第一讲 第一章麦克斯韦方程组 我们在《电磁学》中已经学到了许多电磁现象,而在哪里的数学语言比较简 单,比如,通常指利用到积分运算。在《电动力学》,我们使用的数学工具将比 较复杂,将主要使用矢量微分运算。本章中,我们将利用矢量运算的语言简要回 顾一下 Maxwell方程,为以后章节中利用这组方程继续深入了解各种电磁现象打 下基础。 静电现象的基本理论描述 1.库仑定律 人们定量研究电磁现象是从库伦开始的。1785年, Coulomb做了大量的实验 总结出真空(空气)中两个点电荷(自身尺寸无限小)之间的作用力满足 q14 124丌E0 712 (1.1.1) 其中qn,q2为两个点电荷所带的电量(单位为C), 885×10-2C2N·m2为真空介电常数 元2=一2为2指向1的矢量。(1.1)式是由大量 实验事实总结出来的数学表达式,物理意义包含了 1)牛顿第三定律F2=-F 2)向心力 3)平方反比 4)同性相斥、异性相吸 2.叠加原理 库仑定律是针对一对点电荷成立的,若同时存在多个点电荷会如何呢?另 外,自然界存在的带电体大多数为连续带电体,对这种情况,静电力又如何描述 呢?实验发现,当同时存在多个电荷时,某一特定电荷所受的作用力为其他所有 电荷独立施与其上的作用力的线性叠加 qiqi 4丌Eoj (1.1.2) 这个原理的核心在于:电荷之间的相互作用为两体相互作用,与第3者的存在与
1 第一讲 第一章 麦克斯韦方程组 我们在《电磁学》中已经学到了许多电磁现象，而在哪里的数学语言比较简 单，比如，通常指利用到积分运算。在《电动力学》，我们使用的数学工具将比 较复杂，将主要使用矢量微分运算。本章中，我们将利用矢量运算的语言简要回 顾一下 Maxwell 方程，为以后章节中利用这组方程继续深入了解各种电磁现象打 下基础。 一、 静电现象的基本理论描述 1 2 12 3 12 0 12 1 4 q q F r πε r = 1．库仑定律 人们定量研究电磁现象是从库伦开始的。1785 年，Coulomb 做了大量的实验 总结出真空（空气）中两个点电荷（自身尺寸无限小）之间的作用力满足 （1.1.1） 其中 1 2 q q, 为两个点电荷所带的电量（单位为 C）， 12 2 2 0 ε 8.85 10 C /N m − ≈× ⋅ 为真空介电常数， 12 1 2 r rr = − 为 2 指向 1 的矢量。（1.1）式是由大量 实验事实总结出来的数学表达式,物理意义包含了： 1）牛顿第三定律 F F 12 21 = − 2）向心力 3）平方反比 4）同性相斥、异性相吸 3 0 1 4 N i j i ij j i ij q q F r πε ≠ r = ∑ 2．叠加原理 库仑定律是针对一对点电荷成立的，若同时存在多个点电荷会如何呢？另 外，自然界存在的带电体大多数为连续带电体，对这种情况，静电力又如何描述 呢？实验发现，当同时存在多个电荷时，某一特定电荷所受的作用力为其他所有 电荷独立施与其上的作用力的线性叠加： （1.1.2） 这个原理的核心在于：电荷之间的相互作用为两体相互作用，与第 3 者的存在与 q2 r 12 r 2 r 1 q1
否、大小、正负号都沒有关系。这也是一个实验定律,被大量实验事实所证实 有了这个定律,我们可以非常容易地计算连续带电体之间的相互作用力 P()△r r 考虑一个连续带电体对处于带电量为q的力。将连续带电体分成许多微元,其 中一个为处于2=F带电量为q2=p()△r的点电荷。这里p()=ara:0 为 电荷密度,而Δτ为此微元的体积。则根据库仑定律以及线性叠加原理,整个带 电体对q1的静电力为 qp(r)dr (1.1.3) 其中,R=F-F'。(注:一般情况下我们把源所出的坐标用F标记,蔡点所处 的座标用F标记,由源到现察点的矢量用R来标记) 进一步推广,当有两个连续带电体,其电量分布分别为1,P2时,带电体1受到 带电体2的总的静电力为 1 p(rp2(r)drdr (1.14) 4 R 3.电场 由(1.1.3)可知,对电荷q来说,其所受的力与其本身的电量成正比。这启发 我们定义一个物理量 E(r)=F(r)/q (1.1.5) 这个新的物理量与放在这个位置的电荷没有任何关系,而只与空间其他电荷在此 地产生的效果有关。这个量被称为电场。电场的引入,不仅方便我们计算静电力 更重要的是给了我们一个静电相互作用的新的图像 超距 电荷q1 电荷q2 原来的
2 否、大小、正负号都没有关系。这也是一个实验定律，被大量实验事实所证实。 有了这个定律，我们可以非常容易地计算连续带电体之间的相互作用力。 ρ τ ( ) r′ ∆ r ′ r 考虑一个连续带电体对处于 r 带电量为 q 的力。将连续带电体分成许多微元，其 中一个为处于 r = r′ 2 带电量为 2 q r = ∆ ρ τ ( )′ 的点电荷。这里 0 ( ) q r τ ρ τ ∆ → ∆ ′ = ∆ 为 电荷密度，而∆τ 为此微元的体积。 则根据库仑定律以及线性叠加原理，整个带 电体对 1 q 的静电力为 3 0 1 () 4 q rd F R τ R ρ τ πε ′ = ∫ （1.1. 3） 其中，Rrr = − ' 。（注：一般情况下我们把源所出的坐标用r ' 标记，观察点所处 的座标用r 标记，由源到观察点的矢量用 R 来标记）。 进一步推广，当有两个连续带电体，其电量分布分别为 1 2 ρ ρ, 时，带电体 1 受到 带电体 2 的总的静电力为 1 2 12 3 0 ' 1 () ( ) ' 4 r rdd F R ττ R ρ ρ ττ πε ′ = ∫ （1.1.4） q 3．电场 由（1.1.3）可知，对电荷 来说，其所受的力与其本身的电量成正比。这启发 我们定义一个物理量 Er Fr q ( ) ( )/ = （1.1.5） 这个新的物理量与放在这个位置的电荷没有任何关系，而只与空间其他电荷在此 地产生的效果有关。这个量被称为电场。电场的引入，不仅方便我们计算静电力， 更重要的是给了我们一个静电相互作用的新的图像 超距 电荷 1 q 电荷 2 q 原来的
