复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第13讲.pdf_大学文库

2 的 n e A    的数值（根据（5.1.8）），（2）或者设置在边界上的 n e H   的数值（对应边条（5.1.6））。设置好体系的边界条件，就可以(5.1.8)在边条下求解 Poisson 方程解出 A  和 B  。我们一再看到了静磁场问题和静电场问题的类似性。其实这 2 个问题中场能的表达式也完全类似。静电场能量为 1 1 2 2 U E Dd d e            静磁场的能量为 1 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 U B Hd A Hd m A H A H d A jd                                       形式与静电场总能非常类似。从现有的所有证据来看，你一定以为静磁场中的 A  与静电场中的 的地位类似（都是势），而 j  与  的地位一致（都是源）。这又对又不完全对。从满足的方程和相对论协变等许多问题来看这个论断是对的，在有些情况下结论却恰恰相反 --- A  与  ， j  与 的地位一致（参考 Landau 或者 Jackson 的书）。严格推导需要很大的篇幅，但我们可以从一个简单的 Argument 来理解：在静电学中，当我们将电荷给定时，相当于使导体成为孤立导体，任何外界的变动都不会改变孤立导体上的电荷，这样的体系是“孤立体系”; 当我们确定 时，外界的变化会改变导体的电势因此必须有“外源”输出或抽出能量以保持恒定电势，因此这样的体系是个“有源体系”。现在我们看静磁学，给定电流 j 情况下，如果外界发生改变则驱动电场相应发生变化，此时也必须从“电动势”输出或抽出能量以保持恒定电流，因此这个体系不是“孤立体系”，恰恰是一个“有源体系”！。从这个意义上讲，在考虑这类问题是（孤立或者有源）， j  与 的地位一致！ §5. 2 静磁场的唯一性定理与静电场类似，静磁场也有唯一性定理，基本的理念是对确定的体系场由边界条件唯一确定。对静电问题，边界条件可以是设定边界上标势值 b  ，或者是 D  场在边界上垂直分量（与导体上的表面电荷有关）；与此相对应，对静磁问题

3 前者是边界上的矢势 A  的切向分量（见边条（5.1.5）），后者是 H  场的切向分量（与导体上的表面电流相关，见（5.1.1））。定理：如果静磁体系 V 内存在着电流和磁介质，且关系式 B  H   成立，则体系内的磁场由电流和磁介质的分布及边界条件（边界上 A  或 H  的切向分量）唯一确定。证明：设对同一个体系存在两组不同的解 B   A H ' '     和 B   A H '' ''     ，均满足预设的边界条件，则有    H Hj      （5.2.1） or n n nn b b b b e H ' e H '' e A' e A''            （5.2.2）根据场的线性叠加原理，我们可构造一个新的场，即令 , B    BB HHH         , AAA        （5.2.3）对于这样一个场，显然， 0, 0, , 0 n n B B       H e A or e H      （5.2.4）我们来计算这个场的能量： 1 1 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 m V V V n S S U B Hd A Hd AH A H d A H dS A H e dS                                             （5.2.5）根据矢量混合积公式  ab c bc a cab                  ，（5.2.5）中右方积分函数可改写为    AH e e AH He A       nn n            （5.2.6）根据（5.2.4），我们发现，无论我们设置的边条是对 A 还是对 H，（5.2.5）式右端恒为 0。于是， 1 ( )( ) 0 B B B Bd            （5.2.7）由于体系的磁导率r 恒正，故要使积分值恒为零，被积函数必须恒为零，即 B   B   或 H H     

4 可见，所设的两个解是同一个解，定理得证。显然，类似我们对静电问题唯一性定理的证明，静磁问题中，只要 B 和 H 的关系是单调上升的，即使不是线性介质，唯一性定理仍然成立！简单的讲，静磁场的唯一性定理和静电场的唯一性定理一样，都表述的是：对以一个给定的物理问题，解由边界条件唯一确定。当然，它们的适用条件也是一样的，只对 B-H 关系单调且一一对应的体系成立。对铁磁/铁电等体系，一个给定的 E，B 场对应不同的 D，H 场，则唯一性定理不成立。 §5. 3 磁场的矢势解法：二维问题原则上讲，给定边界条件以及电流分布（磁场的源），我们即可以通过解泊松方程（5.1.4）求解矢势从而进一步求解磁场。然而真正利用解析方法解矢势方程非常麻烦而且可解的问题并不太多。下面我们举最简单的一种体系-二维的稳定电流体系-来介绍求解矢势的方法。所谓二维问题，是指不仅体系的边界面是二维的，而且体系内的电流只沿着 z 轴方向流动。根据稳定电流的条件 j 0  可知， 0 zj z    ，电流密度与 z 方向的空间坐标无关，即 ( , ) z j  ejxy   （5.3.1）根据静磁场的矢势的定义 0 ( ') ' 4 j r d A R         ， A  只有 z 方向的分量; 进一步根据体系沿 z 方向的平移不变性， A  只能是 x , y 的函数。综上， (, ) A eAxy  z   (5.3.2) 于是， A  所满足的方程变成一个标量方程： 2 A f   j (5.3.3) 下面举一些例题来说明问题的求解。 [例 1] 空间沿 z 方向有一无限长载流直导线（载有电流 I），求空间的矢势分布。解：这是个典型的 2 维问题，当然可以通过求解（5.3.3）得到。但这里可先求空间的磁场分布，再由 B 场球 A 场。由安培定理可得（取柱坐标系）