第十三讲 上次课 多极矩展开(点电荷、偶极子、四极距) 9=90+91+2 Qqa-Eax·p =p- VEm, T=P ●静磁场边条 矢势满足的方程:V2A nx(H -H2) =a, 在介质分区均匀时,我们还要导出关于A的边值关系。对应(51.1)式我们有 (V×A)2-(V×A)2=0 (5.1.5) (x-1(x1|=a (5.1.6) (51.5)式可进一步简化为 e,x(A-A)=0 (5.17) 个可能的解是Ex(A-A)bn= const,其中 const与界面上的位置无关。仿 照我们以前在静电学中对电势的边界条件的处理,将关系式 ∮Ad=B 应用到交界面的一个闭合回路上,只要B在交界面上是有限的,则有 (A-A2h=0→nx(4-A2)=0 这表示A在边界的切线方向的分量是连续的0,这与静电学中的边界条件 g=2len(416)相对应。同样道理,事实上(5.16)对应于静电学中的另 外一条边界条件2-,902=-0(41.3),在某一些特定的条件下,完全可 以把(5.16)式化成与(41.3)类似的形式。 因此,对静磁学问题,边界条件有2中设置方法,(1)或者设置在边界上
1 第十三讲 上次课 多极矩展开（点电荷、偶极子、四极距） Qp D , , 012 int ... ... , ext ext ext W Q Ep F p E pE 静磁场边条 1 2 1 2 0 f nB B nHH ，矢势满足的方程： 2 A j 在介质分区均匀时，我们还要导出关于 A 的边值关系。对应(5.1.1)式我们有 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 (5.1.5) 1 1 ( ) ( ) (5.1.6) n n f eA A eAA (5.1.5) 式可进一步简化为 1 2 ( ) 0 n boundary e AA （5.1.7） 一个可能的解是 1 2 () . n boundary e A A const ，其中 const 与界面上的位置无关。仿 照我们以前在静电学中对电势的边界条件的处理，将关系式 A dl B dS 应用到交界面的一个闭合回路上，只要 B 在交界面上是有限的，则有 1 2 || 1 2 ( ) 0 ( ) 0 AA e AA n (5.1.8) 这表示 A 在边界的切线方向的分量是连续的 0，这与静电学中的边界条件 1 2 boundary （4.1.6）相对应。同样道理，事实上（5.1.6）对应于静电学中的另 外一条边界条件 1 2 1 2 f n n （4.1.3），在某一些特定的条件下，完全可 以把（5.1.6）式化成与（4.1.3）类似的形式。 因此，对静磁学问题，边界条件有 2 中设置方法，（1）或者设置在边界上
的百×A的数值(根据(518),(2)或者设置在边界上的EXH的数值(对应 边条(5.1.6))。设置好体系的边界条件,就可以(51.8)在边条下求解 Poisson方 程解出A和B。 我们一再看到了静磁场问题和静电场问题的类似性。其实这2个问题中场能的 表达式也完全类似。静电场能量为 E·Ddr= 2Jo pat 静磁场的能量为 B·Hdr 2(V×A),dr S..(Ax H)+A(VxH]dr=5.Ajdr 形式与静电场总能非常类似 从现有的所有证据来香,你一定以为静磁场中的A与静电场中的的地位类似(都是 势,而)与p的地位一致(部是源)。这又对又不完全对。从满足的方程和相对论协变等 许多问题来看这个论断是对的,在有些情况下结论却恰恰相反-A与p,j与q的地位 致(参考 Landau或者 Jackson的书)。严格推导需要很大的筒幅,但我们可以从一个筒 单的 Argument来理解:在静电学中,当我们将电荷给定时,相当于使导体成为孤立导体, 在何外界的变动都不会改变预立导体上的电荷,这样的体系是“孤立体系”;当我们确定q 时,外界的变化会改变导体的电势因此必须有“外源”输出或抽出能量以保持恒定电势 因此这样的体系是个“有源体系。现在我们看静磁学,给定电流j情况下,如果外界发生 改变则驱动电场相应发生变化,此时也必须从“电动势”出或抽出能量以保持恒定电流, 因此这个体系不是“孤立体系”恰恰是一个“有源体系”。从这个意义上讲,在考虑这类 问题是(孤立成者有源)j与Q的地位一致! §5.2静磁场的唯一性定理 与静电场类似,静磁场也有唯一性定理,基本的理念是对确定的体系场由边 界条件唯一确定。对静电问题,边界条件可以是设定边界上标势值b,或者是D 场在边界上垂直分量(与导体上的表面电荷有关);与此相对应,对静磁问题
