复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第05讲 能量守恒及转化 能流密度 电磁场局域能量密度 动量守恒及转化 电磁场局域动量密度，注意与能流、磁场的关系 动量流密度

第五讲 上次课 V.D=n,VxE=-0B,√=0,Vx=1+0Mwel方程组 D=EE,B=HH,j=E-本构关系 边界条件:n(D1-D2)=可r 自由面电荷分布(奇性分布),一般情况下D的法向分量连续 同理,对应方程V·B=0,容易得到B场的法向分量连续的结论 (B-B)=0=B=B2 (16.2) 对应第4条公式Vx=1+D的积分形式为 ∮厅d=「 dS+-D t 在界面处画一个长为M,宽为h的矩形,考虑到h→0时H场在h上的积分趋 于0,可得H场在整个环路上的积分为 H2 e pd=B1,M+B2M=(h△)+。(D,Mb) 其中可,己为界面上相互垂直的两个方向矢量,与界面方向矢量n呈右手螺旋(如 图所示)。一般情况下边界处2D是有限值,则在h→0时,上式右边第2项为 零。右边第1项在界面存在面电流分布时不为0。定义方,h—0→a为面电流 分布,我们便有 (-B2)=a, (1.6.3) 考虑面内另一个方向,可得

1 第五讲 上次课  , , 0, f f D D E B B Hj t t                      - Maxwell 方程组  , , D EB H j Ec           - 本构关系  边界条件： 1 2 ( ) f nD D       自由面电荷分布（奇性分布），一般情况下 D 的法向分量连续！ 同理，对应方程  B 0  ，容易得到 B 场的法向分量连续的结论：   12 1 2 0 n n nB B B B        （1.6.2） 对应第 4 条公式 Hj D f t         的积分形式为 f S H dl j dS D dS t               在界面处画一个长为l ，宽为 h 的矩形，考虑到h  0 时 H 场在 h 上的积分趋 于 0，可得 H 场在整个环路上的积分为： H2 H1 n e1 . e2 h l H dl H l H l j e h l D l h 11 2 2 2 f     t                        其中 1 2 e ,e   为界面上相互垂直的两个方向矢量, 与界面方向矢量n  呈右手螺旋（如 图所示）。一般情况下边界处 D t    是有限值，则在h  0 时，上式右边第 2 项为 零。右边第 1 项在界面存在面电流分布时不为 0。定义 h 0 f f j h      为面电流 分布，我们便有 11 2 2   f eHH e          ， （1.6.3） 考虑面内另一个方向，可得

(1.64 非常容易将上(1.63)-(164)式改写成更一般紧凑的形式 A-H (16.5 要证明(1.6.5)式,可将矢量H1-H2分解到E和E2方向,再根据万x=E2,×E2=E1 同理,对于方程V×E ,与上面的推导比较可知,相应的边界条件为 (E-E)= (16.6) 故电场的切向分量连续。 注 (1)4条边界条件怎么记?可纵很容易通过将 Maxwell方程中的V→n,再将体分市 (p,j)换成面分布a,a。 (2)在绝大多数正常情况下,电磁场的边界条件都是E,H场向分量连续,D,B法向 方向连续。只有当有自由面电荷(流)升布时才有H场与D场的不连续。而所谓面分布 其实是真实的体分布的一种简化,亦即,电荷流分布在非常薄的一层介质里。此时,若我 们不关心此薄层里的场分布,则蹲越这个薄层的场当然不连续。 课后 Proiect 我相信大家现在对连续宏魂介质中的电磁场一定仍船没有什么概念,建议做如下 Project, 深化理解。将一个宏现介质板放置于均匀电场中,利用电磁学的知识就可计算出空间的 场分布(D,E,…),此时再考虑到微视尺度,假设介质中有很多偶极子,则可以利用数 信方法计算出微观尺度的场分布、电荷分布:与之前做出的结果比较,看看有什么不同? 此时,你就可以更擦入理解介质中的电磁场方程的物涵义 第二章电磁场的守恒定律和对称性 电磁场作为一种物质的存在方式,具有能量、动量以及角动量。如何得到这样 个结论呢?可以从两方面来看 (1)假设空间存在一电磁场E(F,1)B(F,1),由置于远处的源电荷(电流)激发 在此空间中放置一带电体,则后者会受到电场的作用力而能量增加。同时 带电体运动后产生电流,而电流又会受到磁场的作用力因此带电体的动量 发生改变。这些机械能及机械动量的增加不是无中生有的,只能是电磁场 本身具有的能量以及动量转化而来的,你可能会 Argue说:这些能量动量 可以是源电荷的机械能及机械动量贡献的!

