第十一讲 上次课 本征函数展开法 (1)V=0有一系列正交完备的解-本征函数{qn} (2)完备性--=∑cn (3)展开系数:cn=(n|),根据正交性比较不同本征函数前的系数 [例5]半径为R、介电常数为ε2的均匀介质球,被置于均匀外场E中,球外空 间充满均匀介电常数为s的介质。求空间电势的分布。 解:如图4.6,取E方向为极轴二方向,这个问题是绕=轴旋转对称,为此我 们把球分成内外两个区域,分别写出它们的方程和边界条件。令球外、内空间分 别为区域I、I电势分别为q,2则1,Q2满足方程 2=0,V2(2=0 相应的边条为 0s日, q1=92,r=R 2 有限 0 排审 本问题为轴对称问题,可将q292展开成 Laplace方程本征函数的线性叠加,即
1 第十一讲 上次课 本征函数展开法： （1） 2 0 有一系列正交完备的解 – 本征函数 n （2）完备性 --- n n n c （3）展开系数： | n n c ，根据正交性比较不同本征函数前的系数 [例 5] 半径为 R 、介电常数为 2 的均匀介质球，被置于均匀外场 E0 中，球外空 间充满均匀介电常数为 1 的介质。求空间电势的分布。 解： 如图 4.6，取 E0 方向为极轴 z 方向，这个问题是绕 z 轴旋转对称，为此我 们把球分成内外两个区域，分别写出它们的方程和边界条件。令球外、内空间分 别为区域I 、II,电势分别为1，2 则 1 2 , 满足方程 2 2 1 2 0, 0 （4.4.18） 相应的边条为 1 0 1 2 1 2 1 2 2 cos , (1) , (2) (3) , 0 (4) rR rR Er r r R r r r 有限 本问题为轴对称问题，可将 1 2 , 展开成 Laplace 方程本征函数的线性叠加，即
A r+B i (4.4.19) 仍=∑[4r+Br)] I P(os 6) 其中{A4、A:B,B"}为一系列展开系数,需要由边界条件确定。根据我们上次课 对均匀电场中的金属球的问题的求解,我们已有了经验一均匀电场的边界条件 (1)只包含l1项的贡献,因此(4.4.19)中只有l=1项的系数非0,故有 (A r+B rcos 0 (4.4.19,) p2 Ar+ 下面我们利用本征函数的正交性对上述论断做严格证明。 对I区来讲,边条(1)决定了除了A1外所有的{A1}均为0.因B(cOb)=cos6,易知 A=-E0;A=0,1 对I区来讲,边条(4)决定了 B'=0,1=0,1 下面考虑边条(2)代入可知 [4R+BR(]B(cos)=∑[4R+BR]ecos) (4.4.22) E∑[4R-(+)BR3]os)=2[4Re-(+1)B'R]e(os) 根据本征函数的正交性,上面2式中每个1项的系数必须分别相等,即 A,R+B.R-+=A'R+B'R [R-(+1)BR43]=[14R-(+1)BR3] 对所有1≠1的项,我们有 AR B1=4 [-(+)BR2]=6[4R] B=-4'R A=B 4.4.25) 因此只有=1的项有非零解 水水水客水水水水半水水客水水水水冰*客水水*水*水水水水水水水水水水水水水客*水 代入边条(1)-(4)分别可得
2 ( 1) 1 0 ( 1) 2 0 (cos ) ' ' (cos ) l l ll l l l l ll l l Ar Br P Ar Br P （4.4.19） 其中{ , ', , '} AA BB ll ll 为一系列展开系数，需要由边界条件确定。根据我们上次课 对均匀电场中的金属球的问题的求解，我们已有了经验 – 均匀电场的边界条件 （1）只包含 l=1 项的贡献，因此（4.4.19）中只有l 1项的系数非 0，故有 2 1 11 ' '2 2 11 cos cos Ar Br Ar Br （4.4.19’） ************************************ 下面我们利用本征函数的正交性对上述论断做严格证明。 