复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第15讲

第十五讲 上次课 磁标势解法:(1)无传导电流(2)单连通区域 磁化电流的影响全部包含在H场中! ●铁磁体磁场问题一标势看到“假想磁荷”,服务于H场,矢势看到“电流”, 服务于B场 §5.5磁多极矩展开-磁偶极子 若电流分布集中在一个小区域V中,而我们只讨论远处的场,这时可以仿 照静电情况用多极矩展开的方法来处理。这里,我们重点讨论磁偶极子的场、磁 偶极子与外磁场的相互作用。 1.磁多极展开及磁偶极子产生的势 在全空间问题中,矢势A的解为 4()=2/() (5.5.1) 类似静电问题中的多极展开,把亠在区域Ⅴ内的某一点展开成产的幂级数。若 展开点取在坐标的原点,则 R0+声:Vh=0+… (5.52) R 只保留前两项,代人矢势表达式中得 A(F)= 4xJdr'=0+和+… 其中 j(Pdr’, 4丌 (554) Ao=BJ(.rdr

1 第十五讲 上次课  磁标势解法： （1）无传导电流（2）单连通区域 磁化电流的影响全部包含在 H 场中！  铁磁体磁场问题 - 标势看到“假想磁荷”，服务于 H 场，矢势看到“电流”， 服务于 B 场 §5.5 磁 多 极 矩 展 开 - 磁 偶 极 子 若电流分布集中在一个小区域 V 中，而我们只讨论远处的场，这时可以仿 照静电情况用多极矩展开的方法来处理。这里，我们重点讨论磁偶极子的场、磁 偶极子与外磁场的相互作用。 1．磁多极展开及磁偶极子产生的势 在全空间问题中，矢势 A  的解为 ( ) () . 4 j r Ar d R            （5.5.1） 类似静电问题中的多极展开，把 1 R 在区域 V 内的某一点展开成r  的幂级数。若 展开点取在坐标的原点，则 0 0 11 1 1 1 : 2 r r r rr Rr R R                （5.5.2） 只保留前两项，代人矢势表达式中得 (0) (1) ( ) 4 j Ar d A A R              （5.5.3） 其中   (0) (1) 3 () , 4 , 4 A jrd r A j r rd r                      （5.5.4）

这里我们将不直接处理电流密度j(F),而利用一个没有证明其严格性但却非常 有启发性的思路-将体积V内的电流分成许多独立的电流管道的叠加,因为是 稳恒电流,每个流管为闭合回路且电流为一常数L,。根据这一思路,可以在积分 中做如下代换:元(Fr=∑lm。考虑第一项 0jdr'=∑1a=0 (5.5.5) 与电场的情形对比,磁多极矩的第一项恒为0,事实上,这正是自然界没有磁单 极的显现。下面考虑第二项 和=凸∑l∮(FF) (5.56) 4 对方环或是圆环,上式都可以严格积分出来(详见第二讲)。对任意形状,注意 到d'=dl1,我们可以首先将上式中的积分进行配分, 乎(FP=乎(,)b=y[4(:1))-FV: (557) 在闭合环路条件下上式第一项为0,因此得到一个恒等式 现将(5.56)中的积分分成2项, Fp=42[p)+乎(]56 将上式中的一项用(557)来替代,则有 Fp=422小[pP-手)(58 利用矢量叉乘的恒等式ax(b×)=(a)b-(a.b)(5.58)可以被进一步改写 1小(=×a) xr-4兀 (5.59) 其中 li=)2ifrxdi j/xirydr' (5.5.10)

