复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第02讲 磁的来源 磁场 电流在磁场中的受力，Lorentz 力 磁场的矢势 磁场为无源场（与电流是否稳恒无关）

第二讲 上次课: 静电的来源 E()=1[DxR:电场 R F=pdzE-电荷在电场中的受力 V·E(F)=p(F)/E0-电场的散度,高斯定理 R 常用公式:V.n=4m6(R) 5,静电场的旋度-安培环路定理 现在我们研究电场的旋度性质,亦即研究静电场对任意环路的线积分: E·d=?。在《电磁学》中,我们利用静电场的向心力这一特点,将任意环路 积分Map到一个径向的积分,从而得到环路积分为0这一结论。这里我们利用更 高等的数学方法证明。首先注意一个非常有用的公式 Vr=F/r→VR=R/R 由此可以得到另一个恒等式 VR IR R R2R R (常常用到分部微分公式:Vf(r 将上述恒等式带入场的定义:E(门)=∫ P(r)dr R,即可得 EC p(rdr V 1 [P(r) dr|=-Vo(GF)(1.1.11) 其中 (1.1.12) 为标量势。利用(1.1.11),我们得到静电场的环路定理的积分表达形式 E团=手VoG)d=-()m=0 (1.1.13) 其中∂φp/∂/意味着沿着环路的方向对φ求偏导。上式的物理意义为静电场是保守 场。也可以将环路定理写成微分形式, VxE(F)=-V×Vp()=0 (1.1.14)

1 第二讲 上次课：  q --- 静电的来源  3 0 1 () ( ) 4 V r d E r R R           -电场  F   d E   - 电荷在电场中的受力  0    Er r ( ) ( )/    - 电场的散度，高斯定理  常用公式： 3 4 () R R R      5．静电场的旋度 – 安培环路定理 现在我们研究电场的旋度性质，亦即研究静电场对任意环路的线积分： E dl   ?     。在《电磁学》中，我们利用静电场的向心力这一特点，将任意环路 积分 Map 到一个径向的积分，从而得到环路积分为 0 这一结论。这里我们利用更 高等的数学方法证明。首先注意一个非常有用的公式 ˆ     r rr R RR / /  由此可以得到另一个恒等式 22 3 1 1 R R R R R RR R        （常常用到分部微分公式： ( ) f f r r r     ） 将上述恒等式带入场的定义： 3 0 1 () ( ) 4 r d Er R R            ，即可得： 0 0 1 1 1 () () ( ) () 4 4 r Er r d d r R R                              （1.1.11） 其中 0 1 () ( ) 4 r r d R           （1.1.12） 为标量势。利用（1.1.11），我们得到静电场的环路定理的积分表达形式 E dl r dl l dl            () / 0           （1.1.13） 其中 / l 意味着沿着环路的方向对 求偏导。上式的物理意义为静电场是保守 场。也可以将环路定理写成微分形式，       Er r () () 0    （1.1.14）

物理意义是静电场是无旋场。“无旋”“保守”、可定义标量势这三者是相互关联, 可以相互导出的,其本质都是由于静电场是向心力的原因。 剧考:还有什么形式的场可以定义标量势? 6,电偶极子 当施加电场于一个中性的物体上时,电场将正/负电荷拉开。因此为了描述 物质的这种对外场的响应,人们定义电偶极子为两个相聚很近的带等电量的正负 电荷组成的体系,并研究其电行为。偶极子的大小由偶极距描述,其定义为 p=q,方向由负电指向正电。其实任意的一个带电体, 在远场看,最先看到的其总电电量, 然后就能感受到偶极子的场的贡献 偶极子场比点电荷的场衰减的慢, +十 所以要近一点才能看到 因此研究电偶极子具有重要意义。 具体计算偶极子的电势为 q(F)=.q1-1 g cos日_pcos日p 24π0 (1.1.15) Eo('b 4 TE 我们注意到偶极子的电势果然比点电荷的电势更快地衰减。计算可知 E()=-Vp= 4x6r+DD⊥1= 1「VpF p-3(p·F)F (1.1.16) 4 非常容易可以计算出场的分量形式(设团):E.=PS、E=pnO Tips:与《电磁学》相比较,《电动力学》中更讲究数学形式的紧凑的矢量表述方式,而不 是写成分量后的形式或是在某一些特定条件下的(比如rz)形式。熟练掌握常用的几个矢 量运算是必要的:Vr=F/r,V(")=m"v2(1/r)=-46(F),等。 §12静磁现象的基本理论描述 磁现象的描述要比电现象复杂。在1820年之前,磁现象是与磁铁(磁石) 等相连,表现神秘,不易定量研究。直至 Oersted发现电流也可以产生与磁铁 样的现象,人们才可以定量研究磁现象。我们下面将与电现象对比,简要总结静 磁现象的基本理论描述 1.电流(磁的来源、与电荷对比) 电流-顾名思义为电荷的流动。为定量描述电荷流动,定义电流为:单位时间内