对 I 区来讲，边条（1）决定了除了 A1外所有的 l {A } 均为 0。因 1P(cos ) cos ，易知： 1 0 ; 0, 1 AE A l l （4.4.20） 对 II 区来讲，边条（4）决定了 ' 0, 0,1,... B l l （4.4.21） 下面考虑边条（2）。代入可知， ( 1) ( 1) 0 0 1 ( 2) 1 ( 2) 1 2 0 0 (cos ) ' ' (cos ) ( 1) (cos ) ' ( 1) ' (cos ) ll l l ll l l l l l l ll l l l ll l l l l l AR BR P A R B R P lA R l B R P lA R l B R P （4.4.22） 根据本征函数的正交性，上面 2 式中每个 l 项的系数必须分别相等，即 ( 1) ( 1) 1 ( 2) 1 ( 2) 1 2 ' ' ( 1) ' ( 1) ' ll l l ll l l ll l l ll l l AR BR A R B R lA R l B R lA R l B R (4.4.23) 对所有l 1的项，我们有 (2 1) ( 1) ( 2) 1 (2 1) 2 1 2 1 ' ' ( 1) ' ' ( 1) l l l l l l l l l l l l l l B AR BR A R l l B R lA R B AR l (4.4.24) 显然有： ' 0, 1 AB l l l (4.4.25) 因此只有l 1的项有非零解。 ****************************************** 代入边条（1）-（4）分别可得
A1=-E0 AR+BR=A R (4.4.26) (4-2BR)=E(4-2BR) B1=0 解之可得 A=-Eo B E ER 2 (4.4.27) Eo 2E1+E2 B,=0 P=-Eorcos0+22I-REo3cos0 381 Eo rose (4.4.28) 作如下的讨论: (1)上面的结果在极限情形下是正确的:当ε2=61=50时, q=- Arcos e2=- Erose,即空间的电场就是均匀电场 (2)球面上的束缚电荷对球外区域的贡献为:-5RE2-cosO。回想一 1+E2 个偶极子(偶极矩为p)的电势为叨=,对比发现这些束缚电荷的贡献 相当于一个放在原点的偶极子,其大小为 2-6RE p=4x2E1+E2 (4.4.29) (3)球内的场为一与外场平行的恒定场: E内 3E1-Eo (4.4.30) 2E,+E (4)当62→-∞时,介质球内的场为E内→>0,其效果相当于一个导体球。而 此时,p=4ms。RE,也回到上堂课我们求解的导体球的解。其实,这样的一个
3 1 0 2 11 1 3 '3 11 1 21 1 ' 1 ' 2 '2 0 A E AR BR A R A BR A BR B (4.4.26) 解之可得 1 0 2 1 3 1 0 1 2 ' 1 1 0 1 2 ' 1 2 3 2 0 A E B E R A E B ， (4.4.27) 故 2 1 3 10 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 cos cos 2 3 cos 2 Er RE r E r （4.4.28） 作如下的讨论： （ 1 ） 上 面 的 结 果 在 极 限 情 形 下 是 正 确 的 ： 当 210 时 ， 1 2 Er cos , Er cos ，即空间的电场就是均匀电场。 （2） 球面上的束缚电荷对球外区域的贡献为： 2 1 3 0 2 1 2 1 cos 2 R E r 。回想一 个偶极子（偶极矩为 p）的电势为 3 0 4 p p r r ， 对比发现这些束缚电荷的贡献 相当于一个放在原点的偶极子，其大小为 2 1 3 0 0 1 2 4 2 p R E (4.4.29) （3）球内的场为一与外场平行的恒定场： 2 1 0 1 2 3 ˆ 2 Ee E z z 内 (4.4.30) （4）当 2 时，介质球内的场为 E 0 内 ，其效果相当于一个导体球。而 此时， 3 0 0 p 4 R E ，也回到上堂课我们求解的导体球的解。其实，这样的一个
