复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第12讲

第十二讲 上次课 多极距展开(源电荷局域在空间的一个小区域内,观察点距离很远)。 根据泰勒展开,R产可+Fyr+ 空间电势为 =9+9+q2 Q=p(ndr' (4.5.4) p P(r)rdr 92 4s 2 Jp()r'F'dr':VV- (4.5.6) D=3」FF 各项的物理意义如下 第一项是一个点电荷的势,相当于V内电荷都集中在Q点时在P点所产生的 势:第二项是偶极子的势,体系相应的偶极矩为p=mrdr。当体系由一正一负 两个点电荷组成时,位置分别处于后及石+l处,我们经过简单计算可得 此即我们熟悉的电偶极距。(4.5.5)是电偶极矩 在一般情况下的定义,相当于(4.5.7)式的推广。 第三项称为体系的四极矩的势,D=3「m7dr为体系的四极矩。四极矩可 以看作是由大小相等方向相反的偶极子组成的系统,最简单的情况如下图所示。 此时,容易证明,D中唯一不为0的分量是 ○+q =6q 般的电荷分布情况下,电四极矩的定义是(4.5.6)式 方是一个并矢,或者说是个3x3矩阵,共有九个分量,qQq

第十二讲 上次课：  多极距展开 （源电荷局域在空间的一个小区域内，观察点距离很远）。 根据泰勒展开， 1 1 11 1 : 2 r rr Rr r r            ---------------------------------------------------------------- 空间电势为       012 0 0 , Q ( ') ' 4 Q    r d      （4.5.4） 1 0 1 , ( ') ' ' 4 p p r rd r              (4.5.5) 2 0 0 11 1 11 1 ( ') ' ' ': : , 42 46 3 ( ') ' ' ' r rrd D r r D r rrd                       (4.5.6) 各项的物理意义如下： 第一项是一个点电荷的势，相当于V 内电荷都集中在Q点时在 P 点所产生的 势；第二项是偶极子的势，体系相应的偶极矩为 p  r d      。当体系由一正一负 两个点电荷组成时，位置分别处于 0r  及 0r l    处，我们经过简单计算可得 Q p ql   0,   (4.5.7) 此即我们熟悉的电偶极距。（4.5.5）是电偶极矩 在一般情况下的定义，相当于（4.5.7）式的推广。 第三项称为体系的四极矩的势，D rrd  3          为体系的四极矩。四极矩可 以看作是由大小相等方向相反的偶极子组成的系统，最简单的情况如下图所示。 此时，容易证明， D  中唯一不为 0 的分量是 2 6 D lq zz  一般的电荷分布情况下，电四极矩的定义是（4.5.6）式。 D  是一个并矢，或者说是个 3ⅹ3 矩阵，共有九个分量， l -q +q r 0 r 0 +l l +q -q -q +q l

由于它是对称的,所以只有六个独立分量。D中还有一个 隐含的不独立分量,注意到在F≠0处有V2-=0,亦即 上式显示对任意一个常数C,均有 Cr:VV-≡0 若选择此常数正比于D矩阵的迹, C=T:1b;/3=(Dn+Dn+D)/3 (4.5.10) 根据(4.5.6)和(4.5.9)式,我们发现q2可改写为 7{D} (4.5.11) D: VV 4 其中 3pr'r'-pr21 ldr' (4.5.12) D称为约化四极矩,显然它是对称的无迹张量,即 D,=D,D1+D2+D3=0 (4.5.13) 只有5个独立分量。 根据(45.46)可以看出,随誉多极矩级数的增加, 其对远处的势的页献更快地减小>>>四2。换言之, 随着距离的推进,我们趣渐感知到电荷体的电荷、偶极子、 四极子…的贡献。 水半冰*水水水*水半水客水水水冰半半冰水水 以下为选读内容 直府坐标系中的多距表达式比较容被人理解,但科研中更常用的是球坐标系中的多椒 题展示,在球标下对0)=1∫mC作展矛,电劳为