2 物理意义是静电场是无旋场。“无旋”、“保守”、可定义标量势这三者是相互关联， 可以相互导出的，其本质都是由于静电场是向心力的原因。 思考：还有什么形式的场可以定义标量势？ 6．电偶极子 当施加电场于一个中性的物体上时，电场将正/负电荷拉开。因此为了描述 物质的这种对外场的响应，人们定义电偶极子为两个相聚很近的带等电量的正负 电荷组成的体系，并研究其电行为。偶极子的大小由偶极距描述，其定义为 p  ql   ，方向由负电指向正电。其实任意的一个带电体， 在远场看，最先看到的其总电电量， 然后就能感受到偶极子的场的贡献。 偶极子场比点电荷的场衰减的慢， 所以要近一点才能看到。 因此研究电偶极子具有重要意义。 具体计算偶极子的电势为 2 2 23 0 0 0 00 1 1 cos cos ( ) 4 4 4 44 a b b a q q q l p pr r r r rr r r r r                         （1.1.15） 我们注意到偶极子的电势果然比点电荷的电势更快地衰减。计算可知 33 3 0 0 1 ( ) 1 1 3( ) ( ) 4 4 p r p prr ˆ ˆ Er p r rr r                               （1.1.16） 非常容易可以计算出场的分量形式（设 p || zˆ  ）： 3 3 0 0 cos sin , ,0 2 4 r p p EEE r r          。 Tips： 与《电磁学》相比较，《电动力学》中更讲究数学形式的紧凑的矢量表述方式，而不 是写成分量后的形式或是在某一些特定条件下的（比如 r||z）形式。熟练掌握常用的几个矢 量运算是必要的：   1 2 () 1 4 n n r r / r, r nr r, / r ( r ) ˆ            ，等。 §1.2 静磁现象的基本理论描述 磁现象的描述要比电现象复杂。在 1820 年之前，磁现象是与磁铁（磁石） 等相连，表现神秘，不易定量研究。直至 Oersted 发现电流也可以产生与磁铁一 样的现象，人们才可以定量研究磁现象。我们下面将与电现象对比，简要总结静 磁现象的基本理论描述。 1．电流（磁的来源、与电荷对比） 电流-顾名思义为电荷的流动。为定量描述电荷流动，定义电流为：单位时间内 E +++++ -------- l + - r r+ r-

垂直穿过某一特定截面的电荷量,用I表示: Ⅰ是个描述电荷流动的积分的总效果。为了更微观地看电荷的流动情况,定义电 流密度j为单位面积单位时间通过的电荷量j 可以推知 △AS 1 Q2 PASt△t △t△S△t△S =p(如下图所示) v△t ˇ|△s 进一步考虑电流密度的矢量性,有 j=P(rv(r) (1.2.2) 式中下代表在F处的电荷的运动速度,p为电荷密度.《电磁学》中我们已证明 电流密度的数学表述及与电流的关系为 j=P(rv(r) (1.2.3) 电荷守恒实验表明电荷是守恒的,即电荷不能消灭及产生,而只能转移。在空 间内任取一封闭曲面S,单位时间内穿流出去的电荷量为(根据电流密度的定义 (121))∮.j·d,流出去的电荷量应等于封闭曲面S内总电荷在单位时间内的 减少量,即=2 V是S所包围的体积,所以 根据高斯定理,有∮=「v.Jdr。代入上式可得 O

3 垂直穿过某一特定截面的电荷量, 用 I 表示： S I   q/ t| （1.2.1） I 是个描述电荷流动的积分的总效果。为了更微观地看电荷的流动情况，定义电 流密度 j  为单位面积单位时间通过的电荷量 q j t S     ，可以推知 Sv t j v tS tS           （如下图所示）。 v vt S 进一步考虑电流密度的矢量性，有 j  ()() rvr   （1.2.2） 式中v  代表在r  处的电荷的运动速度，  为电荷密度．《电磁学》中我们已证明 电流密度的数学表述及与电流的关系为 ()() S j    r v r I j dS       （1.2.3） 电荷守恒 实验表明电荷是守恒的，即电荷不能消灭及产生，而只能转移。在空 间内任取一封闭曲面S ，单位时间内穿流出去的电荷量为（根据电流密度的定义 （1.2.1）） S j  dS     ，流出去的电荷量应等于封闭曲面 S 内总电荷在单位时间内的 减少量，即 V d d dt     ，V 是S 所包围的体积，所以 S V d j dS d dt          . 根据高斯定理，有 S V j    dS jd       。代入上式可得 0 V j d t              

