第二十六讲 上次课 ●绝对时空观的困难(麦莫实验) 相对时空观, Lorentz变换,四维空间,x,=a 标量、矢量、张量 4.速度及四维速度矢量 假定在S系中考察一个物体的运动,其速度的定义是ⅱ=。现在假定S'系 dt 相对S系以速度v沿着x轴运动,则在S系中同一粒子的速度定义为i=。因 为在相对论时空观中,时间和空间是一起变换的,由 Lorentz公式得 y dy=dy dE'=d (11.2.11) 用上面第四个方程除前三个,则得 dx-v)y,=42- (112.12) √1-B 上式决定了两个参考系中速度的变换,这就是相对论中的速度合成法则。在极限 c→∞的情况下,上式便成为经典力学中速度的矢量合成法则,即 u=ux-v, lI (112.13)
1 第 二 十 六 讲 上次课： z 绝对时空观的困难（麦-莫实验） z 相对时空观，Lorentz 变换, 四维空间， ' x x μ =α μν ν z 标量、矢量、张量… 4．速度及四维速度矢量 假定在 S 系中考察一个物体的运动，其速度的定义是 dr u dt = r r 。现在假定S′ 系 相对S 系以速度v 沿着 x 轴运动，则在S′ 系中同一粒子的速度定义为 ' ' dr u dt = r r 。因 为在相对论时空观中，时间和空间是一起变换的，由 Lorentz 公式得 ( ) 2 ' ' ' ' v v dx dx vdt dy dy dz dz v dt dt dx c γ γ = − = = ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （11.2.11） 用上面第四个方程除前三个，则得 ( ) 2 2 2 2 2 2 ' ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 v x x x v y y x z z x dx dx vdt u v u dt v vu dt dx c c dy u u dt vu c dz u u dt vu c γ γ β β ⎧ ⎪ − − ′ == = ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ − ⎨ ′ = = ⎪ − ⎪ ⎪ − ⎪ ′ = = ⎪ − ⎪ ⎩ （11.2.12) 上式决定了两个参考系中速度的变换，这就是相对论中的速度合成法则。在极限 c → ∞ 的情况下，上式便成为经典力学中速度的矢量合成法则，即 , , , x x y y z z u uv u u u u ⎧ ′ = − ⎪ ⎨ ′ = ⎪ ⎩ ′ = (11.2.13)
根据相对论的速度合成公式(112.12)很容易证实,即使u和部接近光速,其合 成的速度也不会大于光速,也就是说,在相对论中不可能用运动学的办法得到大 于光速的速度。注意到速度的变换公式很复杂,不满足四维矢量的变换公式,这 是因为三维空间速度的定义不是相对论谐变的。让我们重新考察速度的定义 、d.分子是位置矢量,很容易推广到四维协变形式x={F,ict},问题出在 分母上:d不是一个标量,其在不同惯性系中测量值不同!我们知道四维间隔 ds2'=-dx, dx, =(cdr)-drdr=(cdt)(1-iilc2) (112.14) 是一个标量,其在不同惯性系中的测量值不变,因此可以定义一个具有时间量纲 的标量 ds/c=di1-B2 (11.2.15) 用来替代dt.考察dr的物理意义-当我们选取与粒子一起运动的坐标系时有 B2=0,因此得到dr=d。故其物理意义既是在粒子静止的坐标系中测量的两 个时间的时间间隔,因此我们也把dr称作“固有时”- Proper Time。因此对任何 两个事件的时间间隔,在粒子运动的坐标系中测到的值 B2/dr (11.2.16) 比在跟随粒子运动的坐标系中测得的“固有时”增大了yn= 倍一这就是 所谓“时间膨胀”效应。既然“固有时”是个与坐标变换无关的标量,这就启发 我们定义这样一个四维矢量: dr-rilu,ic (112.17) 它显然是在 Lorentz变换下协变的,而且其三维空间部分与三维速度矢量相关 这就是四维速度。 5,四维波矢量 下面我们证明波矢k与频率一起构成四维协变矢量-亦即,k={,0e在坐 标变换下满足与坐标一样的变换关系。为了证明这件事情,考虑在S系下的沿ⅹ 方向传播的一列平面波em)=e。在S系的坐标原点t=0时刻时开始计数,在