2 2 1 0 r 由于它是对称的，所以只有六个独立分量。 D  中还有一个 隐含的不独立分量，注意到在r  0  处有 2 1 0 r   ，亦即： 2 2 1 11 : 0 ij ij i j I r xx r r                  （4.5.8） 上式显示对任意一个常数 C，均有 1 CI : 0 r    (4.5.9) 若选择此常数正比于 D  矩阵的迹， C D/ D D D /    Tr{ } 3 3   xx yy zz  （4.5.10） 根据（4.5.6）和(4.5.9)式, 我们发现2 可改写为 2 0 0 1 1 {} 1 : 46 3 11 1 : 4 6 Tr D D Id r D r                       (4.5.11) 其中   2 D rr r I d   3            (4.5.12) D   称为约化四极矩，显然它是对称的无迹张量，即 11 22 33 , 0 D DD D D    ij ji   (4.5.13) 只有 5 个独立分量。 根据（4.5.4-6）可以看出，随着多极矩级数的增加， 其对远处的势的贡献更快地减小 012     。换言之， 随着距离的推进，我们逐渐感知到电荷体的电荷、偶极子、 四极子、…的贡献。 ************************* 以下为选读内容 直角坐标系中的多极距表达式比较容易被人理解，但科研中更常用的是球坐标系中的多极 距展开。在球坐标下对 0 1 ( ') ' ( ) 4 r d r R         作 Tayler 展开，电势为

4 Y(0,p) (4.5.14) qm款为多叔矩,它实质上是时卡儿坐标系中的多椒矩在球坐标系中的表示,非常容星解 1=0,1,2,,.分别时应于点电荷、偶极距,电四叔距,…的重献,而他们分别具有21+1个 独立分量,其实,我们可以这样来进一步理解多级矩,在无源区 Laplace的通解(假设 →∞时收敛)为 ∑Y"(6,中)=∑_P (45.15) 其中第二个表达式为对称亲件下的形式。对地(4514)和(4.5.14)我们理解多极距 展开不过是把无源区势画数是开成本征函数的形式,而展开系数由外界亲件(进一步由源 区的电荷分市)唯一哺定! p源电荷区 无源区,满足 Laplace方程 o(F)=∑"(,4)=∑mP(os) *家客水米*家*****家*冰客家本家客 [例]利用多极距展开法计算一个长度为L的带电棒(线电荷密度为A)的电势 (展开到电四极距) 解:设棒的中心在坐标原点,则 Q=L元 p=lnad=0 D=,32a=A 因此,电势为 p(F)= 4rE r 6 aL 2L(3=2-r2) L ( 4 …24 24(~(3cos20-1)+ 你也可以选择直接积分求出电势,然后按照(L/r)的幂次展开,结果应当一致。 这里我们可以清晰地看出多极矩展开其实是将电势作幂次展开,展开的特征小

3   1 0 , 1 4 , ( ) 4 21 m l lm l l m Y r q l r           （4.5.14） lm q 称为多极矩，它实质上是笛卡儿坐标系中的多极矩在球坐标系中的表示。非常容易理解 l  0,1,2,...分别对应于点电荷、偶极距、电四极距、… 的贡献，而他们分别具有 2 1 l  个 独立分量。其实，我们可以这样来进一步理解多级矩。 在无源区 Laplace 的通解（假设 r   时收敛）为     1 1 , ( ) , cos lm l m l l l l lm l B B rY P r r            （4.5.15） 其中第二个表达式为轴对称条件下的形式。对比（4.5.14）和（4.5.14），我们理解多极距 展开不过是把无源区势函数展开成本征函数的形式，而展开系数由外界条件（进一步由源 区的电荷分布）唯一确定！     1 1 , ( ) , cos lm l m l l l l lm l B B rY P r r            , 源电荷区 无源区 ，满 足Laplace方程 ******************************* [例] 利用多极距展开法计算一个长度为 L 的带电棒（线电荷密度为 ）的电势 （展开到电四极距） 解：设棒的中心在坐标原点，则 3 / 2 2 / 2 0 3 4 L zz L Q L p zdz L D z dz              因此，电势为 2 2 0 3 3 22 2 5 0 0 11 1 ( ) ... 4 6 1 (3 ) 1 ... (3cos 1) ... 4 24 4 24 zz Q r D r zr L Lzr L L r r rr                                                    你也可以选择直接积分求出电势，然后按照(L/r)的幂次展开，结果应当一致。 这里我们可以清晰地看出多极矩展开其实是将电势作幂次展开，展开的特征小 L

