第十七讲 上次课 ●似稳场(准静场, Quasi- static field) 忽略“位移电流项”≡忽略“辐射项 很多物理问题可以在这个近似下简化处理 似稳条件 场的时域变化足够慢:<m=2(金属中) 场的空间变化足够慢:R<< (介质中) 场的扩散 准静极限下,导电介质中的场满足扩散方程-(,B)V(B,E) 扩散系数反比于电导率。物理:自由电荷对电场有屏蔽效应,因而导电性能 越好,越会阻碍电场的扩散 趋肤效应 高频下电流分布在导线的表面,趋肤深度δ 第八章电磁波的传播 上一讲我们指出,当“准静条件”满足时,可以将“位移电流”项弃掉,亦 即将“辐射”项弃除,此时电磁能量完全被束缚在电荷、电流的附近。然而一般 情况下位移电流项不能忽略。当“位移电流”加上之后,电场、磁场就不再束缚 在电荷、电流的附近,在没有电荷、电流的自由空间也可以因为电磁场之间的相 互转化而存在—这种场存在的形式就是“电磁波”, Maxwe1l方程最伟大的预 言!从这一章开始,我们将进入电磁波这一神奇的世界。虽然电磁波原则上是 由电荷、电流“辐射”出来的,但我们将“电磁辐射”这部分内容推迟到第十二 章讨论。在本章及下一章中,我们将假设电磁场已经从“辐射源”中辐射出来 了,在这个基础上我们先研究在电磁波在不同介质中是如何传播的。这些电磁
1 第十七讲 上次课 似稳场（准静场，Quasi-static field） 忽略“位移电流项”== 忽略“辐射项”； 很多物理问题可以在这个近似下简化处理 似稳条件 场的时域变化足够慢： c （金属中） 场的空间变化足够慢： 2 R （介质中） 场的扩散 准静极限下，导电介质中的场满足扩散方程 --- 1 2 , , c HE HE t 扩散系数反比于电导率。物理：自由电荷对电场有屏蔽效应，因而导电性能 越好，越会阻碍电场的扩散。 趋肤效应 高频下电流分布在导线的表面，趋肤深度 2 c 第八章 电磁波的传播 上一讲我们指出，当“准静条件”满足时，可以将“位移电流”项弃掉，亦 即将“辐射”项弃除，此时电磁能量完全被束缚在电荷、电流的附近。然而一般 情况下位移电流项不能忽略。当“位移电流”加上之后，电场、磁场就不再束缚 在电荷、电流的附近，在没有电荷、电流的自由空间也可以因为电磁场之间的相 互转化而存在 --- 这种场存在的形式就是“电磁波”，Maxwell 方程最伟大的预 言！ 从这一章开始，我们将进入电磁波这一神奇的世界。虽然电磁波原则上是 由电荷、电流“辐射”出来的，但我们将“电磁辐射”这部分内容推迟到第十二 章讨论。 在本章及下一章中，我们将假设电磁场已经从“辐射源”中辐射出来 了，在这个基础上我们先研究在电磁波在不同介质中是如何传播的。 这些电磁
媒介包括电介质、金属中以及下一章介绍的波导等。 §8.1电磁波在非导电介质中的传播 考虑最简单的情形——在无限大的无源非导电的介质中的电磁波的传播行 为。此时麦克斯韦方程组为 V·D= B (8.1.1) Vx厅=2D 其中D=E,B=HH。假定介质均匀且暂时不考虑色散特性,则E,均为常数(色 散介质指的是ε,μ随频率变化的材料,我们随后讲述)。(8.1.1)是电磁场耦合 在一起的方程,不好求解,下面我们试图得到关于电场的方程。将第二条方程两 边作用V×,则有 VE+V(VE)=VX(VxE= avb=-HalE (8.1.2) 根据第一条方程,有V·E=0,则电场满足的方程为 式中
2 媒介包括电介质、金属中以及下一章介绍的波导等。 , j Quasi-static region wave propagation radiations §8.1 电磁波在非导电介质中的传播 考虑最简单的情形 --- 在无限大的无源非导电的介质中的电磁波的传播行 为。 此时麦克斯韦方程组为 0 0 D E B t B H D t (8.1.1) 其中 D EB H ; 。假定介质均匀且暂时不考虑色散特性，则 , 均为常数（色 散介质指的是 , 随频率变化的材料，我们随后讲述）。（8.1.1）是电磁场耦合 在一起的方程，不好求解，下面我们试图得到关于电场的方程。将第二条方程两 边作用 ，则有 2 EE E B E t tt （8.1.2） 根据第一条方程，有 E 0 ，则电场满足的方程为 2 2 2 2 1 E 0 v t (8.1.3) 式中