2 根据相对论的速度合成公式(11.2.12)很容易证实，即使 x u 和v 部接近光速，其合 成的速度也不会大于光速，也就是说，在相对论中不可能用运动学的办法得到大 于光速的速度。注意到速度的变换公式很复杂，不满足四维矢量的变换公式，这 是因为三维空间速度的定义不是相对论谐变的。让我们重新考察速度的定义： dr u dt = r r - 分子是位置矢量，很容易推广到四维协变形式 x {, } r ict μ = r ，问题出在 分母上：dt 不是一个标量，其在不同惯性系中测量值不同！我们知道四维间隔 () () ( ) 2 2 2 2 ds dx dx cdt dr dr cdt u u c 1 / =− = − ⋅ = − ⋅ μ μ r r rr (11.2.14) 是一个标量，其在不同惯性系中的测量值不变，因此可以定义一个具有时间量纲 的标量 2 / 1 u d ds c dt τ = =− β (11.2.15) 用来替代 dt. 考察 dτ 的物理意义 – 当我们选取与粒子一起运动的坐标系时有 2 0 βu = ，因此得到d dt τ = 。故其物理意义既是在粒子静止的坐标系中测量的两 个时间的时间间隔，因此我们也把dτ 称作“固有时”- Proper Time。因此对任何 两个事件的时间间隔，在粒子运动的坐标系中测到的值 2 1 u u d dt d τ γ τ β = = − （11.2.16） 比在跟随粒子运动的坐标系中测得的“固有时”增大了 2 1 1 u u γ β = − 倍 – 这就是 所谓“时间膨胀”效应。既然“固有时”是个与坐标变换无关的标量，这就启发 我们定义这样一个四维矢量： {, } u dx u u ic d μ μ γ τ = = r （11.2.17） 它显然是在 Lorentz 变换下协变的，而且其三维空间部分与三维速度矢量相关。 这就是四维速度。 5．四维波矢量 下面我们证明波矢k r 与频率一起构成四维协变矢量 – 亦即， k ki c {, /} μ = ω r 在坐 标变换下满足与坐标一样的变换关系。为了证明这件事情，考虑在 S 系下的沿 x 方向传播的一列平面波 i kx t i ( ) e e −ω φ = 。在 S 系的坐标原点 t=0 时刻时开始计数，在
第N个波峰通过时停止计数,则S系中存在两个事件: 事件1,0,0,0.0},开始计数(=0) 事件2,{0.0,0,l},计数N个波峰(n=2zN) 在S'系中同样看着两件事件,则电磁波经过 Lorentz变换后变成e(kx-mn=e, 事件本身(通过观察点几个波峰)显然不随坐标系的改变而变换 事件1,0,0,0,0},开始计数(=0) 事件2,{x,0,0,},计数N个波峰(2=2xN) 因此φ=k·F-o=kx是个四维标量,不随坐标变换而改变。因此k一定是个 四维矢量。这个问题其实有另一个更简单的看法-注意到∂={V,-i,/c}是个 四维矢量,则其所对应的作用在平面波上得到的值,k={,o/e,一定也是个 四维矢量。 §113麦克斯韦方程的协变形式 根据爱因斯坦的相对性原理,作为描述电磁体系的物理规律的麦克斯韦方程 组应该写成协变的形式。下面我们就将我们所关心的方程一一写成在 Lorentz变 换下协变的形式 1.电荷守恒定律-四维电流矢量 电荷密度和电流密度之间满足连续性方程, +22=0 (113.1) 此方程是在某一个坐标系(记为S系)下写出的,在S系中j,p都应相应变化成