量是(尺度距离 (1)从物理上讲电偶极距考量的是体系是否破峡面反剩对称性(x与-xy与-,z 与一z电四距考量的是体质的更细芦的东西:x2之间的对歌性(更广义讲球 对称)否被破坏-若破坏则必有电四叔距出现 (2)画数形式(3c0s20-1)似曾相识,事实上它就是P=(3x2-1)/2,也可以认为就是 1-=2,m=0的波函数(这里有轴对称 §4.6多极矩同外场的相互作用 讨论一块电荷集中在小区域内体系的多极矩,不仅可以容易地得到其在远处 产生的电场,还可以容易地计算出一个任意的带电体系与外场的相互作用,尽管 这两类问题看上去很不相同。上一章中我们知道当一个点电荷在放置在远处的带 电体(电荷密度p)产生的电势中时,其与外场的相互作用能 为q(F)。现考虑处于q中的连续带 电体(电荷密度为p),则带电体与 外场的相互作用能为 U,=J()9(F) (4.6.1) 应当注意我们得到这个结论的前提是体系与源相距甚远,以至于源的电荷密度 不因体系的改变而变化。因为V很小,所以可将q在参考点附近(即原点)作 泰勒级数展开: Pe (F)=p (O)+F.vpels +rr: Vvpel+ (4.6.2) 代入(4.6.1)式得 其中 U=Oo(O) (4.6.3) E (4.6.4)

4 量是（尺度/距离）。 Tips： （1） 从物理上讲，电偶极距考量的是体系是否破缺镜面反射对称性（x 与-x, y 与-y，z 与-z）；电四极距考量的是体系的更细节的东西：x,y,z 之间的对称性（更广义讲球 对称）否被破坏 - 若破坏，则必有电四极距出现。 （2） 函数形式 2 (3cos 1)   似曾相识，事实上它就是 2 2 P x   (3 1) / 2 ，也可以认为就是 l=2,m=0 的波函数（这里有轴对称）。 § 4.6 多极矩同外场的相互作用 讨论一块电荷集中在小区域内体系的多极矩，不仅可以容易地得到其在远处 产生的电场，还可以容易地计算出一个任意的带电体系与外场的相互作用，尽管 这两类问题看上去很不相同。上一章中我们知道当一个点电荷在放置在远处的带 电体（电荷密度 e）产生的电势e 中时，其与外场的相互作用能 为 e q (r )   。现考虑处于e 中的连续带 电体（电荷密度为  ），则带电体与 外场的相互作用能为   ( ) U r rd i e        (4.6.1) 应当注意我们得到这个结论的前提是体系与源相距甚远，以至于源的电荷密度 不因体系的改变而变化。因为V 很小，所以可将e 在参考点附近（即原点）作 泰勒级数展开： 0 0 1 ( ) (0) : 2! ee e e r r    r r rr               (4.6.2) 代入(4.6.1)式得 (0) (1) (2) UU U U ii i i     其中 (0) (0) U Q i e   (4.6.3)   (1) 0 0 U p pE r iee            (4.6.4)  e (r) Ee e L