=1/ 基于同样的数学,我们发现磁场满足一样的方程 B=0 (8.1.5) v2 at 8.1.3)和(8.1.5)式是标准的波动方程。与大家在力学中学到的绳波所满足的 方程 (8.1.6) 相比,这里不同是:(1)场量是矢量,(2)传播方向不仅仅是向x方向。这给我 们计算带来了一些麻烦,但设定传播方向后,每一个场的分量来讲都是满足与绳 波一样的标量方程。考虑到(8.1.6)的解为U(x)=Acos(kx-on+g),推广到 电磁波的情形,则(8.1.3)和(8.1.5)的试解可以写为 E(,D_Eo 1)(B s k r-or+ p (8.1.7) 其中E,B,k,O,φ均为常数。代入(8.1.3)及(8.1.5)后发现试解(8.1.7)满 足方程,但k,o之间需满足关系式 整理可得 k k=± (8.1.8) (8.1.8)式是电磁波传播的色散关系,对波的传播性质有重要意义。 1射任何波动方程,我们首先要间的是它的色散关系(注意不要和本构关系混滑!),亦 即,颜率0(时城振动性质)与波矢k(空间域的振动性质)之间的关系。这是波的大部 分性质的基础,若色散关系相同,即使不同的波(如绳波和电磁波)也具有基本相似的性 质。往大了说,色散关系描述的其实是能量(射应于0)和动量(刷应k)之间的关系 2(81.7)式只是自由空闻波动方程的一种试解,你能想出其它形式的减解吗?
3 v 1 (8.1.4) 基于同样的数学，我们发现磁场满足一样的方程 2 2 2 2 1 B 0 v t （8.1.5） (8.1.3)和（8.1.5）式是标准的波动方程。与大家在力学中学到的绳波所满足的 方程 2 2 2 22 1 U x() 0 x vt （8.1.6） 相比，这里不同是：（1）场量是矢量，（2）传播方向不仅仅是向 x 方向。这给我 们计算带来了一些麻烦，但设定传播方向后，每一个场的分量来讲都是满足与绳 波一样的标量方程。考虑到（8.1.6）的解为 U x A kx t ( ) cos ，推广到 电磁波的情形，则（8.1.3）和（8.1.5）的试解可以写为 0 0 (,) cos (,) Ert E kr t Brt B （8.1.7） 其中 0 0 EBk , ,,, 均为常数。代入(8.1.3)及（8.1.5）后发现试解（8.1.7）满 足方程，但k, 之间需满足关系式 2 2 2 k 0 v 整理可得 2 2 2 k k v （8.1.8） （8.1.8）式是电磁波传播的色散关系，对波的传播性质有重要意义。 注： [1] 对任何波动方程，我们首先要问的是它的色散关系（注意不要和本构关系混淆！），亦 即，频率 （时域振动性质）与波矢 k （空间域的振动性质）之间的关系。这是波的大部 分性质的基础，若色散关系相同，即使不同的波（如绳波和电磁波）也具有基本相似的性 质。往大了说，色散关系描述的其实是能量（对应于 ）和动量（对应 k ）之间的关系！ [2] （8.1.7）式只是自由空间波动方程的一种试解，你能想出其它形式的试解吗？