2 这里我们将不直接处理电流密度 j( ) r   ，而利用一个没有证明其严格性但却非常 有启发性的思路 - 将体积 V 内的电流分成许多独立的电流管道的叠加，因为是 稳恒电流，每个流管为闭合回路且电流为一常数 i I 。根据这一思路，可以在积分 中做如下代换： ( ') i i i j r d I dl        。 考虑第一项 (0) 0 i i i A jd I dl            （5.5.5） 与电场的情形对比，磁多极矩的第一项恒为 0，事实上，这正是自然界没有磁单 极的显现。下面考虑第二项 (1) A  ：   (1) 0 3 4 i i i A I r r dl r             （5.5.6） 对方环或是圆环，上式都可以严格积分出来（详见第二讲）。对任意形状，注意 到 ' i dr dl    ，我们可以首先将上式中的积分进行配分， ( ') ( ') ' ( ') ') '( ') r r dl r r dr d r r r r r dr      i                    （5.5.7） 在闭合环路条件下上式第一项为 0，因此得到一个恒等式 ( ') '( ') '( ) i i r r dl r r dr r r dl                  （5.5.7’） 现将（5.5.6）中的积分分成 2 项，   (1) 0 3 1 4 2 ii i i A I r r dl r r dl r                       （5.5.6’） 将上式中的一项用（5.5.7’）来替代，则有   (1) 0 3 1 '( ) 4 2 i ii i A I r r dl r r dl r                      （5.5.8） 利用矢量叉乘的恒等式 a b c acb abc     ( )( )        ，（5.5.8）可以被进一步改写   (1) 0 0 3 3 1 ' 42 4 i i i m r A I r dl r r r                  （5.5.9） 其中 1 1 () . 2 2 i i i m I r dl r j r d                 （5.5.10） I i r' dl

被定义为磁偶极矩。对磁偶极子,我们或多或少已在不同场合介绍其性质,现再 总结如下: (1)对于一个小的载流闭合线圈,其磁偶极矩写成 (5.5.11) 式中S是电流回路的面积,方向取右手螺旋。这是我们熟知的结果,只不过此处 给出的磁偶极矩的定义(5.5.10)更一般 (2)磁偶极子产生的场在第二讲中已经导出来过 B=Vx和=均×前 103(m-F)-m (1.2.24) 4丌 r3)4z 根据第十四讲,对一个磁偶极子产生的场,在没有电流的地方(r≠0处)可以 引入磁标势H=B/=-Vn。利用与电偶极子的电场/电势的比较,得到 (55.12) 4 (3)任意形状的环形电流回路的标势 对任意形状的电流回路,若要考虑离环不很远处的场,这时磁偶极矩近似不精 确。设回路中的电流强度为 I,我们可以把以此回路为边界的任意 曲面切割成许多小块,每小块的边界上 都流有电流Ⅰ,电流的方向同大回路的 电流方向相同,这样,这些小块边界上 电流相加的结果仍只在大回路中流有电流Ⅰ 个磁矩,其大小为lS,它在空间产生的磁 △S.R1 (5.5.13) 4丌R3 式中的R是dS至观察点的位置矢量,△为这一小块电流回路对观察点张开的立 体角。当体系分得足够小时,磁偶极子的描述变成精确的。于是,整个回路所产 生的磁标势严格为

3 被定义为磁偶极矩。对磁偶极子，我们或多或少已在不同场合介绍其性质，现再 总结如下： （1）对于一个小的载流闭合线圈，其磁偶极矩m  写成： 1 2 2 I m r jd r dl IS                 （5.5.11） 式中S  是电流回路的面积，方向取右手螺旋。这是我们熟知的结果，只不过此处 给出的磁偶极矩的定义（5.5.10）更一般。 (2) 磁偶极子产生的场在第二讲中已经导出来过 (1) 0 0 3 3 3( )ˆ ˆ 4 4 r mrr m BA m r r                             （1.2.24） 根据第十四讲，对一个磁偶极子产生的场，在没有电流的地方（r  0处）可以 引入磁标势 0 / H B      m   。利用与电偶极子的电场/电势的比较，得到 3 1 4 m m r r       （5.5.12） （3）任意形状的环形电流回路的标势 对任意形状的电流回路，若要考虑离环不很远处的场，这时磁偶极矩近似不精 确。设回路中的电流强度为 I ，我们可以把以此回路为边界的任意 曲面切割成许多小块，每小块的边界上 都流有电流 I ，电流的方向同大回路的 电流方向相同，这样，这些小块边界上 电流相加的结果仍只在大回路中流有电流 I 。对于每一小块面积都相应的有一 个磁矩，其大小为 IdS  ，它在空间产生的磁标势为 3 4 4 m I SR I R            （5.5.13） 式中的 R 是dS  至观察点的位置矢量，为这一小块电流回路对观察点张开的立 体角。当体系分得足够小时，磁偶极子的描述变成精确的。于是，整个回路所产 生的磁标势严格为 R