3 第 N 个波峰通过时停止计数，则 S 系中存在两个事件： 事件 1，{0,0,0,0}，开始计数 1 ( 0) φ = 事件 2，{0,0,0, }t ，计数 N 个波峰 2 ( 2) φ = π N 在 S'系中同样看着两件事件，则电磁波经过 Lorentz 变换后变成 ikx t i ( ' ' ' ') ' e e −ω φ = ， 事件本身（通过观察点几个波峰）显然不随坐标系的改变而变换 事件 1，{0,0,0,0}，开始计数 ' 1 ( 0) φ = 事件 2，{ ',0,0, '} x t ，计数 N 个波峰 ' 2 ( 2) φ π = N 因此 k r t kx φ ω = ⋅− = μ μ r r 是个四维标量，不随坐标变换而改变。因此 kμ一定是个 四维矢量。这个问题其实有另一个更简单的看法 – 注意到 {, /} t i c μ ∂ = ∇−∂ 是个 四维矢量，则其所对应的作用在平面波上得到的值，k ki c {, /} μ = ω r ，一定也是个 四维矢量。 §11.3 麦克斯韦方程的协变形式 根据爱因斯坦的相对性原理，作为描述电磁体系的物理规律的麦克斯韦方程 组应该写成协变的形式。下面我们就将我们所关心的方程一一写成在 Lorentz 变 换下协变的形式 1．电荷守恒定律 - 四维电流矢量 电荷密度和电流密度之间满足连续性方程， j 0 t ∂ρ ∇ ⋅ + = ∂ G （11.3.1） 此方程是在某一个坐标系（记为 S 系）下写出的，在 S'系中 j ,ρ r 都应相应变化成
j’ρ’。根据相对性原理,(11.3.1)的方程形式应当洛伦兹变换下不变。若引入 一个四维电流矢量 J=G, icp (113.2) 则(11.3.1)式可以写成 0J=0 (11.33) 为书写方便,式中x记为O,由于O是矢量,若J的确是一个四维矢量, 则∂J为洛伦兹标量故(1133)为相对论协变。实验告诉我们,电荷是守恒的 电荷在溶伦兹变换下不变,亦即在任意一个惯性系下测得的电荷量均相同。下 面我们将根据这一实验事实证明(3,ip)确实构成四维矢量。 设在S系中有一体积元dQ,其中电荷以速度运动,体积元dg中的总电 荷为P2,P是s系中测量的电荷密度。在与电荷相对静止的参考系S中,电荷 速度为零,电荷密度为Po,相应的体积元为ds0,根据电荷的洛伦兹不变性 我们有 △Q=p9=p0d2 (11.3.4) 由于S相对于S系以速度证运动,则两个坐标系的时空微元的变换关系为 d=(dx-uh),d=d,=d,d=(d-n/c2)(1135) 因为在S系中测量运动物体的体积必须同时进行,故d=0。所以两参考系之间 的体积元的关系为 d o d a od y o d d a d y d d o (11.36) u
4 j', ' ρ r 。根据相对性原理，（11.3.1）的方程形式应当洛伦兹变换下不变。若引入 一个四维电流矢量 J j ic (, ) μ = ρ G （11.3.2） 则（11.3.1）式可以写成 J 0 μ μ ∂ = （11.3.3） 为书写方便，式中 x μ ∂ ∂ 记为 μ ∂ ，由于 μ ∂ 是矢量，若J μ 的确是一个四维矢量， 则 J μ μ ∂ 为洛伦兹标量故（11.3.3）为相对论协变。实验告诉我们，电荷是守恒的， 电荷在洛伦兹变换下不变，亦即-在任意一个惯性系下测得的电荷量均相同。下 面我们将根据这一实验事实证明(, ) j icρ G 确实构成四维矢量。 设在S 系中有一体积元dΩ ，其中电荷以速度u G 运动，体积元dΩ 中的总电 荷为 ρdΩ , ρ 是S 系中测量的电荷密度。在与电荷相对静止的参考系S0中，电荷 速度为零, 电荷密度为 0 ρ ，相应的体积元为 0 dΩ ，根据电荷的洛伦兹不变性， 我们有 ΔQd d = ρ ρ Ω = 0 0 Ω (11.3.4) 由于 0 S 相对于S 系以速度u G 运动，则两个坐标系的时空微元的变换关系为 ( ) ( ) 2 2 0 0 00 u u dx dx udt , dy dy, dz dz, dt dt u dx / c = − = = =− γ γ （11.3.5） 因为在 S 系中测量运动物体的体积必须同时进行，故dt = 0 。所以两参考系之间 的体积元的关系为 d dx dy dz dxdydz d Ω 0 000 === γ γ u u Ω （11.3.6） u ρ0 S S0