2 的 n e A 的数值（根据（5.1.8）），（2）或者设置在边界上的 n e H 的数值（对应 边条（5.1.6））。设置好体系的边界条件，就可以(5.1.8)在边条下求解 Poisson 方 程解出 A 和 B 。 我们一再看到了静磁场问题和静电场问题的类似性。其实这 2 个问题中场能的 表达式也完全类似。静电场能量为 1 1 2 2 U E Dd d e 静磁场的能量为 1 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 U B Hd A Hd m A H A H d A jd 形式与静电场总能非常类似。 从现有的所有证据来看，你一定以为静磁场中的 A 与静电场中的 的地位类似（都是 势），而 j 与 的地位一致（都是源）。这又对又不完全对。从满足的方程和相对论协变等 许多问题来看这个论断是对的，在有些情况下结论却恰恰相反 --- A 与 ， j 与 的地位 一致（参考 Landau 或者 Jackson 的书）。严格推导需要很大的篇幅，但我们可以从一个简 单的 Argument 来理解：在静电学中，当我们将电荷给定时，相当于使导体成为孤立导体， 任何外界的变动都不会改变孤立导体上的电荷，这样的体系是“孤立体系”; 当我们确定 时，外界的变化会改变导体的电势因此必须有“外源”输出或抽出能量以保持恒定电势， 因此这样的体系是个“有源体系”。现在我们看静磁学，给定电流 j 情况下，如果外界发生 改变则驱动电场相应发生变化，此时也必须从“电动势”输出或抽出能量以保持恒定电流， 因此这个体系不是“孤立体系”，恰恰是一个“有源体系”！。从这个意义上讲，在考虑这类 问题是（孤立或者有源）， j 与 的地位一致！ §5. 2 静磁场的唯一性定理 与静电场类似，静磁场也有唯一性定理，基本的理念是对确定的体系场由边 界条件唯一确定。对静电问题，边界条件可以是设定边界上标势值 b ，或者是 D 场在边界上垂直分量（与导体上的表面电荷有关）；与此相对应，对静磁问题
前者是边界上的矢势A的切向分量(见边条(51.5)),后者是H场的切向分量 (与导体上的表面电流相关,见(5.1.1))。 定理:如果静磁体系Ⅴ内存在着电流和磁介质,且关系式B=HH成立,则 体系内的磁场由电流和磁介质的分布及边界条件(边界上A或的切向分量) 唯一确定 证明:设对同一个体系存在两组不同的解B=VxA=HH和 B"=V×A"=HH",均满足预设的边界条件,则有 V×H=V×H" (52.1) ,X厅=已×厅叫。①司×=元×理 (522) 根据场的线性叠加原理,我们可构造一个新的场,即令 B=B-B H=H-H A=A-A (52.3) 对于这样一个场,显然, =0,x团=0 (524) 我们来计算这个场的能量: Un=L.B.Hdr=(V×A)Hdr v(AxH)+A(V×F)d 52.5) 2(xB)=2[xB)]△ 根据矢量混合积公式(a×b)=(b×)a=(xa)b,(525)中右方积分函数可 改写为 n (526) 根据(524),我们发现,无论我们设置的边条是对A还是对H,(52.5)式右 端恒为0。于是, ∫(B-B)(B-B)r=0 (527) 由于体系的磁导率以恒正,故要使积分值恒为零,被积函数必须恒为零,即 B′=B”或H=h
3 前者是边界上的矢势 A 的切向分量（见边条（5.1.5）），后者是 H 场的切向分量 （与导体上的表面电流相关，见（5.1.1））。 定理：如果静磁体系 V 内存在着电流和磁介质，且关系式 B H 成立，则 体系内的磁场由电流和磁介质的分布及边界条件（边界上 A 或 H 的切向分量） 唯一确定。 证明： 设对同一个体系存在两组不同的解 B A H ' ' 和 B A H '' '' ，均满足预设的边界条件，则有 H Hj （5.2.1） or n n nn b b b b e H ' e H '' e A' e A'' （5.2.2） 根据场的线性叠加原理，我们可构造一个新的场，即令 , B BB HHH , AAA （5.2.3） 对于这样一个场，显然， 0, 0, , 0 n n B B H e A or e H （5.2.4） 我们来计算这个场的能量： 1 1 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 m V V V n S S U B Hd A Hd AH A H d A H dS A H e dS （5.2.5） 根据矢量混合积公式 ab c bc a cab ，（5.2.5）中右方积分函数可 改写为 AH e e AH He A nn n （5.2.6） 根据（5.2.4），我们发现，无论我们设置的边条是对 A 还是对 H，（5.2.5）式右 端恒为 0。于是， 1 ( )( ) 0 B B B Bd （5.2.7） 由于体系的磁导率r 恒正，故要使积分值恒为零，被积函数必须恒为零，即 B B 或 H H
