止电荷 稳定电流 （变化磁场） 它们分别都有自己的适用条件和范围。 在一般的情况下，所有的场量及激发它 们的源（, j ）都可能随时间变化，此时描述它们行为的电磁规律是什么呢？ Maxwell 仔细研究了这个问题，总结出了 Maxwell 方程组。让我们假设自己就是 当年的 Maxwell，面对已经建立的实验定律思考一下一般的规律应当是怎样的。 第一条方程 Es 0 是由库仑定律导出的．它的直观物理图象是单位电荷激发 0 1 根电场线。在普遍情况下，电场可以随时间变化，电场的变化有两种可能的起源： 1）源电荷运动； 2）总电场中含有感应电场 EK 对第一个可能，电荷运动是其发出的电力线将跟随它运动，因此在 t 时刻在 r 位 置处做一无限小的闭合区间，可以预期此时刻电场线通过表面的总数仍然与其中 的电量成正比。对第二个可能，注意到 EK 与静磁场非常类似，是围绕着磁场变 化产生的蜗旋场，而这种电场场线显然是连续无源的，可以预期 0 EK 。综 合这两个考虑，对空间的总电场来说， 0 (,) (,) Ert E E rt s K （1.4.1） 注：直接从电磁感应定律的原始形式不能推出感应电场为无源场 0 EK 的结论的。这应 当是 Maxwell 做的合理推广，正确与否被后来的无数实验所验证。有机会查查历史上 Maxwell 当时是怎样得到这个结论的
第二条方程 在普遍情况下电场应当是总场,故其旋度为 VXE=VXES+VXEK (14.2) 第三条方程 虽然V·B=0是对静磁场推出的,我们注意到在推导的过程中并没有利用到 电流必须稳恒的条件(即vj(F)=0,由电流电荷密度不随时间变化推得)。 个大胆的假设是高斯定理在磁场随时间变化时仍成立 V·B(F,1)≡0 (14.3) 但这个推广必须与其他定律不互相矛盾,不妨对与磁场关联的法拉第定律两边取 散度, V·(V×E)=-V 因为Ⅴ·(V×E)≡0,所以 即V.B=常数(与时间无关),此常数决定于初始时刻的值。假设变化的电磁场 是由初始静态的电磁场演化而来的,上式意味着此常数=0(因为静态磁场满足高 斯定理),因此随时间变化的条件下V·B=0仍然正确! 第四条公式 与推导高斯定理不同,环路定理V×B=A0/的得到用到了稳恒电流的条件 V·j=0。然而V·j=0在一般情况下不成立,根据电流-电荷守恒,有 (144) 因此在一般情况下V×B=07不再成立。为了证明这一点,对VxB=7两边同 时取散度,得 V(V×B)=0V (14.5) 等式左边≡0,但等式右边一般情况下不为0(只在静态时=0)。可见静态的环路
6 第二条方程 在普遍情况下电场应当是总场，故其旋度为 S K B EE E t （1.4.2） 第三条方程 虽然 B 0 是对静磁场推出的，我们注意到在推导的过程中并没有利用到 电流必须稳恒的条件（即 ' ( ') 0 j r ，由电流电荷密度不随时间变化推得）。一 个大胆的假设是高斯定理在磁场随时间变化时仍成立： Brt (,) 0 （1.4.3） 但这个推广必须与其他定律不互相矛盾，不妨对与磁场关联的法拉第定律两边取 散度， B E t （ ） 因为 E 0 （ ） ，所以 0 B B t t = 即 B 常数（与时间无关），此常数决定于初始时刻的值。假设变化的电磁场 是由初始静态的电磁场演化而来的，上式意味着此常数=0（因为静态磁场满足高 斯定理）， 因此随时间变化的条件下 B 0 仍然正确！ 第四条公式 与推导高斯定理不同，环路定理 B 0 j 的得到用到了稳恒电流的条件 j 0 。然而 j 0 在一般情况下不成立，根据电流-电荷守恒，有 j 0 t （1.4.4） 因此在一般情况下 B 0 j 不再成立。为了证明这一点，对 B 0 j 两边同 时取散度，得 B 0 j （ ） （1.4.5） 等式左边0，但等式右边一般情况下不为 0（只在静态时=0）。可见静态的环路
定理与电荷守恒定律是有矛盾的。显然电荷守恒定律定律更基本,故安培环路定 理必须作相应修改 如果在一般情况下我们仍然想将环路定理写成 V×B=G 的形式,则1)G在静态时回到j;2)上式应与电荷守恒定律协调。此时将(146) 式两边求散度,得到对G的限制条件为 V·G(F,t)=0 (14.7) 再考察电荷守恒定律(14.1),注意到p=EV·E(静电场的Gaus定理),则有 Vj+0p=V·j+(nv·E)=V Ii+E E=0 ot 因此,一个自然的选择是G=j+50E(显然上述定义使得G在静态时回到j)。 故,安培环路定理可以推广为 VxB=A(÷624)+5E (148) 式中的50E称为位移电流,与传导电流有着相同的量纲,但却不是实际的 传导电流。可以把位移电流理解成电流线的延续,如下图所示,当电流非稳恒时, 必然会产生电荷积累,电荷积累就会在空间产生变化的电场,因此这种变化的电 场正是补偿电流的变化的。根据上面的分析, Maxwell 总结出真空中电磁场的所满足的普遍规律为 V·E=p/E V×E V·B=0 VxB=4J+HoCE 在没有源(j=0.,p=0)的空间中,则 Maxwel)程变为