这就是所谓的“运动物体长度收缩”的概念。把(11.44)式代入(1143)式 则得 p=poYu (11.37) 将上式代入电流密度的表达式发现 P07 (11.3.8) 的确(,cp)=A(7ic)=A,正好构成一个正比于四维速度的四维矢量 2,电磁势方程的协变形式 电磁场可以用矢势A和标势φ来描写,在洛伦兹规范条件下,电磁势方程为 (11.3.9) 式中A和y应满足洛伦兹条件 .A+1=0 (113.10) 若我们定义一个四维张量 4=(2) (113.11) 则(11.39)式的电磁势方程可以写为 口A (11.3.12) 洛伦兹条件可以写为 0A=0 (113.13) (113.12)式很清楚地表示出若我们要求 Maxwel)程在 Lorentz变换下协变,则A 定是一四维矢量,因为等式右方的J为一四维矢量,等式的左方亦应为一四维 矢量,由于口为一标量,故A为一矢量,称为四维势。 电磁场张量
5 这就是所谓的“运动物体长度收缩”的概念。把（11.44）式代入（11.43）式， 则得 ρ ργ = 0 u （11.3.7） 将上式代入电流密度的表达式发现 0 u ju u = = ρ ργ G G G （11.3.8） 的确 0 0 (, ) ( , ) u u j ic u ic u ρ ργ γ ρ = = μ G G 正好构成一个正比于四维速度的四维矢量。 2．电磁势方程的协变形式 电磁场可以用矢势A G 和标势ϕ 来描写，在洛伦兹规范条件下，电磁势方程为 2 0 2 2 2 0 1 / A j c t μ ϕ ρ ε ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∇− ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ∂ ⎟⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜⎝ ⎠⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G （11.3.9） 式中A G 和ϕ 应满足洛伦兹条件 2 1 A 0 c t ∂ϕ ∇⋅ + = ∂ G （11.3.10） 若我们定义一个四维张量 A Ai (, ) c μ ϕ = G （11.3.11） 则（11.3.9）式的电磁势方程可以写为 A J μ μ 0 , = −μ （11.3.12） 洛伦兹条件可以写为 A 0 μ μ ∂ = （11.3.13） (11.3.12)式很清楚地表示出若我们要求Maxwell 方程在Lorentz变换下协变，则Aμ 一定是一四维矢量，因为等式右方的J μ 为一四维矢量，等式的左方亦应为一四维 矢量，由于口为一标量，故Aμ 为—矢量，称为四维势。 3．电磁场张量
现在我们来讨论用场强表示的麦克斯韦方程的协变形式,电磁场强度E和彦 可以用电磁势A和φ表示,即 E=-Vo ot B 电磁场强E和B不是四维矢量,但是,利用四维矢势A,我们可以把它们表示为 一个反对称的二阶张量,即 Fm=0,A,-0,A (11.3.14) 由上式右端不难判断F是四维二阶反对称张量(即Fm=-F),称F为电磁场张 量,其具体形式为 Bs -B, -iE,/c B30 B, -iE/ (113.15) B2-B10-iE3/ e/c iE2/c iEs/c 0 利用F和J,我们可以把麦克斯韦方程组中的两个非齐次方程 B dE 合并写成 d F (113.16) 同样可把两个齐次方程 B VxELOB 合并写成 a F +a, Fpr +a, FoR=0 (11.3.17) (113.16)式和(113.17)式即是协变形式的麦克斯韦方程组 §114电磁场的变换公式 因为F是二阶张量,故不同参考系中的F间的变换关系为