可见,所设的两个解是同一个解,定理得证。显然,类似我们对静电问题唯一性 定理的证明,静磁问题中,只要B和H的关系是单调上升的,即使不是线性介 质,唯一性定理仍然成立! 简单的讲,静磁场的唯一性定理和静电场的唯一性定理一样,都表述的是:射以一个给 定的物理问题,解由边界条件唯一确定。当然,它们的适用条件也是一样的只射BH关 系单调且一一射应的体系成立。铁磁/铁电等体系,一个给定的B,B场对应不同的D,日 杨,则唯一性定理不成立 §5.3磁场的矢势解法:二维问题 原则上讲,给定边界条件以及电流分布(磁场的源),我们即可以通过解泊 松方程(514)求解矢势从而进一步求解磁场。然而真正利用解析方法解矢势方 程非常麻烦而且可解的问题并不太多。下面我们举最简单的一种体系-二维的稳 定电流体系-来介绍求解矢势的方法。所谓二维问题,是指不仅体系的边界面是 二维的,而且体系内的电流只沿着z轴方向流动。根据稳定电流的条件V·j=0可 知,j=0,电流密度与二方向的空间坐标无关,即 az j=ej(x, y) (53.1) 根据静磁场的矢势的定义=[(C,只有=方向的分量;进一步根据 体系沿z方向的平移不变性,A只能是x,y的函数。综上 a=eA(x, y) (5.3.2) 于是,A所满足的方程变成一个标量方程: VA=-ui (5.3.3 下面举一些例题来说明问题的求解 「例1空间沿z方向有一无限长载流直导线(载有电流1,求空间的矢势分布 解:这是个典型的2维问题,当然可以通过求解(53.3)得到。但这里可先求空 间的磁场分布,再由B场球A场。由安培定理可得(取柱坐标系)
4 可见，所设的两个解是同一个解，定理得证。显然，类似我们对静电问题唯一性 定理的证明，静磁问题中，只要 B 和 H 的关系是单调上升的，即使不是线性介 质，唯一性定理仍然成立！ 简单的讲，静磁场的唯一性定理和静电场的唯一性定理一样，都表述的是：对以一个给 定的物理问题，解由边界条件唯一确定。当然，它们的适用条件也是一样的，只对 B-H 关 系单调且一一对应的体系成立。对铁磁/铁电等体系，一个给定的 E，B 场对应不同的 D，H 场，则唯一性定理不成立。 §5. 3 磁场的矢势解法：二维问题 原则上讲，给定边界条件以及电流分布（磁场的源），我们即可以通过解泊 松方程（5.1.4）求解矢势从而进一步求解磁场。然而真正利用解析方法解矢势方 程非常麻烦而且可解的问题并不太多。下面我们举最简单的一种体系-二维的稳 定电流体系-来介绍求解矢势的方法。所谓二维问题，是指不仅体系的边界面是 二维的，而且体系内的电流只沿着 z 轴方向流动。根据稳定电流的条件 j 0 可 知， 0 zj z ，电流密度与 z 方向的空间坐标无关，即 ( , ) z j ejxy （5.3.1） 根据静磁场的矢势的定义 0 ( ') ' 4 j r d A R ， A 只有 z 方向的分量; 进一步根据 体系沿 z 方向的平移不变性， A 只能是 x , y 的函数。综上， (, ) A eAxy z (5.3.2) 于是， A 所满足的方程变成一个标量方程： 2 A f j (5.3.3) 下面举一些例题来说明问题的求解。 [例 1] 空间沿 z 方向有一无限长载流直导线（载有电流 I），求空间的矢势分布。 解：这是个典型的 2 维问题，当然可以通过求解（5.3.3）得到。但这里可先求空 间的磁场分布，再由 B 场球 A 场。由安培定理可得（取柱坐标系）