由于曲面S是任意选取的,所以被积函数恒为零,即 (1.2.3) t (124)式是电荷守恒定律的数学表达式,也称连续性方程。 注:所有的“流密度”的微现形式都是“密度*速度”如粒子流密度,能流密度,物 理意义均为单位时间单位面积通过的粒子数(能量、电荷等)守恒律的普遍表达形式(粒 子数守恒、能量守恒、)为 流痹度的散度+数痧度的变化率=0 在稳定电流情况下,由于=0,所以有ⅴ·了=0,电流密度的散度为0 从几何上意味着电流线在空间在何一点均没有源头,这表示稳恒条件下电流线是闭合无源 的。非稳恒时电流线的汇菜发款总是伴随着电荷的积累 2.安培定律(与库仑定律对比) 既然电流是磁场的来源,类比库仑定律,我们应考虑两个这样的基本单位(电 流元,定义为jdr,与pdr地位相仿)之间的作用力。若真空中的两个电流元jdr 和2dr2,则安培定律告诉我们2对1的作用力dF2为 dF=fo JdI x(idr XR2) (12.5) 其中R2=F一为2指向1的位置矢量。与库仑定律比较,我们可以看到 (1)电流元之间的相互作用力也服从平方反比律 (2)电流元之间作用力非向心力-磁场的散度及旋度行为与电场将截然不同! (3)电流元之问的相互作用力不满足牛顿的作用力与反作用力定律,即 dF2≠-dF1。(比如考虑右图的情况) 对这个问题的简单回应是因为实际上不可能存在稳定的电流元,实验所能测量 的只能是闭合回路的情况.考虑两闭合载流线圈,则2对1的作用力为 F=12 dl1×(al2×R12) Ri2 12

4 由于曲面S 是任意选取的，所以被积函数恒为零，即 j 0 t      （1.2.3） (1.2.4)式是电荷守恒定律的数学表达式，也称连续性方程。 注：所有的“*流密度”的微观形式都是“**密度 * 速度”，如粒子流密度，能流密度，物 理意义均为单位时间单位面积通过的粒子数（能量、电荷等）。守恒律的普遍表达形式（粒 子数守恒、能量守恒、…）为： 流密度的散度+数密度的变化率 = 0 在稳定电流情况下，由于 0 t    ，所以有 j 0  ，电流密度的散度为 0. 从几何上意味着电流线在空间任何一点均没有源头，这表示稳恒条件下电流线是闭合无源 的。非稳恒时电流线的汇聚/发散总是伴随着电荷的积累． 2．安培定律 (与库仑定律对比) 既然电流是磁场的来源，类比库仑定律，我们应考虑两个这样的基本单位（电 流元，定义为 jd  ,与 d 地位相仿）之间的作用力。若真空中的两个电流元 1 1 j d  和 2 2 j d  ，则安培定律告诉我们 2 对 1 的作用力 12 dF  为 0 1 1 2 2 12 12 3 12 ( ) 4 j d jd R dF R             （1.2.5） 其中 R12 1 2   r r    为 2 指向 1 的位置矢量。与库仑定律比较, 我们可以看到： (1) 电流元之间的相互作用力也服从平方反比律 (2) 电流元之间作用力非向心力 - 磁场的散度及旋度行为与电场将截然不同！ (3) 电流元之问的相互作用力不满足牛顿的作用力与反作用力定律，即 12 21 dF dF     。（比如考虑右图的情况） 对这个问题的简单回应是因为实际上不可能存在稳定的电流元，实验所能测量 的只能是闭合回路的情况．考虑两闭合载流线圈，则 2 对 1 的作用力为 1 2 012 1 2 12 12 3 12 ( ) 4 l l I I dl dl R F R              （1.2.6） I 1 I 2 F12 j 2 d 2 j 1 d 1

利用矢量公式团x(BxC)=BC-C(AB(非常有用,请牢记),可得 h2=均12 dl2(2·R2)R2(al2.l) 4丌 Ri2 491出5)a27 R,(dl 4丌 R2」4丌 0+-49足2=一 即闭合回路之间的相互作用力满足牛顿第三定律。然而我们对这个经典回答并不 满足,深思以后,至少有这样几个问题值得研究: 1)我们可以让一个电荷做匀速运动(速度<<光速)这样就制造出空间的一个电流元 j=qv(-vtx),这样两个匀速运动的电荷之间的磁力是什么? 2)它们两个的相互作用为什么不满足牛顿第三定律呢? 4,磁场 类比电场的定义,可定义磁场。将作用在电流元dr上的力写为 =1×B可 其中B(G)=dn2x为电流元dr2在F处产生的磁场。由叠加原理,对任 意的电流分布f(F),其在在产处产生的磁场为 B()=o(/(r)dr'xR (1.2.9) 4. R 函数B()称为磁感应强度纯粹是由于历史上的原因才不把它称为磁场强度)。上 式常称为Biot- Savart定律。 以速度v运动的电荷q产生的电流密度为j=qvδ(F-)(仅在ν<光速 时成立),因此其在B场中所受的力为 F= go(-vydrvxB=gixB (12.10) 若空间既有磁场又有电场,则总受力为 =q E +1× (1.2.11) 这就是描述带电粒子在空间既有电场又有磁场时的受力- Lorentz力