2 212 1   f eHH e           （1.6.4） 非常容易将上（1.6.3）-（1.6.4）式改写成更一般紧凑的形式   1 2 f nHH        （1.6.5） 要证明（1.6.5）式， 可将矢量 H H 1 2    分解到 1e  和 2 e  方向，再根据 12 21 ne ene e    ,     。 同理，对于方程 E B t        ，与上面的推导比较可知，相应的边界条件为   1 2 nEE   0    ， （1.6.6） 故电场的切向分量连续。 注： （1）4 条边界条件怎么记？可以很容易通过将 Maxwell 方程中的   n  ，再将体分布 （ , j  ）换成面分布,  。 （2）在绝大多数正常情况下，电磁场的边界条件都是 E，H 场切向分量连续，D，B 法向 方向连续。只有当有自由面电荷（流）分布时，才有 H 场与 D 场的不连续。而所谓面分布， 其实是真实的体分布的一种简化，亦即，电荷/流分布在非常薄的一层介质里。此时，若我 们不关心此薄层里的场分布，则跨越这个薄层的场当然不连续。 课后 Project 我相信大家现在对连续宏观介质中的电磁场一定仍然没有什么概念，建议做如下 Project， 深化理解。将一个宏观介质板放置于均匀电场中，利用电磁学的知识就可以计算出空间的 场分布（D，E，…）, 此时再考虑到微观尺度，假设介质中有很多偶极子，则可以利用数 值方法计算出微观尺度的场分布、电荷分布；与之前做出的结果比较，看看有什么不同？ 此时，你就可以更深入理解介质中的电磁场方程的物理涵义。 第二章 电磁场的守恒定律和对称性 电磁场作为一种物质的存在方式，具有能量、动量以及角动量。如何得到这样一 个结论呢？可以从两方面来看。 （1） 假设空间存在一电磁场 E( , ), ( , ) rt Brt     ，由置于远处的源电荷（电流）激发。 在此空间中放置一带电体，则后者会受到电场的作用力而能量增加。同时 带电体运动后产生电流，而电流又会受到磁场的作用力因此带电体的动量 发生改变。这些机械能及机械动量的增加不是无中生有的，只能是电磁场 本身具有的能量以及动量转化而来的。你可能会 Argue 说：这些能量动量 可以是源电荷的机械能及机械动量贡献的！ source, , j object v

然而实验发现,即使我们将源关掉,在 段时间内,空间的电磁场不会立刻消失, 仍然具有对带电体做功及改变其动量的能力, 这证明带电体的能量动量不是由源电荷/流直接提供的,而是由电磁场 提供的 (2)另一方面,也可以考虑源电荷/电流在建立电磁场时的能量/动量变化。以 电场为例,考虑产生最终电场的电荷是原本散落在无限远处的一系列点电 荷组成的。为了建立E(F,D)B(F,1),这些电荷从 无限远处被准静态地一个个搬了过来。在这个 “搬动”的过程中一直必须有外力来平衡电场对 电荷的作用力,因此一直需要不断的外力对 体系做功。最后建立完最终的电场后,外力在此 过程中做的总功到哪里去了?-全部转化成电磁 场的能量!动量也是完全一样的 Argument。 在《电磁学》的学习中,我们利用第2个图像计算了 电容器中静电场的总能UE=C2以及电感中的静磁场的总能 Un=1L2。然而这样的推导不能告诉我们局域的场的能量密度-我们得到能 量密度只能通过相当不严格的类比。下面我们将利用第一种方法来系统研究电磁 场的局域能动量密度 §2.1真空中电磁场的能量守恒定律 先考察电磁场对处于其中的带电体所作的功.电磁场不能直接“看到”任何 物质,而只能“看到”物质中“的电荷/电流,场对一块物质的作用力是通过对 其中的电荷/流作用的。因此研究电磁场对处于其中的电荷所作的功。由于磁 场作用在运动电荷的力总与其速度的方向垂直,磁场对电荷不作功,所以我们只 需求电场对电荷所作的功即可.若空间电荷分布为p,则dr内的电荷为pdr, 它在d时间内移动的距离dl=id,v为电荷体积元pdr的运动速度,于是场在 d时间内对pdr所做的功为 dR= Fdl=pdredl=pdre vdt=E. jdrdt ○ 单位时间内,场对空间某区域内的电荷所作的功为