Ω是回路对观察点所张的立体角,是观察点r的函数。其磁感应强度为 B=-52vgQ() (5.5.15) g2正负的规定是:按电流的右手法则决定E的面法线方向以后,若观察点在E的 正方向,则Ω>0,反之Ω<0。注意当观察点穿过电流围出的面积时,磁标势 不连续。当观察点在面积上时,Ω+=2丌,而当其在面积下时,Ω+=-2丌,故, φ-φn=1。其实,这个表面正是我们上次课讲的“磁壳”,必须挖掉其才使得 磁标势的定义有意义,尽管其上面并无电流。 2,磁偶极子在外磁场中的能量、受力及力矩 与电偶极子在电场中类似,下面我们考虑磁偶极子与外磁场中的能量。首先,前 面已经推导出任意电流分布情况下的体系的总磁能 A·jdr (5.5.16) 假设一个载流线圈构成的磁偶极子(磁偶极矩为m=IS)处在远端的电流(简单 起见,假设为另外一个载流线圈(电流为Ⅰ))产生的静磁场B.中,则体系的总 磁能为 Un=2(4+4)(+) (5.5.17) (,j+4,)4+2(,于+ 其中A,A分别对应电流l,J产生的矢势 类似电场的情形,似乎我们可以将前 项定义为体系的固有能,后一项定义 为体系的相互作用能 B 「(4·+A 进一步,根据矢量势的定义

4 , 4 m m I  d     （5.5.14）  是回路对观察点所张的立体角，是观察点 r 的函数。其磁感应强度为 0 ( ), 4 I B r        （5.5.15）  正负的规定是：按电流的右手法则决定 n e  的面法线方向以后，若观察点在 n e  的 正方向，则  0 ，反之  0 。注意当观察点穿过电流围出的面积时，磁标势 不连续。当观察点在面积上时， 2    ，而当其在面积下时， 2    ，故， m m   I     。其实，这个表面正是我们上次课讲的“磁壳”，必须挖掉其才使得 磁标势的定义有意义，尽管其上面并无电流。 2．磁偶极子在外磁场中的能量、受力及力矩 与电偶极子在电场中类似，下面我们考虑磁偶极子与外磁场中的能量。首先，前 面已经推导出任意电流分布情况下的体系的总磁能。 1 1 2 2 U B Hd A jd m              （5.5.16） 假设一个载流线圈构成的磁偶极子（磁偶极矩为m IS    ）处在远端的电流（简单 起见，假设为另外一个载流线圈（电流为 e I ））产生的静磁场 Be  中，则体系的总 磁能为         1 2 1 1 2 2 m ee ee e e U AA j jd A j A j d A j Aj d                            （5.5.17） 其中 A e , A   分别对应电流 e I,I 产生的矢势。 类似电场的情形，似乎我们可以将前一 项定义为体系的固有能，后一项定义 为体系的相互作用能， int   1 2 U A j Aj d e e          。 进一步，根据矢量势的定义 I e I Be

A(F)=Ho[J(r)dr A(F)=Ho[j(r)dr (5.5.18) 4 R 4丌 R 容易证明 ∫(4·)r=丁(4,)dr (55.19 因此有 Um=[(4.j)dr=小Ad=B (5.520) =④2=(2+Φ) 其中①=B·4S,①=「BS分别为偶极子线圈中通过的外磁场的通量以及 源线圈中通过的磁偶极子磁场的通量。当源足够远时,可以将其磁场在线圈所处 的空间中展开: B()≈B(0)+FVB2(F)=0+ (5.521) 带入上式并只保留第一项, IB(0) ds=mB (5.522) 这个形式与电偶极子在电场中的相互作用Um=-p·E不同,似平意殊着在磁 场中磁偶极孑喜欢反平行于外磁场!这显然是不合理的,但问题在哪里? 问题出在对相互作用能以及固有能的定义上面。在电的情形,当电偶极子在 电场中发生平动或是转动时,电场的固有能不发生变化,因为偶极子以及产生外 电场的电荷分布并没有发生变化(因为这里取的边界条件为电荷体为孤立体系 如果将边界条件取做等势条件,情况会有所不同)。对磁场体系则有所不同,当 磁偶极子相对外磁场的位形发生变化时,会在线圈中产生感生电动势。根据 Faraday电磁感应定律,偶极子线圈和源线圈中产生的感生电动势分别为 (5.523) dt d t 偶极子线圈以及源线圈中的电流会因此被改变,此即是“互感效应”。在这个过 程中“固有能”不可能保持恒定不变。若我们要求在变化过程中m与B均保持 不变(亦即l,不变),则必须由外接电动势做功抵消感生电动势的做功。在 个变动过程中,外电源必须做的功为

