均勻橢球形電介質在均勻外 場中的響應 09300190033 張大鵬
09300190033 張大鵬
方程和邊界條件 E 0 橢球方程為 2+ 1 a>b>c 方程 V2q1=0 q V2q2=0 邊界條件 q 2r→ 0 °φ1橢球表面=q2l橢球表面 ap q a1an|橢球表面=2an|椭球表面 原點 有限
橢球方程為 ◦ 𝑥2𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2𝑐2 = 1 ， 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 方程◦ 𝛻2 𝜑 1 = 0 ◦ 𝛻 2 𝜑 2 = 0 邊界條件 ◦ 𝜑2|𝑟→∞ = − 𝑬 𝟎 · 𝒓 ◦ 𝜑1|橢球表面 = 𝜑 2|橢球表面 ◦ 𝜀 1 𝜕 𝜑 1 𝜕𝑛 橢球表面 = 𝜀 2 𝜕 𝜑 2 𝜕𝑛 橢球表面 ◦ 𝜑 1|原點有限 𝑬 𝟎 𝜑2 𝜑 1
坐標系的選擇 直角坐標系? 邊界條件不好表示 廣義球坐標系? 不是正交坐標系 丶爲了邊界條件的簡單起見,求解定解問題一般選擇 邊界即為坐標縫的坐標系 丶橢球坐標系
直角坐標系？ ◦ 邊界條件不好表示 廣義球坐標系？ ◦ 不是正交坐標系 爲了邊界條件的簡單起見，求解定解問題一般選擇 邊界即為坐標綫的坐標系 橢球坐標系
橢圓坐標系 丶橢圓坐標系是二維坐標系 丶共焦點的橢圓和雙曲縫相互正交,它是正交坐標 系
橢圓坐標系是二維坐標系 共焦點的橢圓和雙曲綫相互正交，它是正交坐標 系
橢球坐標系 丶將橢圓坐標系做三位推廣,就可以得到橢球坐標系 (λ,,v),滿足>-c2>>-b2>v>-a2 變量λ的坐標面是橢球面 2 a2+b2+λc2+λ μ坐標面 變量μ的坐標面是單葉雙曲面 2 2 u C<tu v坐標面 丶變量ν的坐標面是雙葉雙曲面 λ坐標面 2 + a2+v b+v c+v
將橢圓坐標系做三位推廣，就可以得到橢球坐標系 𝜆, 𝜇, 𝜈 ，滿足𝜆 > −𝑐 2 > 𝜇 > −𝑏 2 > 𝜈 > −𝑎 2 變量𝜆的坐標面是橢球面 ◦ 𝑥 2 𝑎2+𝜆 + 𝑦 2 𝑏 2+𝜆 + 𝑧 2 𝑐 2+𝜆 = 1 變量𝜇的坐標面是單葉雙曲面 ◦ 𝑥 2 𝑎2+𝜇 + 𝑦 2 𝑏 2+𝜇 + 𝑧 2 𝑐 2+𝜇 = 1 變量𝜈的坐標面是雙葉雙曲面 ◦ 𝑥 2 𝑎2+𝜈 + 𝑦 2 𝑏 2+𝜈 + 𝑧 2 𝑐 2+𝜈 = 1 𝜆坐標面 𝜇坐標面 𝜈坐標面
橢球坐標系坐標變換關係 (a2+x)(a2+1)(a2+v x (a2-b2)(a2-c2) (b2+1)(b2+1)(b2+y) (b2-a2)(b2-c2) 2_(C2+1)(c2+)(c2+y) (c2-a2)(c2-b2) λ>-c2>1>-b2>y>-a2
𝑥 2 = 𝑎 2+𝜆 𝑎 2+𝜇 𝑎 2+𝜈 (𝑎2−𝑏2)(𝑎2−𝑐 2) 𝑦 2 = (𝑏 2+𝜆)(𝑏 2+𝜇)(𝑏 2+𝜈) (𝑏 2−𝑎2)(𝑏 2−𝑐 2) 𝑧 2 = (𝑐 2+𝜆)(𝑐 2+𝜇)(𝑐 2+𝜈) (𝑐 2−𝑎2)(𝑐 2−𝑏2) 𝜆 > −𝑐 2 > 𝜇 > −𝑏 2 > 𝜈 > −𝑎 2
度規因子 d ax 2 dy)2 az 2 g d 0 1/(-)(-v g元 2 S(λ) 1(-2)(u-V) 9u-2 S() 1(v-)(v-4) v S(v) 其中S(a)=(a2+σ)(b2+a)(c2+a)
𝑔𝜎 = 𝑑𝒓 𝑑𝜎 = 𝜕𝑥 𝜕𝜎 2 + 𝜕𝑦 𝜕𝜎 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝜎 2 ◦ 𝑔𝜆 = 1 2 (𝜆−𝜇)(𝜆−𝜈) 𝑆(𝜆) ◦ 𝑔𝜇 = 1 2 (𝜇−𝜆)(𝜇−𝜈) 𝑆(𝜇) ◦ 𝑔𝜈 = 1 2 (𝜈−𝜆)(𝜈−𝜇) 𝑆(𝜈) ◦ 其中𝑆 𝜎 = (𝑎 2 + 𝜎)(𝑏 2 + 𝜎)(𝑐 2 + 𝜎)
橢球坐標系下的 Laplace算子的形式 1 a/g2930l 9193 au (g19z0 9192g3Laq1( g1 aq1/aq2 g2 aq 3(g30q3 v 4 (-)(λ-v)(u-y) (=)√(a(√S(mx 0 +(x-y)-S()( S(u +(-p)√S(v) v 在這個問題中,分離變量法不能應用!