3 然而实验发现，即使我们将源关掉，在一 段时间内，空间的电磁场不会立刻消失， 仍然具有对带电体做功及改变其动量的能力， 这证明带电体的能量动量不是由源电荷/电流直接提供的，而是由电磁场 提供的。 （2） 另一方面，也可以考虑源电荷/电流在建立电磁场时的能量/动量变化。以 电场为例，考虑产生最终电场的电荷是原本散落在无限远处的一系列点电 荷组成的。为了建立 E( , ), ( , ) rt Brt     ，这些电荷从 无限远处被准静态地一个个搬了过来。在这个 “搬动”的过程中一直必须有外力来平衡电场对 电荷的作用力，因此一直需要不断的外力对 体系做功。最后建立完最终的电场后，外力在此 过程中做的总功到哪里去了？- 全部转化成电磁 场的能量！动量也是完全一样的 Argument。 在《电磁学》的学习中，我们利用第 2 个图像计算了 电容器中静电场的总能 1 2 2 U CV E  以及电感中的静磁场的总能 1 2 2 U LI B  。然而这样的推导不能告诉我们局域的场的能量密度 – 我们得到能 量密度只能通过相当不严格的类比。下面我们将利用第一种方法来系统研究电磁 场的局域能/动量密度。 §2.1 真空中电磁场的能量守恒定律 先考察电磁场对处于其中的带电体所作的功．电磁场不能直接“看到”任何 物质，而只能“看到”物质中“的电荷/电流，场对一块物质的作用力是通过对 其中的电荷/电流作用的。因此研究电磁场对处于其中的电荷所作的功。由于磁 场作用在运动电荷的力总与其速度的方向垂直，磁场对电荷不作功，所以我们只 需求电场对电荷所作的功即可．若空间电荷分布为  ，则d 内的电荷为 d ， 它在dt 时间内移动的距离dl vdt    ，v  为电荷体积元 d 的运动速度，于是场在 dt 时间内对 d 所做的功为 dR F dl d E dl d E vdt E jd dt                  单位时间内，场对空间某区域内的电荷所作的功为 Final State Initial State 外力 F=qE E,B d v

(2.1.1) d 场对带电体做功增加了带电体的机械能W,故 m=「Ejd (2.1.2) 下面我们利用 Maxwel)程将j消除,而使得方场中仅仅留下电磁场E,B等。 由麦克斯韦方程组中的第四式可见 V×B 于是得到 jE=-(VxB).E-o (2.1.3) 2 at 试图将上式改写成对时间、空间的全微分形式。注意到矢量运算恒等式 V.(B×E)=EV×B-B.(V×E Ts:这个公式可纵遭过类比矢量混合积 A(B×C)=B(C×4)=C(A×B),以及注意到微分运算必须对括号 内的所有量都进行,得到。 可得 jE=V(B×E) 1 2 上式第1,3项已都是全微分的形式。对第2项,根据 Maxwell方程组中的第二 aB 式V×E=- 可得 B.VxE 1- aB B B·B at at(2 也成为全微分的形式。将上式代入(214)可得 jE=-V(E×B 1 令 SP(, 1)=ExB=EXH (2.1.5)

4 dR E jd dt       （2.1.1） 场对带电体做功增加了带电体的机械能Wm , 故 m dW E jd dt       (2.1.2) 下面我们利用 Maxwell 方程将 j  消除，而使得方场中仅仅留下电磁场 E，B 等。 由麦克斯韦方程组中的第四式可见 0 0 1 E j B t           于是得到 0 2 0 1 ( ) 2 j E BE E t             （2.1.3） 试图将上式改写成对时间、空间的全微分形式。注意到矢量运算恒等式           B E E BB E          Tips ：这个公式可以通过类比矢量混合积 ABC BC A C AB                  ，以及注意到微分运算必须对括号 内的所有量都进行，得到。 可得     0 2 0 0 1 1 2 j E BE B E E t                   （2.1.4） 上式第 1，3 项已都是全微分的形式。对第 2 项，根据 Maxwell 方程组中的第二 式 B E t        ，可得   00 0 11 1 2 B B E B BB   t t                        也成为全微分的形式。将上式代入（2.1.4）可得   2 2 0 0 0 1 11 2 j E EB E B t                     令 0 1 (,) P S rt E B E H         （2.1.5）