5 利用矢量公式 A( )( )( ) B C BC A C A B            （非常有用，请牢记），可得 1 2 2 1 12 1 2 012 2 1 12 12 2 1 12 3 3 12 12 012 012 12 2 1 2 1 3 12 12 012 12 2 1 3 21 12 ( )( ) 4 1 ( ) 4 4 ( ) 0 4 l l l l ll l l I I dl dl R R dl dl F R R II II R dl dl dl dl R R I I R dl dl F R                                                               （1.2.7） 即闭合回路之间的相互作用力满足牛顿第三定律。然而我们对这个经典回答并不 满足，深思以后，至少有这样几个问题值得研究： 1）我们可以让一个电荷做匀速运动（速度<<光速），这样就制造出空间的一个电流元 j   qv r vtx  ( )ˆ   ，这样两个匀速运动的电荷之间的磁力是什么？ 2）它们两个的相互作用为什么不满足牛顿第三定律呢？ 4．磁场 类比电场的定义，可定义磁场。将作用在电流元 1 1 j d  上的力写为 1 11 dF j d B r    ( )     (1.2.8) 其中 0 12 2 2 3 12 ( ) 4 R Br jd R          为电流元 2 2 j d  在r  处产生的磁场。由叠加原理，对任 意的电流分布 j( ') r   ，其在在r  处产生的磁场为 0 3 ( ') ( ) 4 jr d R B r R            (1.2.9) 函数 B( )r   称为磁感应强度(纯粹是由于历史上的原因才不把它称为磁场强度)。上 式常称为 Biot-Sarvart 定律。 以速度v  运动的电荷q 产生的电流密度为 j   qv r vtx  ( )ˆ    （仅在 v << 光速 时成立），因此其在 B  场中所受的力为 F q r vtx d v B qv B     ( )ˆ         (1.2.10) 若空间既有磁场又有电场，则总受力为 F qE v B         (1.2.11) 这就是描述带电粒子在空间既有电场又有磁场时的受力 - Lorentz 力

5.B(F)的散度 要完整理解矢量场的全部特征,须研究其散度和旋度。对比具有平方反比+ 径向的静电场,磁场为横向场,故可以预期B场的散度及旋度性质一定与静电 场相当不同。考虑散度性质,利用计算标势φ时采用的技巧,可将磁场改写为 B()=oio*r'ssuo(')x(v p)dr' nj(n)×(F)dr HoAX (12.12) R 4丌 (’) V×A R 其中|G)=[P)r为矢势,地位与电场的标势相对应。在上面第二行的 推导中,我们用到了矢量运算公式vx(ay)=(×ay+Vvxa以及()不依赖 于F的性质。因此, V·B(F)=V(V×A)=0 (12.13) 注意:尽管我们本节研究的是稳恒电流,此处的推导丝毫没有假设电流不依赖于时间。换 言之,若随时闻变化的电流产生的磁场仍由BS定律描述,则此时高斯定理仍成立。这条 性质在随后我们推广 Maxwell方程式到非稳态时有重要作用。 习题 7,1.8,1.9,1.14

6 5． B( )r   的散度 要完整理解矢量场的全部特征，须研究其散度和旋度。对比具有平方反比+ 径向的静电场，磁场为横向场，故可以预期 B 场的散度及旋度性质一定与静电 场相当不同。考虑散度性质，利用计算标势 时采用的技巧，可将磁场改写为 0 0 3 0 0 0 1 () ( ) ( ) ( ) 4 4 1 () ( ) () 4 4 ( ) 4 R B r jr d jr d R R j r jr d d R R j r d A R                                                            (1.2.12) 其中 0 ( ) ( ) 4 j r Ar d R            为矢势，地位与电场的标势相对应。在上面第二行的 推导中，我们用到了矢量运算公式     aa a         以及 j( ) r   不依赖 于r  的性质。因此， ( ) ( ) 0     Br A    （1.2.13） 注意：尽管我们本节研究的是稳恒电流，此处的推导丝毫没有假设电流不依赖于时间。换 言之，若随时间变化的电流产生的磁场仍由 B-S 定律描述，则此时高斯定理仍成立。 这条 性质在随后我们推广 Maxwell 方程式到非稳态时有重要作用。 习题 1.7，1.8，1.9， 1.14