推论(导体相当于ε2→>-∞的介质)具有普遍意义,后面我们可以严格证明。 P 下面我们考虑一个简单的情况,即61=50(背景介质是空气),此时的物理图像 更加濆楚。因介质球内的场为均匀场,故整个介质球被均匀极化,极化强度为 ZEo E0 (4.4.31) 对比发现,此时极化强度正好就是偶极子电偶极距/体积: RS 这当然是合理的,因为极化强度的定义就是F=2.因62>6,我们发现 E<E,这是因为极化电荷在球内产生了电场抵消了部分外电场的贡献。这部 分由极化电荷在球内产生的电场为 E内-Eo (4.4.33) 2 这个场通常被称为“退极场”-由于极化产生的极化电荷产生的场,其作用是“退” 掉外场的作用。整理后的结果为: IP (4.4.34) 上面2式在很多情况下成立的,一般来说,退极场可以写成 Em=-LP/Eo (4.4.35) L称为退极化因子,只依赖于物体的几何形状,其越大,说明退极效应越显著。 容易证明:对平板L=1,对球L=1,对细针,L=0,对椭球,针对长短轴的不 同,L可以由0~1不等。总结下来,介质在外场下的静电行为是 被外场极化 极化电荷在球外的贡献为偶极子
4 推论（导体相当于 2 的介质）具有普遍意义，后面我们可以严格证明。 1 - - + + E0 - + P 2 下面我们考虑一个简单的情况，即 1 0 （背景介质是空气），此时的物理图像 更加清楚。因介质球内的场为均匀场，故整个介质球被均匀极化，极化强度为 0 0 20 0 0 2 3 ( ) 2 PE E 内 (4.4.31) 对比发现，此时极化强度正好就是偶极子电偶极距/体积： 3 4 /3 p P R (4.4.32) 这当然是合理的，因为极化强度的定义就是 i p P 。因 2 0 ，我们发现 E E 0 内 ，这是因为极化电荷在球内产生了电场抵消了部分外电场的贡献。这部 分由极化电荷在球内产生的电场为 2 0 0 0 02 0 1 2 3 E EE E P p 内 内 (4.4.33) 这个场通常被称为“退极场”- 由于极化产生的极化电荷产生的场，其作用是“退” 掉外场的作用。整理后的结果为： 0 0 1 3 EE P 内 (4.4.34) 上面 2 式在很多情况下成立的，一般来说，退极场可以写成 0 E LP / 退 (4.4.35) L 称为退极化因子，只依赖于物体的几何形状，其越大，说明退极效应越显著。 容易证明：对平板 L= 1，对球 L= 1 3 ，对细针，L=0，对椭球，针对长短轴的不 同，L 可以由 0~1 不等。总结下来，介质在外场下的静电行为是 被外场极化 极化电荷在球外的贡献为偶极子
在球内的页献为均匀电场-返极场( depolarization field) EELP 剧考题 (1)若外部介质不是空气,而是具有介电常数E1的某种电介质,极化强度P是多少? (4..、32)是否仍然成立?若不成立,为什么? (2)有兴趣的同学请找文献查一查椭球体的“退极因子”的推导 下面研究一个2维柱坐标问题 [例7]在均匀外电场E=EE2中有一半径为R、电荷线密度为A的无限长导体 圆柱.柱轴与外场垂直,求空间中的电场分布。 解:柱内区域的场为零,只需考虑柱外区域的电势,其满足方程 (4.4.36) 边界条件为 →=Eo0x E l==常数 (4.4.37) 9。ds=1n(3) 第一个边条值得论一下。处理均匀外杨中的款射体的问题时,如果散射体是三维物体(如 球)则任何感应(极化)电荷均在空闻局,因此在无穷远处,它们场或者势的贡就部 趋向于0,此时我们可以将边条(1)进一步改写成=-EF。然而处理2维问题(如