𝛻 2𝑢 = 1 𝑔1𝑔2𝑔3 𝜕 𝜕𝑞1 𝑔2𝑔3 𝑔1 𝜕𝑢 𝜕𝑞1 + 𝜕 𝜕𝑞2 𝑔1𝑔3 𝑔2 𝜕𝑢 𝜕𝑞2 + 𝜕 𝜕𝑞3 𝑔1𝑔2 𝑔3 𝜕𝑢 𝜕𝑞3 𝛻 2𝑢 = 4 (𝜆−𝜇)(𝜆−𝜈)(𝜇−𝜈) [ 𝜇 − 𝜈 𝑆(𝜆) 𝜕 𝜕𝜆 𝑆(𝜆) 𝜕𝑢 𝜕𝜆 + 𝜆 − 𝜈 −𝑆 𝜇 𝜕 𝜕𝜇 −𝑆 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝜇 + 𝜆 − 𝜇 𝑆 𝜈 𝜕 𝜕𝜈 𝑆 𝜈 𝜕𝑢 𝜕𝜈 ] 在這個問題中，分離變量法不能應用！
方程的解(利用疊加原理) 〉勻強電場產生的電勢為 Eo·r= 0 EoLx-e Eog 令 λ)(a2+)(a2+v) Ox a-C (b2+)(b2+u)(b2+v) oyy (b2-a2)(b2-c2) (C2+)(c2+1)(c2+y) q 〉極化電荷的電勢 °q1=q1x+q1y+q °q2=卯2x+q2y+q2z 總電勢 球内p1=甲+ q t oy t p t oz t 1z 球外p2=φ+q’2=qox+qzx+qoy+q2y+q0z+q22
勻強電場產生的電勢為 ◦ 𝜑0 = −𝑬𝟎 · 𝒓 = −𝐸0𝑥𝑥 − 𝐸0𝑦𝑦 − 𝐸0𝑧𝑧 令 ◦ 𝜑0𝑥 = −𝐸0𝑥𝑥 = −𝐸0𝑥 (𝑎2+𝜆)(𝑎2+𝜇)(𝑎2+𝜈) (𝑎2−𝑏 2)(𝑎2−𝑐 2) ◦ 𝜑0𝑦 = −𝐸0𝑦𝑦 = −𝐸0𝑦 (𝑏 2+𝜆)(𝑏 2+𝜇)(𝑏 2+𝜈) (𝑏 2−𝑎2)(𝑏 2−𝑐 2) ◦ 𝜑0𝑧 = −𝐸0𝑧𝑧 = −𝐸0𝑧 (𝑐 2+𝜆)(𝑐 2+𝜇)(𝑐 2+𝜈) (𝑐 2−𝑎2)(𝑐 2−𝑏 2) 極化電荷的電勢 ◦ 𝜑′1 = 𝜑′1𝑥 + 𝜑′1𝑦 + 𝜑′1𝑧 ◦ 𝜑′2 = 𝜑′2𝑥 + 𝜑′2𝑦 + 𝜑′2𝑧 總電勢 ◦ 球内𝜑1 = 𝜑0 + 𝜑 ′ 1 = 𝜑0𝑥 + 𝜑 ′ 1𝑥 + 𝜑0𝑦 + 𝜑 ′ 1𝑦 + 𝜑0𝑧 + 𝜑 ′ 1𝑧 ◦ 球外𝜑2 = 𝜑0 + 𝜑 ′ 2 = 𝜑0𝑥 + 𝜑′2𝑥 + 𝜑0𝑦 + 𝜑′2𝑦 + 𝜑0𝑧 + 𝜑′2𝑧
X方向電場激發的電勢φ1x和q2x 根據對稱性,設 °qp1x(λ,μ,v)=φox(λ,μ,y)F1(4) 2x (λ,μ,v)=φox(λ,p,v)F2(4) °φox,φ1x,φ'2x都滿足 Laplace方程 (-v)√S(2)0(S(9x+ 0λ 0λ S(D0(=s(m0) s(μ)0μ (-)S((s(20)=0 丶F1和F2將滿足同樣的方程,將他們記作F
根據對稱性，設 ◦ 𝜑′1𝑥 𝜆，𝜇，𝜈 = 𝜑0𝑥 𝜆，𝜇，𝜈 𝐹1 𝜆 ◦ 𝜑′2𝑥 𝜆，𝜇，𝜈 = 𝜑0𝑥 𝜆，𝜇，𝜈 𝐹2 𝜆 ◦ 𝜑0𝑥， 𝜑′1𝑥 ， 𝜑′2𝑥都滿足Laplace方程 𝜇 − 𝜈 𝑆 𝜆 𝜕 𝜕𝜆 𝑆 𝜆 𝜕𝜑0𝑥 𝜕𝜆 + 𝜆 − 𝜈 −𝑆 𝜇 𝜕 𝜕𝜇 −𝑆 𝜇 𝜕𝜑0𝑥 𝜕𝜇 + 𝜆 − 𝜇 𝑆 𝜈 𝜕 𝜕𝜈 𝑆 𝜈 𝜕𝜑0𝑥 𝜕𝜈 = 0 𝐹1和𝐹2將滿足同樣的方程，將他們記作𝐹