FB B=Ho/ 根据×A=B,可利用 Stokes定理有pAd=JBd,选择如图所示的安培环 路,则有 4p)-AR小h=-小Bd 积分可得 A()=AR)-2 2丌 R const.-Ho In(p) 其中 const取决于矢势原点的选取 注:本例也可以用V×A=B直接求出,不试试。 例2]求均匀场B=Be1对应的矢势分布 解:乍一看,这个未必是各2维问题。考虑到均匀磁场可以是由无限大载有z方 向均匀面电流的金属板产生,这个问题就很清楚是2维问题,因此可设 A=Ax,y)l。根据V×A=B,得 因此有 A(x, y)=Boy= Bopsin8 注:矢势的选取并不唯一,除了可以差一个积升常数外,矢势还可纵任意加上一个“规 范场"而不影响它们给出相同的磁场。这里这个结果的得到是基于电流沿:方向,A的方向 因此定下来沿z方向,其实就是取定了一个规落。其实还可以有别的结果,比如 A=(1/2)B×F,所谓 Landau规落下的结果 例3半径为R的圆柱形磁介质(磁导率为2),放置于均匀的外磁场B中,设 柱外面为磁导率为山的介质。场的方向与柱轴垂直,求空间的场分布 解如图5.1所示,空间分成两个区域,p>R的区域矢势为A4(x,y),p<R 的区域矢势为A1(x,y),它们均满足 Laplace方程(没有传导电流):
5 0 0 2 I B dl I B eˆ 根据 A B ，可利用 Stokes 定理有 S A dl B ds ，选择如图所示的安培环 路，则有 0 0 R A( ) A( R ) h h B d 积分可得 0 0 0 0 () ( ) 2 2 I A A R ln R I const. ln 其中 const.取决于矢势原点的选取。 注：本例也可以用 A B 直接求出，不妨试试。 [例 2] 求均匀场 B B e0 x 对应的矢势分布 解：乍一看，这个未必是各 2 维问题。考虑到均匀磁场可以是由无限大载有 z 方 向均匀面电流的金属板产生，这个问题就很清楚是 2 维问题，因此可设 ( ) z A A x,y e ˆ 。根据 A B ，得 yx xy x 0 Ae Ae B e ˆ ˆˆ 因此有 0 0 A x,y B y B ( ) sin 注：矢势的选取并不唯一，除了可以差一个积分常数外，矢势还可以任意加上一个“规 范场”而不影响它们给出相同的磁场。这里这个结果的得到是基于电流沿 z 方向，A 的方向 因此定下来沿 z 方向，其实就是取定了一个规范。其实还可以有别的结果，比如 A ( / )B r 1 2 ，所谓 Landau 规范下的结果。 [例 3] 半径为 R 的圆柱形磁介质（磁导率为2 ），放置于均匀的外磁场 B0 中，设 柱外面为磁导率为1 的介质。场的方向与柱轴垂直，求空间的场分布。 解 如图 5.1 所示，空间分成两个区域， R 的区域矢势为 1 zA x y ˆ (, ) ， R 的区域矢势为 2 zA x y ˆ (, )，它们均满足 Laplace 方程（没有传导电流）： I B R0
A1=0,VA2=0 (534) 考虑边值关系。在p=R的边界上,显然(51.8)式即为 A(P=R)=A(p=R) (535) 考虑边条(516)。因为A=A(x,y),利用柱坐标系(D,z)中的公式可得 V×A 1 aA aA →n×(V p ao a 我们就可以把(51.6)式写成 1 aA 1 aA 1 aA 1 aA -a=0→ u, a (5.3.6) 把它们与介质中的静电方程和边值关系比较,立即发现它们的形式完全一样。因 此,二维静磁问题完全可以仿照静电问题中的各种解法来求解。 B 其他边界条件: p=0,42有限 (5.3.7) p→∞,A包括均匀场的贡献。 (53.8”) H2 p→>∞,A= const.+By= const.+ Opsinφ(5.3.8) 下面我们根据上述条件利用本征函数展开法找出各区的解。 根据问题的对称性,A,A2可以展开成相应的本征函数的线性叠加: A=g+lp+∑(gnP+h)cos(m)+∑(cnp"+d,p")sin(np) (5.3.9) 42=80+lnp+∑(gnp"+h,p")cosm)+∑(cnp”+d-")sim 根据边条(537)-(538),易知: 8n=0, 1,2,…;Cn=0,n>1,C1=B0;h (5.3.10) hn=0,n=1,2,;dn=0,n=1,2 由边条(53.5)-(5.36),得到
6 2 2 1 2 A A 0, 0 （5.3.4） 考虑边值关系。在 R 的边界上，显然(5.1.8)式即为 1 2 A RA R ( )( ) (5.3.5) 考虑边条（5.1.6）。因为 A zA x y ˆ (, ) ，利用柱坐标系(,,) z 中的公式可得 1 zz z z A A A A e e nA e 我们就可以把(5.1.6)式写成 12 1 2 12 1 2 11 1 1 0 R A A AA (5.3.6) 把它们与介质中的静电方程和边值关系比较，立即发现它们的形式完全一样。因 此，二维静磁问题完全可以仿照静电问题中的各种解法来求解。 其他边界条件： 2 0, A 有限． （5.3.7） 1 , A 包括均匀场的贡献。 （5.3.8’） 即 10 0 , . . sin A const B y const B （5.3.8） 下面我们根据上述条件利用本征函数展开法找出各区的解。 根据问题的对称性， A,A1 2 可以展开成相应的本征函数的线性叠加： 1 00 1 1 '' ' ' ' ' 2 00 1 1 ln ( )cos( ) ( )sin( ) ln ( )cos( ) ( )sin( ) nn n n nn n n n n nn n n nn n n n n A g h g h n cd n A g h g h n cd n （5.3.9） 根据边条（5.3.7）-（5.3.8），易知： 10 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 n n '' ' n n g ,n , ,...; c ,n , c B ; h h ,n , ,...; d ,n , ,...; h （5.3.10） 由边条（5.3.5）-（5.3.6），得到 1 2 R x B 0
8 R+h,r =g,r"+h, CR-7)=(ng R"l-nh, R-l) (5.3.11 以及 CR"+dR-h=cR"+dR nc,R"l-nd R-m)=-(nc R-l-nd R-") (5.3.12) 根据(5.3.10),当n>1时,(5.3.11)-(5.3.12)没有非平凡解,亦即所有n>1 时的参数均为0。当n=1时,由(5.3.12)可以解得 d=R2B当 2B612 (5.3.13) 12+H +2 除了不重要的常数g0=8外,其余的系数均为零。故空间矢势(取常数为0)为 A,=Boe sin o+BR2 42-41 sing H2+川1P (5.3.14) 2 B Sin 根据矢势可以容易地计算出磁场的形式。这里,柱外的磁场由外磁场和介质磁化 后的激化电流在柱子外产生的磁场,后者完全等价于放置在原点处的一个2维偶 极子,柱内的场为一均匀磁场,包含了外磁场以及“退磁场”的贡献。 Tps:从(上一章到这一章的这么多例子中,我们可以消楚地明白,均匀外场下对柱、球等的 影响只是激发|=1项(即得极项)其他的项都是0。这个原因也很筒单,均匀场的势正比 于r的一次方因此它也只坐用到上1这个子空闻。白了这个道理,以后再做相应的题目 时可直接仅仅保郾=1项(对均匀外场)结果的正确性由唯一性定理保证,以简化计算书 写步骤。 习题 P.141,5.3,54 选做题:在上面的例3中,求束缚在磁介质界面上的磁化电流分布。进一步定义 个2维磁偶极子,求出其矢势,然后对比例题3的解写出磁介质柱被磁化后的 等效(2维)磁偶极矩
7 11 11 1 2 1 1 n n 'n ' n nn nn n n 'n ' n nn nn gR hR gR hR ng R nh R ng R nh R （5.3.11） 以及 11 11 1 2 1 1 n n 'n ' n nn nn n n 'n ' n nn nn cR dR cR dR nc R nd R nc R nd R （5.3.12） 根据（5.3.10），当 n 1时，（5.3.11）-（5.3.12）没有非平凡解，亦即所有 n>1 时的参数均为 0。当n 1时，由（5.3.12）可以解得 2 ' 2 1 0 2 10 1 21 12 2 , B d RB c （5.3.13） 除了不重要的常数 0 0 ' g g 外，其余的系数均为零。故空间矢势（取常数为 0）为 2 2 1 10 0 2 1 0 2 2 2 1 sin sin 2 sin A B BR B A （5.3.14） 根据矢势可以容易地计算出磁场的形式。这里，柱外的磁场由外磁场和介质磁化 后的激化电流在柱子外产生的磁场，后者完全等价于放置在原点处的一个 2 维偶 极子，柱内的场为一均匀磁场，包含了外磁场以及“退磁场”的贡献。 Tips：从上一章到这一章的这么多例子中，我们可以清楚地明白，均匀外场下对柱、球等的 影响只是激发 l=1 项（即偶极项），其他的项都是 0。这个原因也很简单，均匀场的势正比 于 r 的一次方，因此它也只坐用到 l=1 这个子空间。明白了这个道理，以后再做相应的题目 时可直接仅仅保留 l=1 项（对均匀外场），结果的正确性由唯一性定理保证，以简化计算书 写步骤。 习题 P．141，5.3，5.4 选做题：在上面的例 3 中，求束缚在磁介质界面上的磁化电流分布。进一步定义 一个 2 维磁偶极子，求出其矢势，然后对比例题 3 的解写出磁介质柱被磁化后的 等效（2 维）磁偶极矩