5 在球内的贡献为均匀电场 – 退极场 （depolarization field） E0 P E d = - L P / 0 思考题： （1）若外部介质不是空气，而是具有介电常数 1 的某种电介质，极化强度 P 是多少？ （4.4.32）是否仍然成立？若不成立，为什么？ （2）有兴趣的同学请找文献查一查椭球体的“退极因子”的推导 下面研究一个 2 维柱坐标问题。 [例 7] 在均匀外电场 0 ˆ E Ee x 中有一半径为 R 、电荷线密度为 的无限长导体 圆柱．柱轴与外场垂直，求空间中的电场分布。 解： 柱内区域的场为零，只需考虑柱外区域的电势，其满足方程 2 0 (4.4.36) 边界条件为 0 0 ˆ; (1) ; (2) (3) R R E Ex dS 常数 (4.4.37) 第一个边条值得讨论一下。处理均匀外场中的散射体的问题时，如果散射体是三维物体（如 球），则任何感应（极化）电荷均在空间局域，因此在无穷远处，它们对场或者势的贡献都 趋向于 0，此时我们可以将边条（1）进一步改写成 r E r 。然而处理 2 维问题（如 E0 R+ + - - E=0
无限长柱子)时,感应(极化)电荷会出现在无穷远处,它们对电势的贡献不趋向于0幸 运的是,此时,它们对电场的贡歉~1/0,故对电场的页献仍趋于0。处理无限大平面问 时这个问题更严重-感应(极化)电荷沿着2个方向散布到无限远,电场、电势均不 趋向于0!不过通常1维问题根本无须这样求解。 此问题为与z无关的柱对称问题,故可以利用相应问题的本征函数展开 9=A+Bo In p+2(Anp"+BnP")cos(no )+2(Cnp"+DP")sin(ng) 注意到E=V=-。-1∞,电场中p的阶数比电势中的低一阶,边条(1) 显示势函数中所有比p发散快的项都不可以保留,故 A=C=0, n>1 (4.4.38) 进一步利用边条(1)比较系数 E -A cos -CI sino= Eo (4.4.39) 因为sind与cosp正交,可得 A 考虑边条(2,因叫应与O无关,故有 AR+BR=0 Bn=0,n>1,B1=ER2 (444) CR+DR=0 现考虑边条(3),积分过程中所有的n>1的项都没有贡献(因为与角度有关), 只有A,B0两项留下来。最后结果为 B.-2TR (44.42) A为一常数,不能唯一确定。总结下来,最终的电势为 λ1np- Eop cos o+ ER2 (4.4.43) 2 由(4.4.43)式我们明白,空间电势由三部分贡献叠加而成:外场,无限长带电 导体棒,以及一个2维偶极子(p=2mER2,参考补充题)。柱外电场强度为
6 无限长柱子）时，感应（极化）电荷会出现在无穷远处，它们对电势的贡献不趋向于 0！幸 运的是，此时，它们对电场的贡献 ~1/ ，故对电场的贡献仍趋于 0。处理无限大平面问题 时这个问题更严重 – 感应（极化）电荷沿着 2 个方向散布到无限远，故电场、电势均不 趋向于 0！ 不过通常 1 维问题根本无须这样求解。 此问题为与 z 无关的柱对称问题，故可以利用相应问题的本征函数展开 0 0 1 1 ln ( )cos( ) ( )sin( ) nn n n nn n n n n AB A B n C D n 注意到 1 E ee ˆ ˆ ，电场中 的阶数比电势中的低一阶。边条（1） 显示势函数中所有比 1 发散快的项都不可以保留，故 0, 1 AC n n n (4.4.38) 进一步利用边条（1）比较系数 110 E AC E cos sin cos (4.4.39) 因为sin 与cos 正交，可得 10 1 AE C , 0 (4.4.40) 考虑边条（2），因 R 应与 无关，故有 2 1 0 0 0, 1; 0 0 n n nn n n n nn n AR BR B n B ER CR DR D (4.4.41) 现考虑边条（3），积分过程中所有的n 1的项都没有贡献（因为与角度有关）， 只有 0 0 A B, 两项留下来。