5 0 0 4 4 e e j( r ')d ' j ( r ')d ' A( r ) , A ( r ) R R                   （5.5.18） 容易证明   A jd Aj d e e             （5.5.19） 因此有     int 1 2 e ee S e ee U A j d I A dl I B dS I II                   （5.5.20） 其中 Φe Φ e e S S   B dS , B dS       分别为偶极子线圈中通过的外磁场的通量以及 源线圈中通过的磁偶极子磁场的通量。当源足够远时，可以将其磁场在线圈所处 的空间中展开： 0 ( ) (0) ( ) Be e er r B r B r ...             （5.5.21） 带入上式并只保留第一项， ,int (0) Be e S U IB dS m B         （5.5.22） 这个形式与电偶极子在电场中的相互作用能U pE e,int e      不同，似乎意味着在磁 场中磁偶极子喜欢反平行于外磁场！这显然是不合理的，但问题在哪里？ 问题出在对相互作用能以及固有能的定义上面。在电的情形，当电偶极子在 电场中发生平动或是转动时，电场的固有能不发生变化，因为偶极子以及产生外 电场的电荷分布并没有发生变化（因为这里取的边界条件为电荷体为孤立体系； 如果将边界条件取做等势条件，情况会有所不同）。对磁场体系则有所不同，当 磁偶极子相对外磁场的位形发生变化时，会在线圈中产生感生电动势。根据 Faraday 电磁感应定律，偶极子线圈和源线圈中产生的感生电动势分别为 Φ Φ e e d d , dt dt     （5.5.23） 偶极子线圈以及源线圈中的电流会因此被改变，此即是“互感效应”。在这个过 程中“固有能”不可能保持恒定不变。若我们要求在变化过程中m  与 Be  均保持 不变（亦即 e I,I 不变），则必须由外接电动势做功抵消感生电动势的做功。在一 个变动过程中，外电源必须做的功为

△H=J1ab-lt=+j.=△0.+1.A(5524) 其中△Φ,A是Φ,①在过程中的变化。对比(5520),我们发现 △W=2△Um (5.525) B 初述、终态 现在我们根据能量守恒来看一下保持电流不变条件下的“磁相互作用能”。与电 偶极子(参考第12讲)情况类似,考虑在外磁场中的一个磁偶极子,假设其平 移一段距离,在这个过程中始终有一个外力与磁场对其的作用力大小相等方向相 反,F=-F,因此整个过程中外力对线圈的做功为 AR=-F'M=F·△ 根据能量守恒,AR应当为体系总能的增加。 (1)首先体系机械能没有发生任何变化(因为线圈准静态移动); (2)其次,磁场能发生的变化为△UB=(I△Φ。+l△Φ) (3)再次,为了保证源线圈和探测线圈中的电流L,Ⅰ维持不变,电源必须提供 △Ⅳ=1AΦ+△AΦ=2AU的能量,这部分能量必须扣除 因此,外场做的功ΔR应当等于线圈+电源这个系统总的能量增加 AR=△UB-△W。若将线圈和电源作为一体定义一个“有效相互作用能”,则 △R=△Um。显然,△Um=△UB-△W=△UB-2△UB=-△UB (5531) 与电偶极子在电场中的势能(相互作用能)完全一样!仿照电偶极子在电场受力