v()=|cE2+B2 于是利用上述这些等式,(2.12)式可最终写成 dwm=-(.s.dr-afud t (2.1.7) 45s4s-a.∫mdr 将上式进一步改写为 s. ds (2.1.8) 物理意义非常明晰-在一个闭合空间内物理量Wn+adr的增加等于从边界流 入闭合空间的S的大小。对应电荷-电流守恒定律,显然前者是这个闭合空间中 的总能量,而后者是能量流密度。因为是空间里物质的机械能量,u(F,1)应 当描述其他的能量形式,这里其它的能量形式只能是电磁场的能量!因此其物理 意义是r点处t时刻电磁场的能量密度,S2(F,1)即为相应的能流密度,叫做坡印 廷矢量。当考察区域是全空间时,由于电流和电荷分布在有限区域,在无穷远边 界上电磁场应为零,故Sn≡0。此时有 dw dw (2.19 其中 Wm=u(,idr 为空间电磁总能量。(2.1.9)式表明机械能与电磁场能量可以相互转化,但总和 为守恒量。在无源空间内没有任何其他的能量形式,Wn=0,(2.1.8)式变为 v:S2(,1)+,u(7,1)=0 (2.1.10) 这与电荷守恒的连续性方程完全一样,又一次说明了电磁场是一种与电荷无异的 物质。 [例1]试考察正在缓慢充电的电容器的能流。 解:设电容器由两块圆形平板构成.它们的半径均为r,间距为h,其中电 场为EO)=≌,则电容器中的总能量为 nr a

5 2 2 0 0 1 1 (,) 2 urt E B            (2.1.6) 于是利用上述这些等式，(2.1.2)式可最终写成 m p p dW S d ud dt t S dS ud t                      （2.1.7） 将上式进一步改写为 m p d W ud S dS dt              （2.1.8） 物理意义非常明晰 – 在一个闭合空间内物理量W ud m    的增加等于从边界流 入闭合空间的 p S  的大小。对应电荷-电流守恒定律，显然前者是这个闭合空间中 的总能量，而后者是能量流密度。因为Wm是空间里物质的机械能量，urt (,)  应 当描述其他的能量形式，这里其它的能量形式只能是电磁场的能量！因此其物理 意义是 r 点处 t 时刻电磁场的能量密度， (,) P S rt   即为相应的能流密度，叫做坡印 廷矢量。当考察区域是全空间时，由于电流和电荷分布在有限区域，在无穷远边 界上电磁场应为零，故 0 p S   。此时有 m e m, dW dW dt dt   （2.1.9） 其中 , (,) W urtd e m      为空间电磁总能量。（2.1.9）式表明机械能与电磁场能量可以相互转化，但总和 为守恒量。在无源空间内没有任何其他的能量形式， 0 Wm  ，(2.1.8)式变为 (,) (,) 0 p S rt urt t         （2.1.10） 这与电荷守恒的连续性方程完全一样，又一次说明了电磁场是一种与电荷无异的 物质。 [例 1] 试考察正在缓慢充电的电容器的能流。 解：设电容器由两块圆形平板构成．它们的半径均为 r，间距为h ，其中电 场为 2 0 ( ) ( ) Q t E t  r   ，则电容器中的总能量为

24E rh 我们来看一下能流流动的情况。在充电过程中E显然是时间t的函数,设 E=E(),则由麦克斯韦方程组的第四式 可得电容器内磁场选取柱坐数系p,p,=)为 所以能流密度矢量为 ExB-Eo rdE 其方向指向电容器中心轴线。对电容器侧面积分则得流入电容器的能量为 ∫5,=E2xh=mE=m 它正好等于电容器中能量的增加率。这说明能量不是从导线中流过来的,而是从 电容器外面的空间中通过电容器侧面流进电容器的。显然,通常认为能量是从导 线中流过来的直觉是错误的。为了理解这一点,我们可以设想电容器两端的很远 处各有一些正负电荷。当电荷很远时,只有散开着的、微弱的,但却大量的场线 包围着该电容器;当这些电荷流向电容器时,电容器附近的场渐渐增强,即场线 不断密集起来。因此,远处的场能量会不断地移向电容器,最后当正负电荷分别 达到电容器的正负极板时,这部分的场能也流进了电容器 §22电磁场的动量守恒定律 下面要利用相似的方法考虑电磁场的动量。根据力的定义,带电体的机械动量的 变化为场对带电体的作用力。带电体受电磁场的 Lorentz力,即 a(mE+m×B1(E+xBMr=m (22.1) 利用场方程把等式右边的p和j消去,把力密度改写成 7=6(v,B)E+|vxB-AB×B (2.2.2) 仿照电磁能量的推导,我们希望能将上式改写成对时间、空间的全微分。先考虑 时间部分