我们对得到的电磁波的解讨论如下: (1)(8.1.7)式中的E,瓦代表振幅,(k,F-m+q)称为振动的相位。在给定时刻, 方程 k·F=常数 (8.1.9) 所定义的曲面上相位相等,波场E,B也就相同,这个曲面叫作等相位面。显然满 足(8.1.9)所定义的曲面为一平面,其垂直于k,故(8.1.7)所描述的波称为 平面波。还可能将试解(8.1.7)写成其他形式,如球面波或者是柱面波,分别 对应的等相位面为球面或者是柱面 (2)波长的定义为两个相位差为2m的等相位面之间的距离(因为在第2个平 面上,场量经过一个周期的振动回到第1个平面上的值)。显然 k·.A=2丌 即 k (8.1.10) k被称为波矢量 (3)波速等相位面的传播速度被称为波的相速度。设t时刻等相位面在r处, t+Mt时刻该等相位面垂直于k运动到r+Ar的位置,则有 kF-o+p=常数=k·(r+M)-o(t+△)+g 故相速度为
4 我们对得到的电磁波的解讨论如下： (1) (8.1.7)式中的 0 0 E , B 代表振幅，kr t 称为振动的相位。在给定时刻， 方程 k r 常数， (8.1.9) 所定义的曲面上相位相等，波场 E, B 也就相同，这个曲面叫作等相位面。显然满 足（8.1.9）所定义的曲面为一平面，其垂直于k ，故（8.1.7）所描述的波称为 平面波。还可能将试解（8.1.7）写成其他形式，如球面波或者是柱面波，分别 对应的等相位面为球面或者是柱面。 E k 等 相位面 (2) 波长 的定义为两个相位差为2 的等相位面之间的距离（因为在第 2 个平 面上，场量经过一个周期的振动回到第 1 个平面上的值）。显然 k 2 即 2 k (8.1.10) k 被称为波矢量。 (3) 波速 等相位面的传播速度被称为波的相速度。设 t 时刻等相位面在r 处， t t 时刻该等相位面垂直于 k 运动到r r 的位置，则有 kr t 常数 kr r t t ( )( ) ， 故相速度为
o/k (8.1.11) 1(NE-a (8.1.12) (8.1.12)式即是平面电磁被传播的速度,它与介质的性质有关,真空中有 n,=A,故"=l/√=A=c为光速,介质中的波速 =V(√√-c(V.)=cn,而=√、 |被定义为材料的折射 率。 注:此处折射率的定义与常规课本上略有不同,但其实更基本,因为它对E,分别大于 小于0四种情况均正确。关于E,均小于0的情况我们在后面还会分析 (4)频率/周期相邻两次振动之间的时间为周期7,单位时间内的振动次数为频 率E.在一个确定的位置处,场量随时间振荡,T是两个波峰之间的时间差。容 易求得:oT=2x→T=2x/o。则振动频率为∫ 1_。经常把O=2rf称 为角()颜率,把f称为线颜率。 (5)为了运算方便,常常把平面波写成复数形式,即 E(,1)(E (8.1.13) B(,1)(B (8.1.13)式仍然是波动方程的解,但因为场量必须为实数,我们应当只取其实 部。然而写成复数形式对许多计算要简便很多,因此在实际运算时经常采用,但 应当强调指出的是:只有实场才是有物理意义的场,复场只是为了计算方便!有 时把常数因子e并人振幅中,则 E6)-叫) B(, O)Bo 注意,这时振幅0已是复数。反之,当电磁波的振幅是复数时,它表示电磁
5 P r v k t ， (8.1.11) 或 vP 1 ， (8.1.12) (8.1.12)式即是平面电磁被传播的速度，它与介质的性质有关，真空中有 0 0 , ，故 0 0 1 P v c 为光速，介质中的波速 v c cn P rr 1/ / ，而 r r n 被定义为材料的折射 率。 注：此处折射率的定义与常规课本上略有不同，但其实更基本，因为它对 , 分别大于、 小于 0 四种情况均正确。关于 , 均小于 0 的情况我们在后面还会分析。 (4) 频率/周期 相邻两次振动之间的时间为周期 T，单位时间内的振动次数为频 率 f. 在一个确定的位置处，场量随时间振荡，T 是两个波峰之间的时间差。容 易求得：T T 2 2 / 。则振动频率为 1 2 f T 。经常把 2 f 称 为角（圆）频率，把 f 称为线频率。 (5) 为了运算方便，常常把平面波写成复数形式，即 0 0 (,) (,) Ert E ikr t e Brt B (8.1.13) (8.1．13)式仍然是波动方程的解，但因为场量必须为实数，我们应当只取其实 部。然而写成复数形式对许多计算要简便很多，因此在实际运算时经常采用，但 应当强调指出的是：只有实场才是有物理意义的场，复场只是为了计算方便！有 时把常数因子 i e 并人振幅中，则 0 0 (,) (,) Ert E ikr t e Brt B (8.1.14) 注意，这时振幅 0 0 E B 已是复数。反之，当电磁波的振幅是复数时，它表示电磁