6 Φ Φ Φ Φ e ee e e e d d W I dt I dt I dt I dt I I dt dt                （5.5.24） 其中 Φ Φ e  , 是Φ Φe , 在过程中的变化。对比（5.5.20），我们发现 2   W U  int （5.5.25） I e I Be B 初态 终 态 现在我们根据能量守恒来看一下保持电流不变条件下的“磁相互作用能”。与电 偶极子（参考第 12 讲）情况类似，考虑在外磁场中的一个磁偶极子，假设其平 移一段距离，在这个过程中始终有一个外力与磁场对其的作用力大小相等方向相 反， ' F  FB   ，因此整个过程中外力对线圈的做功为 '      R FlF l B     根据能量守恒，R 应当为体系总能的增加。 （1）首先体系机械能没有发生任何变化（因为线圈准静态移动）； （2）其次，磁场能发生的变化为   1 2 UII B ee     （3）再次，为了保证源线圈和探测线圈中的电流 , e I I 维持不变，电源必须提供      WI I  Φ Φ ee B =2 U 的能量，这部分能量必须扣除。 因此，外场做的功 R 应当等于线圈+电源这个系统总的能量增加，    R U W B  。若将线圈和电源作为一体定义一个“有效相互作用能”，则   R Uint  。显然， int 2            U UWU U U B BB B   U mB int   e    （5.5.31） 与电偶极子在电场中的势能（相互作用能）完全一样！仿照电偶极子在电场受力

及受力矩的推导,我们可推出磁偶极子在磁场中所受的力及力矩分别为 FB=-VUmV(m B)=(m V)B (5.5.3 n=m×B 电磁理论最难掌握的就是这一点了:许多物座量必须在注明是在什么条件下得到的。等势 条件和孤立导体的条件得到的结论截然不同,同样,等电流条件和等矢势也不相同。 习题 1)考虑一个半径为R的均匀带电Q的绝缘体球壳,沿对称轴(设为z轴)以角速度匀角 速度转动,求空间的磁场分布。[提示:分下面3步走(1)求出电流分布;(2)证明 球体对应于一个均匀磁化球,并求出磁化强度M;(3)利用磁标势的方法求解。] 2)将一个半径为R的磁导率为2的磁介质球放入磁导率为山1的溶液中,当外加一均匀磁 场B时,求磁介质球携带的有效磁偶极矩(做了好多遍了,可以无需推导直接写出来) 若体系中有两个相同的磁介质球体,问体系将最终选择如图所示的那一种构型?为什 么? 注:这个题目的背景就是“磁流变液”,我曾在第8届亚洲中学生奥林匹克竞赛中出过一道 类似的题目 思考题 (1)根据磁偶极子的矢势和标势,分别推出磁偶极子的B场的形式,讨论2个表达式在什 么条件下是一样的? (2)能否从 Maxwel1张量出发计算一个磁偶极子(载流线圈)在外磁场中受到的力和力矩? 若可以,将一个自旋看成一个磁偶极子,根据其在磁场中受到的力和力矩写出自旋在磁场 中的有效相互作用能

7 及受力矩的推导，我们可推出磁偶极子在磁场中所受的力及力矩分别为 B int     B F U mB m B  m B                   （5.5.32） Tips： 电磁理论最难掌握的就是这一点了：许多物理量必须在注明是在什么条件下得到的。等势 条件和孤立导体的条件得到的结论截然不同，同样，等电流条件和等矢势也不相同。 习题： 1) 考虑一个半径为 R 的均匀带电 Q 的绝缘体球壳，沿对称轴（设为 z 轴）以角速度 匀角 速度转动，求空间的磁场分布。[提示：分下面 3 步走 （1）求出电流分布；（2）证明 球体对应于一个均匀磁化球，并求出磁化强度 M  ；（3）利用磁标势的方法求解。] 2) 将一个半径为 R 的磁导率为 2 的磁介质球放入磁导率为 1 的溶液中，当外加一均匀磁 场 B0  时，求磁介质球携带的有效磁偶极矩（做了好多遍了，可以无需推导直接写出来）。 若体系中有两个相同的磁介质球体，问体系将最终选择如图所示的那一种构型？为什 么？ B0 450 (a) (b) (c) 注：这个题目的背景就是“磁流变液”，我曾在第 8 届亚洲中学生奥林匹克竞赛中出过一道 类似的题目。 思考题 （1）根据磁偶极子的矢势和标势，分别推出磁偶极子的 B 场的形式，讨论 2 个表达式在什 么条件下是一样的？ （2）能否从 Maxwell 张量出发计算一个磁偶极子（载流线圈）在外磁场中受到的力和力矩？ 若可以，将一个自旋看成一个磁偶极子，根据其在磁场中受到的力和力矩写出自旋在磁场 中的有效相互作用能