6 2 2 0 1 2 W E rh    我们来看一下能流流动的情况。在充电过程中 E 显然是时间 t 的函数，设 ( ) E  Etez   ，则由麦克斯韦方程组的第四式 0 0 S E B dl dS t              可得电容器内磁场(选取柱坐数系 , ,  z )为 2 0 0 0 0 1 2 2 E E B e e t t                   所以能流密度矢量为 0 0 1 ( ) 2 P E S EB E e t              其方向指向电容器中心轴线。对电容器侧面积分则得流入电容器的能量为 0 2 0 , 2 2 P e m E E S dS E r rh r h E W t tt               它正好等于电容器中能量的增加率。这说明能量不是从导线中流过来的，而是从 电容器外面的空间中通过电容器侧面流进电容器的。显然，通常认为能量是从导 线中流过来的直觉是错误的。为了理解这一点，我们可以设想电容器两端的很远 处各有一些正负电荷。当电荷很远时，只有散开着的、微弱的，但却大量的场线 包围着该电容器；当这些电荷流向电容器时，电容器附近的场渐渐增强，即场线 不断密集起来。因此，远处的场能量会不断地移向电容器，最后当正负电荷分别 达到电容器的正负极板时，这部分的场能也流进了电容器。 §2.2 电磁场的动量守恒定律 下面要利用相似的方法考虑电磁场的动量。根据力的定义，带电体的机械动量的 变化为场对带电体的作用力。带电体受电磁场的 Lorentz 力，即 ( )( ) m dG d E d v B E j B d fd dt                      （2.2.1） 利用场方程把等式右边的  和 j  消去，把力密度改写成 0 00   0 1 E f EE B B t                       （2.2.2） 仿照电磁能量的推导，我们希望能将上式改写成对时间、空间的全微分。先考虑 时间部分， +Q(t) -Q(t) E B Sp

B xB)+EEx (22.3) t 带入(222)式后,再考虑所有与电场有关的项: (.E)E-E×(v×E)=(B)E-(:E)-(Ev)E V-E2=v(EE)-v.E2 注这居到了置要的并矢运算公式v(4B)=B(V,)+(4V)B 证如下1AB,)=BF(0,4)+A(2B) 下面考虑(22)式中与磁场相关的项(V×B)×B。与电场类比,可以加上 项恒为0的(VB)B,故有与磁场相关的项为, B=V·(BB)-V·(~B2I) 利用这些关系式,(222)式可写成 (22.5) 其中 E2+B21 (22.6) =c(E×B) (2.2.7) 根据(22.5-7)及(22.1)式,我们就得到 gdr (228) 完全类似对电磁能量的讨论,上式显示g就是电磁场的动量密度,而T是动量 流密度,是个张量(并矢),这是因为动量是个矢量,与能量不同。对每个动量 分量(如x分量),(228)可以改写成“=了-4gar,即为我们熟 悉的形式。而

7 0 0 00 0     E B B EB E EB E E t t tt                                （2.2.3） 带入（2.2.2）式后，再考虑所有与电场有关的项：         2 2 1 2 1 1 () () ( ) 2 2 EE E E EE EE E E EE E EE E I                                     （2.2.4） 注：这里用到了重要的并矢运算公式      AB B A A B            . 证明如下    i i j j jj ii i i j j ( A B )e B e A A B e ˆˆ ˆ     。 下面考虑（2.2.2）式中与磁场相关的项   0 1 B B      。与电场类比，可以加上一 项恒为 0 的   0 1   B B    ，故有与磁场相关的项为，    1 2 () ( ) 2 B B B B BB B I            利用这些关系式，(2.2.2)式可写成 f T g t          （2.2.5） 其中 2 2 0 0 0 0 11 1 2 T E B I EE BB                   (2.2.6) 0   2 1 P g EB S c        (2.2.7) 根据（2.2.5-7）及（2.2.1）式，我们就得到 m dG d dS T gd dt dt            （2.2.8） 完全类似对电磁能量的讨论，上式显示 g  就是电磁场的动量密度，而 T  是动量 流密度，是个张量（并矢），这是因为动量是个矢量，与能量不同。对每个动量 分量（如 x 分量），(2.2.8)可以改写成 x m x x dG d dS T g d dt dt          ，即为我们熟 悉的形式。而

G E(E×Bdr (229) 就是ΔΩ体积内的电磁场所携带的总动量 注:与电磁能量不同,动量密度的存在要求必须有磁场。另外,我们注意到动量密度与 滤密度相关,这里有什么物理值得我们深思呢? 习题 P.59,2.1

8 G E Bd e m, 0            （2.2.9） 就是体积内的电磁场所携带的总动量。 注：与电磁能量不同，动量密度的存在要求必须有磁场。另外，我们注意到动量密度与能 流密度相关，这里有什么物理值得我们深思呢？ 习题 P． 59， 2.1