6 现在我们来讨论用场强表示的麦克斯韦方程的协变形式，电磁场强度E B G G 和 可以用电磁势A G 和ϕ 表示，即 A E t B A ϕ ∂ = −∇ − ∂ = ∇× G G G G 电磁场强E B G G 和 不是四维矢量，但是，利用四维矢势Aμ ，我们可以把它们表示为 一个反对称的二阶张量，即 F AA μν μ ν ν μ = ∂ −∂ （11.3.14） 由上式右端不难判断 v Fμ 是四维二阶反对称张量(即Fμν νμ = −F )，称Fμν 为电磁场张 量，其具体形式为 3 21 3 12 21 3 123 0 / 0 / 0/ / / /0 B B iE c B B iE c F B B iE c iE c iE c iE c μν ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = ⎣ ⎦ - - - - - （11.3.15） 利用 Fμν和 Jμ，我们可以把麦克斯韦方程组中的两个非齐次方程 0 2 0 / 1 E E B j c t ρ ε μ ∇⋅ = ∂ ∇× − = ∂ G G G G 合并写成 ∂μ νμ ν F J = μ0 （11.3.16） 同样可把两个齐次方程 0 0 B B E t ∇⋅ = ∂ ∇×+ = ∂ G G G 合并写成 FFF 0 ∂μ να α μν ν αμ + ∂ + ∂ = （11.3.17） (11.3.16）式和（11.3.17）式即是协变形式的麦克斯韦方程组。 § 11.4 电磁场的变换公式 因为Fμν 是二阶张量，故不同参考系中的Fμν 间的变换关系为
F=apga, Fo (114.1) 把(1142)式具体写成分量的形式,则为 Er=E E2=(E2-UB3), E=(E3+UB2) BI=B (114.2) B2=(B2+E3) B=(B3-E2), 假若我们把矢量场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解,则(114.3)式可 表示为 =互 E1=YE+ixB B=互 (1144) B=(B-”×E 例3试求匀速运动的点电荷的场 解设S系的原点固定在点电荷q上,则该点电荷相对于S′是静止的,其场为 E B′=0 再设S系为实验室参考系,S′系随着点电荷q相对于S系沿x轴以速度v运动 则由式(1167)得S系中的场强 E,=Er, E=yE+UB, E,=NEr-UB B=B, B=?B/-E, B,=(B+E, 由于B=0,故 E,=1,E=1男,E=1 B=0,B 4m分,B=1 AT,c2/3 现在必须把产用S系中的坐标来表示,为此,设t=0时点电荷q正好与S系的原 点重合,并且我们在这一时刻测量空间的场,于是,根据格伦兹变换(1121)
7 F F μν μβ νγ βγ ′ = α α （11.4.1） 把(11.4.2)式具体写成分量的形式，则为 1 1 2 23 3 32 1 1 22 3 2 332 2 , ( ), ( ), , ( ), ( ), E E E EB E EB B B BBE c BBE c γ υ γ υ υ γ υ γ ⎧⎪ ′ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = + ⎪ ⎪⎪ ⎨ ′ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = − ⎪ ⎪⎩ （11.4.2） 假若我们把矢量场按平行和垂直于相对运动速度的方向分解，则（11.4.3）式可 表示为 || 2 ( ) ( ) E E EEB B B BB E c γ υ υ γ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⎪ ⎧⎪ ′ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ′ = +× ⎪⎩ ⎧⎪ ⎪ ′ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ′ = − × ⎪ ⎪⎩ & & G G GGG G G G G GG G （11.4.4） [例 3] 试求匀速运动的点电荷的场。 