(4.6.5) 因为(v)=-P,而作为外源的Pa一般分布在离V很远处,故在F区域内 n=0,因此有Gvgl=cvl!=0。再一次,若我们选择常数C满足 =Tr{D}/3,则有 Tr(D i VVp lo=2D: VV 1o=-2D:VE (4.6.6 U0,U0和U2分别代表点电荷、电偶极矩和电四极矩与外电场的相互作用能 我们发现,电荷感知到外场的积分效应,电偶极子感知到电场,而电四极子感受到电场的 微分数应一因此,多极矩随着级数的增加,愈加感知到外场细微的变化,因为其本身 就是结构的细微不剧称给出的。 下面,我们将根据电偶极矩与外场的相互作用能U=-pE。,来求出电偶极 矩在外场中所受的力和力矩 (A)电偶极矩在外场中受的力 设电偶极子在外电场E中受到外场的作用力F,方向大小未知。假设施加外力 F’=-F,则偶极子达到平衡,静止不动。现在在此基础上对偶极子沿给定方向 附加非常小的外力δF'→0,使得偶极子无限缓馒地平移δ。将偶极子与外场 看成一个体系,则在这个过程中,外力对体系做的功为 W'=(F+δF)δ=FD=-F·DF (4.6.7) 整个体系(电偶极子+外场)的能量增加为 =-p,E(F+6F)+pE()=-7V(pE() (4.6.8) 根据能量守恒上面2式应相等,因此电场对 偶极子的作用力为 F=V(pE)=pVE+p×(VxE) 利用静电场V×E=0,得

5 (2) 0 1 : 6 U D i e    (4.6.5) 因为  2 0 0 0 1 e e     ，而作为外源的 e0一般分布在离V 很远处，故在V 区域内 0 e  ，因此有 2 0 0 : 0 CI C       e e  。再一次，若我们选择常数 C 满足 C D/  Tr{ } 3  ，则有 (2) 0 00 1 11 1 1 : {} : : : 6 63 6 6 U D D Tr D I D D E i e ee                            （4.6.6） (0) Ui , (1) Ui 和 (2) Ui 分别代表点电荷、电偶极矩和电四极矩与外电场的相互作用能。 我们发现，电荷感知到外场的积分效应，电偶极子感知到电场，而电四极子感受到电场的 微分效应 --- 因此，多极矩随着级数的增加，愈加能感知到外场细微的变化，因为其本身 就是结构的细微不对称给出的。 下面，我们将根据电偶极矩与外场的相互作用能 (1) U pE i e      ，来求出电偶极 矩在外场中所受的力和力矩。 （A）电偶极矩在外场中受的力 设电偶极子在外电场 Ee  中受到外场的作用力 Fe  ，方向大小未知。假设施加外力 F' F   e   ，则偶极子达到平衡，静止不动。现在在此基础上对偶极子沿给定方向 附加非常小的外力 F ' 0  ，使得偶极子无限缓慢地平移 r  。将偶极子与外场 看成一个体系，则在这个过程中，外力对体系做的功为 W F F rF r F r ''' '   e                  （4.6.7） 整个体系（电偶极子+外场）的能量增加为   U p Er r p Er r p Er           ( ) () ()            （4.6.8） 根据能量守恒上面 2 式应相等，因此电场对 偶极子的作用力为   ( ) F pE p E p E e              利用静电场  E 0  ，得 p dx E ext 