波有相位因子。根据色散关系(8.1.8)可知,k取正负均可。因此, E=E (8.1.15) 也是波动方程的解。非常容易可以证明,(8.1.15)是电磁波沿反方向传播的解。 注,你会发现(8.1)式与E=E“)给出一样的实那,因而对应于完全一样的反向 传播的电磁波。射波的时间变化项,在物理 Community中我们规定为e,而IEE的 Community规定为e。 (6)因为(8.1.3)和(8.1.5)式是由麦克斯韦方程约化而来的,约化过程中方程 从一阶微分变成了二阶微分,因此它对应的解未必全都是原始 Maxwel1方程的 解。我们需要将所得的解(8.1.13)重新带回到原始 Maxwell方程做检査。带回 Maxwell方程组中的第1,3两条方程,我们发现场量必须满足 k·E0=0,k·B 这表明,电磁场振动的方向与传播方向k相互垂直(在等相面内),亦即一电磁 波是横波。同时带入方程 V×E B 得 XEo=OBo 8.1.17) 上式说明E,B间不独立。带入第四条方程V×H=EE可得到 k×H=-EE→kxBn=-8OE (8.1.18) 综合(8.1.17)-(8.1.18)得到结论:E,B和k组成右手定则,且,E,B之间 的模量满足 IEl=o Bol/k=v)Bol=cBo (8.1.19) 后面一个等式在真空中成立。进一步,可以得到另一个很重要的关系式 Eol=vuHo =E1Ho= Hol=Z ol (8.1.20) 其中z=2称为阻抗,具有电阻的量纲,是一个非常重要的物理量。折射率和
6 波有相位因子。根据色散关系（8.1.8）可知，k 取正负均可。因此， 0 i kr t E Ee (8.1.15) 也是波动方程的解。非常容易可以证明，（8.1.15）是电磁波沿反方向传播的解。 注：你会发现（8.1.15）式与 0 ikr t E Ee 给出一样的实部，因而对应于完全一样的反向 传播的电磁波。对波的时间变化项，在物理 Community 中，我们规定为 i t e ,而 IEEE 的 Community 规定为 i t e 。 (6) 因为(8.1.3)和（8.1.5）式是由麦克斯韦方程约化而来的，约化过程中方程 从一阶微分变成了二阶微分，因此它对应的解未必全都是原始 Maxwell 方程的 解。我们需要将所得的解（8.1.13）重新带回到原始 Maxwell 方程做检查。带回 Maxwell 方程组中的第 1，3 两条方程，我们发现场量必须满足 0 0 kE kB 0, 0 (8.1.16) 这表明，电磁场振动的方向与传播方向k 相互垂直（在等相面内），亦即 - 电磁 波是横波。同时带入方程 E B t 得 0 0 kE B (8.1.17) 上式说明 E B, 间不独立。带入第四条方程 H E t 可得到 0 0 kH E kB E （8.1.18） 综合（8.1.17）-（8.1.18）得到结论：E B, 和k 组成右手定则，且，E，B 之间 的模量满足 0 0 00 E B k vB cB / （8.1.19） 后面一个等式在真空中成立。进一步，可以得到另一个很重要的关系式 E v H H H ZH 0 0 0 00 （8.1.20） 其中 Z 称为阻抗，具有电阻的量纲，是一个非常重要的物理量。折射率和