7 +++++++ j E - - - - - - - 定理与电荷守恒定律是有矛盾的。显然电荷守恒定律定律更基本，故安培环路定 理必须作相应修改． 如果在一般情况下我们仍然想将环路定理写成 B 0G （1.4.6） 的形式，则 1）G 在静态时回到 j ；2）上式应与电荷守恒定律协调。此时将（1.4.6） 式两边求散度，得到对G 的限制条件为 (,) 0 Grt （1.4.7） 再考察电荷守恒定律（1.4.1），注意到 0 E (静电场的 Gauss 定理)，则有 0 0 j j E jE 0 tt t 因此，一个自然的选择是Gj E 0 t （显然上述定义使得G 在静态时回到 j ）。 故，安培环路定理可以推广为 B 0 0 0 00 j Ej E t t （1.4.8） 式中的 0 E t 称为位移电流，与传导电流有着相同的量纲，但却不是实际的 传导电流。可以把位移电流理解成电流线的延续，如下图所示，当电流非稳恒时， 必然会产生电荷积累，电荷积累就会在空间产生变化的电场，因此这种变化的电 场正是补偿电流的变化的。根据上面的分析，Maxwell 总结出真空中电磁场的所满足的普遍规律为 0 0 00 / 0 E E B t B B j Et 在没有源（ j 0, 0 ）的空间中，则 Maxwell 方程变为
V·E=0 V×E V·B=0 B=boEo 我们看到电场/磁场具有近乎完美的对称性,除了2点: 1)公式(1)与(3)在系数上仍有差异 2)有个正负号的差异。 对第1点,后面我们会发现这是个历史的误会;对第2点,这个正负号的差异是 至关重要的,没有这个符号的差别,电磁波就不复存在,世界就可能是另一个面 目。位移电流的引入从另一个侧面深刻揭示了电场和磁场之间的联系:不仅变化 的磁场激发电场,变化着的电场同样激发磁场,两者都以祸旋形式激发,并左右 手对称 注:有人说Mxw只干了引入位移电流这一件事,其他的3.5个方狸是别人的形劳, 这非常不公平。从本节的学习中我们可以看到 Marwell方程组的每一亲公式的建立都不 显而形见的,事实上,与其他静态时的实验定律(库伦定律、安楼定律)不同,xel方 程组的建立并没有坚实的实验基础而是 Maxwell1的一些合理的推广,在这个意义上讲 Maxwe/1建立这组方程时的勇气是巨大的,另外,过个方程的直接预言是电磁波,所以 Mxwe11方程组的正确性直到几十年后Bert的实验出来后才被证实。最后,Mxw11方狸 的建立使得电磁现泉与光学现象联系起来,从此人们对光学有了定量的认识 习题 1)推导(1.224)。 选作题 )证明放置于原点的一个半径为a的载流为I的圆形线圈在远处产生的矢势仍 然为(1.2.23) 2)编写一段小程序( Fortran或C++),计算电(磁)偶极子的标(矢)势及电 (磁)场在任意一点的值,选取合适的高对称平面,用图形处理程序(0 rIgin, 等)将这些量的分布表示出来。比较真实计算结果和利用电(磁)偶极子的 公式计算出来的结果的不同,并从数值结果分析在什么条件下我们可以用电 (磁)偶极子的公式代表这些真实结构的电(磁)场
8 0 0 0 0 E E B t B B E t 我们看到电场/磁场具有近乎完美的对称性，除了 2 点： 1）公式（1）与（3）在系数上仍有差异； 2）有个正负号的差异。 对第 1 点，后面我们会发现这是个历史的误会；对第 2 点，这个正负号的差异是 至关重要的，没有这个符号的差别，电磁波就不复存在，世界就可能是另一个面 目。位移电流的引入从另一个侧面深刻揭示了电场和磁场之间的联系：不仅变化 的磁场激发电场，变化着的电场同样激发磁场，两者都以祸旋形式激发，并左右 手对称。 注：有人说 Maxwell 只干了引入位移电流这一件事，其他的 3.5 个方程都是别人的功劳， 这非常不公平。从本节的学习中我们可以看到，Maxwell 方程组的每一条公式的建立都不是 显而易见的，事实上，与其他静态时的实验定律（库伦定律、安培定律）不同，Maxwell 方 程组的建立并没有坚实的实验基础， 而是 Maxwell 的一些合理的推广．在这个意义上讲， Maxwell 建立这组方程时的勇气是巨大的。另外，这个方程的直接预言是电磁波，所以 Maxwell 方程组的正确性直到几十年后 Hertz 的实验出来后才被证实。最后，Maxwell 方程 的建立使得电磁现象与光学现象联系起来，从此人们对光学有了定量的认识。 习题 1）推导（1.2.24）。 选作题 1）证明放置于原点的一个半径为 a 的载流为 I 的圆形线圈在远处产生的矢势仍 然为（1.2.23）。 2）编写一段小程序（Fortran 或 C++），计算电（磁）偶极子的标（矢）势及电 （磁）场在任意一点的值，选取合适的高对称平面，用图形处理程序（Origin， 等）将这些量的分布表示出来。比较真实计算结果和利用电（磁）偶极子的 公式计算出来的结果的不同，并从数值结果分析在什么条件下我们可以用电 （磁）偶极子的公式代表这些真实结构的电（磁）场