F=p-VE (4.6.9) 因此一个电偶极子在均匀电场中不受力,只有电场非均匀时才收到外场力! (B)电偶极矩在外场中受的力矩 完全类比于力的处理,设电场对偶极子的力矩为M,则施加外力矩M=-M将 偶极矩准静态地转动一个∂,外力矩作的功为M'·∂=-M·∂,体系(偶极子 +外场)的能量增加为6(-pE),故根据能量守恒有 1.30=-6(DE)=-6pE (4.6.10) 因为p的大小不变,仅改变方向,故 (4.6.11) 这样 M.3=(2×p)E=(p×E,a (4.6.12) =×E (4.6.13) 因此,无论电场均匀与否,只要电偶极子的方向与此处的局域电场方向不一致 则其就会受到一个力矩的作用使其平行于电场! 第五章静磁场 本章中我们将学习静磁场的处理。静磁场是由稳恒电流产生的不随时间变化 的场。电流是由电场驱动电荷运动而产生的。因为电流在流动过程中一定有能量 耗散(将动能交给杂质,以热能形式给环境),静电场本身产生的电流一定不能 稳恒!必须有外加的非静电来源的场(电动势)一直给体系提供能量才能保持电 流稳恒!因为课程的时间限制,这里我们将略去对稳恒电流的来源及其满足的规 律的讨论,而只假设我们得到某种一定分布的稳恒电流j,讨论由其产生的静磁 场的基本行为

6 F pE e      (4.6.9) 因此一个电偶极子在均匀电场中不受力，只有电场非均匀时才收到外场力！ （B）电偶极矩在外场中受的力矩 完全类比于力的处理，设电场对偶极子的力矩为Me  ，则施加外力矩 ' M  Me   将 偶极矩准静态地转动一个  ，外力矩作的功为M M '        ，体系（偶极子 +外场）的能量增加为     p E   ，故根据能量守恒有 Me           pE pE     （4.6.10） 因为 p  的大小不变，仅改变方向，故   p   p    （4.6.11） 这样 M pE pE e                     （4.6.12） 即 M  p E    （4.6.13） 因此，无论电场均匀与否，只要电偶极子的方向与此处的局域电场方向不一致， 则其就会受到一个力矩的作用使其平行于电场！ *************************************************** 第五章 静 磁 场 本章中我们将学习静磁场的处理。静磁场是由稳恒电流产生的不随时间变化 的场。电流是由电场驱动电荷运动而产生的。因为电流在流动过程中一定有能量 耗散（将动能交给杂质，以热能形式给环境），静电场本身产生的电流一定不能 稳恒！必须有外加的非静电来源的场（电动势）一直给体系提供能量才能保持电 流稳恒！因为课程的时间限制，这里我们将略去对稳恒电流的来源及其满足的规 律的讨论，而只假设我们得到某种一定分布的稳恒电流 j  ，讨论由其产生的静磁 场的基本行为

§5.1磁场的矢势方程和边值关系 静磁场的基本方程是 V·B=0 (5.1.1) V×H 本构关系(假设为线性、各向同性介质)为B=H。在两个磁介质的交界面上 相应的边值关系为 en(B-B2)=0 (51.2) e x(h-h,=a 类似于静电情形,设法把磁场方程化到标准形式。利用B=V×A,可得 V(V·A)-V2A= (51.3) 静磁场满足ⅴ·A=0[此结论可由Biot- Sarver定律推出(见第1章)],上式变成 VA=-uJ (5.14) (5.14)式即为我们熟知的泊松方程,只不过现在其表现成矢量得方程一亦即每 个A的分量场都满足泊松方程。所以矢势A和标势ρ在静场时满足同一形式 的方程。 习题:P.115,49,4.11,4.14

7 §5.1 磁场的矢势方程和边值关系 静磁场的基本方程是 B 0 H j          (5.1.1) 本构关系（假设为线性、各向同性介质）为 B  H   。在两个磁介质的交界面上 相应的边值关系为 1 2 1 2 ( )0 ( ) n n eBB e HH                 （5.1.2） 类似于静电情形，设法把磁场方程化到标准形式。利用 B    A   ，可得 2     ( ) A Aj     （5.1.3） 静磁场满足  A 0  [此结论可由 Biot-Sarvert 定律推出（见第 1 章）]，上式变成 2   A  j   （5.1.4） (5.1.4)式即为我们熟知的泊松方程，只不过现在其表现成矢量得方程 – 亦即每 一个 A 的分量场都满足泊松方程。所以矢势 A  和标势 在静场时满足同一形式 的方程。 习题：P. 115, 4.9, 4. 11, 4.14