解 设S ′ 系的原点固定在点电荷q 上，则该点电荷相对于S ′ 是静止的, 其场为 3 0 1 , 0 4 qr E B πε r ′ = =′ ′ G G G 再设S 系为实验室参考系，S ′ 系随着点电荷q 相对于S 系沿x 轴以速度v 运动， 则由式(11.67)得S 系中的场强 2 2 , ( ), ( ), , ( ), ( ), x xy y z z z y x xy y z z z y E EE E B E E B B BB B E B B E c c γυ γυ υ υ γ γ = =+ = ′ ′′ ′′ − = = ′ ′′ ′′ − = + 由于B′ = 0 G ，故 333 00 0 23 23 0 0 11 1 , , , 44 4 1 1 0, , . 4 4 xy z xy z qx qy qz EE E rrr qz qy BB B cr cr γ γ πε πε πε υ υ γ γ πε πε ′′′ == = ′′′ ′ ′ = = − = ′ ′ 现在必须把r ′ G 用S 系中的坐标来表示，为此，设t = 0 时点电荷q 正好与S 系的原 点重合，并且我们在这一时刻测量空间的场，于是，根据格伦兹变换（11.21）
式,我们有 O, y=y, 所以,从S′系的原点到观察点的距离产可表示成 这样,S系中的电场强度为 4xcn2{x2+()+( q(1-2) q(1- q(1-B2) 4E0r3(1-B2sin20)3/2 式中θ是与的夹角。不难算出磁感应强度 B 我们看到,匀速运动的点电荷的场的特点是: (1)场分布不再是球对称的,而是与有关。B=0处场最弱,=处场最强, 场向着垂直于速度方向的平面集中,如图11.10所示,集中的程度与点电荷运动 速度有关,当v→c时,场基本上集中分布在垂直于i的平面内。图11.11画出了 三种不同3值的分布情况 (2)能流分布为
8 式，我们有 x xy yz z ′ ′′ = == γ , , 所以，从S ′ 系的原点到观察点的距离r ′ G 可表示成 2 2 2 2 2 2 1/2 [ ( ) ( )] y z r xyz x γ γ γ ′ ′′′ = ++= + + 这样，S 系中的电场强度为 2 2 2 2 3/2 0 2 2 2 2 0 2 2 3/2 2 2 2 2 2 0 2 2 3/2 2 2 3 2 2 3/2 0 1 4 [ ( ) ( )] (1 ) 1 4 [(1 ) ] (1 ) 1 4 [(1 ) ( ) ] 1 (1 ) 4 (1 sin ) qr E y z x q r c r x c c q r c r r c c q r r πε γ γ γ υ πε υ υ υ πε υ υ β πε β θ = + + − = − + − = ⋅ − + − = − G G G G G G G 式中θ 是r G 与v G 的夹角。不难算出磁感应强度 2 B E c υ = × G G G 我们看到，匀速运动的点电荷的场的特点是： (1) 场分布不再是球对称的，而是与θ 有关。θ = 0 处场最弱， 2 π θ = 处场最强， 场向着垂直于速度方向的平面集中，如图 11.10 所示，集中的程度与点电荷运动 速度有关，当υ → c 时，场基本上集中分布在垂直于υ G 的平面内。图 11.11 画出了 三种不同β 值的分布情况。 （2）能流分布为
Sp=E×H=c0E2-E(E 可见 这说明没有能流沿着径向方向辐射出去。从图11.10我们也可直接看出,能流是 在以电荷为中心的球面上流动 (3)虽然能量并不沿着亍方向辐射出去,但在实验室系看,能流仍在做定向流, 只伴随着电荷一起运动,这可以从下述极端情况看出:设υ→c,则E基本上垂 直于,于是 式中ω是电磁能量,这就是说,电磁能量以速度∂随着点电荷一起运动
9 2 0 [ ( )] P S E H E EE =×= ευ υ − ⋅ G G G GG G G 可见 0 p r S r ⋅ = G G 这说明没有能流沿着径向方向辐射出去。从图 11.10 我们也可直接看出，能流是 在以电荷为中心的球面上流动。 (3) 虽然能量并不沿着r G 方向辐射出去，但在实验室系看，能流仍在做定向流， 只伴随着电荷一起运动，这可以从下述极端情况看出：设υ → c ，则E G 基本上垂 直于υ G ，于是 2 S E P 0 = = ε υ ωυ G G G 式中ω 是电磁能量，这就是说，电磁能量以速度υ G 随着点电荷一起运动