最后结果为： 0 0 0 1 2 2 BR B R (4.4.42) A0 为一常数，不能唯一确定。总结下来，最终的电势为 2 0 0 0 0 ln cos cos 2 E R A E （4.4.43） 由（4.4.43）式我们明白，空间电势由三部分贡献叠加而成：外场，无限长带电 导体棒，以及一个 2 维偶极子（ 2 0 0 p 2 E R ，参考补充题）。柱外电场强度为
E=/21 ER ER +E coso+=2-c0s9e+ -Eo sing 12(4.4.4 注:出这个问题的求解我们又一次发现一个规伸,即均匀外电场下我们只需要考1=1 项的贡就。这里的物理是均匀电场只包含1=1项,因此不会微发其他1项的贡献(因为不 问1的本征函数是正交的) §4.5多极矩法 在实际工作中常会碰到这种情况:激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域, 而我们要求的又是远离带电体空间的电场,这时我们可采用多极矩近似法 如图410,若电荷分布在有限体积V内,电荷密度为p(F),这个体积的线 度为l,考查的是P点的电场,而P点和体积V内任一点O的距离为F。多极矩 法是讨论在>>1情况下的场分布。P点电势的准确解的形式为 图4.10 I p(r)dr (4.5.1 4zEJ R 这里,R=F-F。由于P点离源较远,有r<r,因此作为的函数可以在 F=0附近作 Taylor展开: ar ar(R (45 =0<=,,(r/r=0
7 2 2 0 0 0 0 2 2 0 1 cos cos sin sin ˆ ˆ 2 ER ER E E eE e (4.4.44) 注：由这个问题的求解我们又一次发现一个规律，即均匀外电场下我们只需要考虑 l=1 项的贡献。这里的物理是均匀电场只包含 l=1 项，因此不会激发其他 l 项的贡献（因为不 同 l 的本征函数是正交的） §4.5 多 极 矩 法 在实际工作中常会碰到这种情况：激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域， 而我们要求的又是远离带电体空间的电场，这时我们可采用多极矩近似法。 如图 4.10，若电荷分布在有限体积V 内，电荷密度为 ( ') r ，这个体积的线 度为l ，考查的是 P 点的电场，而 P 点和体积V 内任一点O 的距离为r 。多极矩 法是讨论在 r l 情况下的场分布。 P 点电势的准确解的形式为 0 1 ( ') ' ( ) 4 r d r R （4.5.1) 这里， R r r 。由于 P 点离源较远，有r r ' ，因此作为r 的函数 1 R 可以在 r 0 附近作 Taylor 展开： 2 ' '' ,, , ,, 0 0 2 ' '' ,, , ,, 0 0 11 1 1 1 ... 2 1 11 1 ... 2 i ij i xyz ij xyz i ij r r i ij i xyz ij xyz i ij r r r rr R r r R rr R r rr r r r rr r (4.5.2)
上式可以写成更紧凑的数学上完全等价的矢量(并矢)的形式: r.V-+产:VV- (4.5.2) 习题 P.115,42,4.5,46,4.7 补充题 (1)考虑两个距离为d的线电荷密度为±λ的无限长带电棒组成的体系,计算其在远场的 电势表达式
8 上式可以写成更紧凑的数学上完全等价的矢量（并矢）的形式： 1 1 11 1 : 2 r rr Rr r r （4.5.2’） 习题： P．115， 4.2， 4.5，4.6，4.7 补充题 （1）考虑两个距离为 d 的线电荷密度为 的无限长带电棒组成的体系，计算其在远场的 电势表达式