阻抗是刻画电磁介质特性的最重要的2个量,他们各有各自不同的物理涵义,在 确定电磁波的特性方面起着不同的作用 (7)平面波的能流 S=EXH (8.1.21) 注意真实的场是(8.1.7),不能将复数场带入(8.1.21)式后再取实部,因为此 运算是非线性运算。故(8.17)式中的E,H都应取实部之后再代入 Sn(,t)=Re(E)×Re(H) (8.1.22) 上式表示的是能流的瞬时值。当电磁场随时间变化时,通常瞬时值没有意义,更 关心的对能流的时间平均值。对能流在一个周期内做时间平均, S)=( Re exreh=- S dt (8.1.23) 利用公式 Re ex Re/)1ae(E×H) (证明见习题8.1),得到 5)=2z,所k=2E5k (8.1.24) 同理,能量密度的时间平均值为 n(F)=(01)=(EE+)=E E (8.1.25) 非常容易从(8.1.25)中证明=2E2=H2=n,亦即,平面电磁波电场撐 带的能量和磁场携带的舵量相等!把(8.1.25)和(8.1.24)式比较,则得 eZ hi(r)v=u(r)v (8.1.26) (8.1.26)式有着清晰的物理图像——能流即为单位时间通过单位面积的能量 单位时间内电磁波传输l=ν×1的距离,因此单位时间内在体积为 92=1×1=y×1x1=v内的电磁波能量可以通过单位面积。故,能流=能量x速 度。这与电流密度=电荷密度×速度的物理来源完全一致。平面电磁波在 非导电介质中传播的情况如图8.1所示。一个重要的特征是E与B为同相位变
7 阻抗是刻画电磁介质特性的最重要的 2 个量，他们各有各自不同的物理涵义，在 确定电磁波的特性方面起着不同的作用。 (7) 平面波的能流 p S EH (8.1.21) 注意真实的场是（8.1.7），不能将复数场带入（8.1.21）式后再取实部，因为此 运算是非线性运算。故(8.17)式中的 E H, 都应取实部之后再代入： ( , ) Re( ) Re( ) p S rt E H （8.1.22） 上式表示的是能流的瞬时值。当电磁场随时间变化时，通常瞬时值没有意义，更 关心的对能流的时间平均值。对能流在一个周期内做时间平均， 0 1 Re Re T p p S E H S dt T (8.1.23) 利用公式 1 * Re Re Re 2 E H EH (证明见习题 8.1)，得到 2 2 0 0 1 1 ˆ ˆ 2 2 p S Z Hk Ek Z (8.1.24) 同理，能量密度的时间平均值为 2 22 0 00 1 1 () (,) 2 2 44 2 ur urt E E H H E H E (8.1.25) 非常容易从（8.1.25）中证明 2 2 0 0 4 4 E B u E Hu ，亦即，平面电磁波电场携 带的能量和磁场携带的能量相等！把(8.1.25)和(8.1.24)式比较，则得 1 ˆ ˆ () () () () p S r ku r ku r v u r v Z (8.1.26) (8.1.26)式有着清晰的物理图像 --- 能流即为单位时间通过单位面积的能量， 单位时间内电磁波传输 l v 1 的距离，因此单位时间内在体积为 lv v 1 11 内的电磁波能量可以通过单位面积。故，能流 = 能量 速 度。这与 电流密度 = 电荷密度 速度 的物理来源完全一致。平面电磁波在 非导电介质中传播的情况如图 8.1 所示。一个重要的特征是 E 与 B 为同相位变
化的,即它们同时达到最大值,又同时达到最小值。 图8.1 习题 P.204,8.1 补充题 (1)证明(8.1.25)式以及平面电磁波的电场能和磁场能的时间平均值相等 (2)计算真空的阻抗值 思考题 ●尝试在球坐标/柱坐标下解波动方程(8.1.3)
8 化的，即它们同时达到最大值，又同时达到最小值。 习题 P．204，8.1 补充题： （1） 证明（8.1.25）式以及平面电磁波的电场能和磁场能的时间平均值相等 （2） 计算真空的阻抗值 思考题 尝试在球坐标/柱坐标下解波动方程（8.1.3）