电荷q 电场 电荷q2 新 这个图像与原有的超距相互作用的图像不一致,关键是有没有作为作用力中介的 电场。在静电范畴分辨不出这两种图像的区别,但场随时间变化时,可以清楚地 看到电场向象所有其他物质一样,具有能量、动量等,是一种客观存在的物质 显然,一个连续带电体在空间产生的电场为 E(F)= p(rdr (16) 4.电场的散度性质-高斯定理 要完整了解一个矢量场的性质,我们需知道这个场的散度和旋度两方面的性质, 换句话说,我们需知道场对任意闭合曲面的面积分,及对任意闭合曲线的线积分。 关于场的散度性质,我们需知道对于任何闭合曲面电场的面积分。在《电磁学 中我们知道pE)ds=Q/5。证明如下: 我们先来看点电荷的情况 ①闭合曲面包含电荷 EAS-I.AS 4Eo r r2.△Q2= 424Q 则∮ES=42=42=9 4 ②闭合曲面内不包含电荷 ∮EdS=∫ES1+Eds2 ∑E()△S+∑E(r)△S =∑[29+(-△)=0
3 电荷 1 q 电荷 1 q 电场 电场 电荷 2 q 新 这个图像与原有的超距相互作用的图像不一致，关键是有没有作为作用力中介的 电场。在静电范畴分辨不出这两种图像的区别，但场随时间变化时，可以清楚地 看到电场向象所有其他物质一样，具有能量、动量等，是一种客观存在的物质。 显然，一个连续带电体在空间产生的电场为 3 0 1 () ( ) 4 r d E r R τ R ρ τ πε ′ = ∫ （1.6） 要完整了解一个矢量场的性质，我们需知道这个场的散度和旋度两方面的性质， 换句话说，我们需知道场对任意闭合曲面的面积分，及对任意闭合曲线的线积分。 关于场的散度性质，我们需知道对于任何闭合曲面电场的面积分。在《电磁学》 中我们知道 4．电场的散度性质-高斯定理 E( r ) d S Q / 0 ⋅=ε ∫ 。证明如下： 我们先来看点电荷的情况： 2 0 1 4 r q E e r = πε ① 闭合曲面包含电荷 ' 2 0 2 2 0 0 1 4 1 4 4 q ES S r q q r r ⋅∆ = ⋅∆ = ⋅ ⋅ ∆Ω = ∆Ω πε πε πε 则， 0 00 4 4 qqq E dS d d ⋅ = Ω= Ω= πε πε ε ∫∫ ∫ ② 闭合曲面内不包含电荷 [ ] 1 2 1 1 1 () ( ) ( )0 N N i j i j i j i i i E dS E dS E dS Er S Er S = = ⋅=⋅ +⋅ = ⋅∆ + ⋅∆ = ∆Ω + −∆Ω = ∫∫∫ ∑ ∑ ∑
③线性叠加原理 )E·dS gi= p(r)dt/ (1.1.7) 此即为 Gauss定理的数学表达形式。利用数学工具,我们 进一步得到∮EdS=∫vE(r=p),d/考虑到曲面的任意性,我 们得 上式为 Gauss定理的微分表达式。从几何上理解, Gauss定理描述的是场线是否 有奇点,当散度为0时,场线在此处连续,而散度不为0时就表示空间出现了奇 点(或导致场线汇聚、或导致发散)。直接对(1.6)式中电场求散度,得 .E()=4n R (r)di (1.19) 对比(1.1.9)与(1.1.8),我们得到一个非常有用的公式 R V. =4S(R) (1.10) Tips:严格直接证上述公式相当不容易,很多时候把它当作已知的公式直接使用。 习题 P30.1.1,1.2,1.3
4 ③ 线性叠加原理 0 0 () / i i q E dS r d τ ⋅ = = ρ ⋅ τε ε ∫ ∫ ∑ （1.1.7） 此即为 Gauss 定理的数学表达形式。利用数学工具，我们 进一步得到 0 E dS E r d r d () () / τ τ ⋅ = ∇⋅ τ= ρ ⋅ τ ε ∫∫ ∫ 考虑到曲面的任意性，我 们得 0 ∇⋅ =ρ ε Er r ( ) ( )/ （1.1.8） 上式为 Gauss 定理的微分表达式。从几何上理解，Gauss 定理描述的是场线是否 有奇点，当散度为 0 时，场线在此处连续，而散度不为 0 时就表示空间出现了奇 点（或导致场线汇聚、或导致发散）。直接对（1.6）式中电场求散度，得 3 0 1 () ( ) 4 R Er r d R ∇⋅ = ′ ∇ ⋅ ∫ τ ρ τ πε （1.1.9） 对比（1.1.9）与（1.1.8），我们得到一个非常有用的公式 3 4 () R R R ∇⋅ = πδ （1.10） Tips：严格直接证明上述公式相当不容易，很多时候把它当作已知的公式直接使用。 习题 P. 30. 1.1, 1.2, 1.3