经向波函数r分别在r=0处收敛,r在r→∞时收敛。P(x)为 Legendre 多项式,低阶的几项为 (x)=1 P(r=x (446) P2(x)=(3x2-1) 本征函数之间满足如下正交关系 P(cos0)P (cos 0)d cos B (44.7) (2)与z无关的柱对称问题 对此类问题, Laplace方程的本征解为p"e,mn(p),1。因此其通解为 q=4+Blnp+∑(4,p+Bp-)cos(m)+∑Cnp+D,p")sin(np)(448) 本征函数之间的正交性为 cos(no)sin(no yo=0 (448) cos(no )cos(n'odo= sin(np)sin(n'oyo=0,n#n 下面,我们通过几个实例来介绍这种方法。为增强信心,先考虑一个简单的情形 I例4]一半径为R的接地导体球置于一均匀外场E中,求空间场的分布。 解:如图所示,取E方向为〓轴,这是一个绕〓轴旋转对称的问题。球外空 间没有电荷,电势在无穷远处趋向于均匀电场的电势,总的来说,电势满足 r=R(1) (449) q→>- E rcos6,r→(2)5 经向波函数 l r 分别在 r=0 处收敛， ( 1) l r   在r   时收敛。 ( ) P x l 为 Legendre 多项式，低阶的几项为 0 1 2 2 () 1 ( ) 1 ( ) (3 1) 2 ... P x Px x Px x            （4.4.6） 本征函数之间满足如下正交关系 ' ,' 2 (cos ) (cos ) cos 2 1 PPd l l ll l       （4.4.7） （2）与 z 无关的柱对称问题 对此类问题，Laplace 方程的本征解为 , ln( ), 1 n in e      。因此其通解为 0 0 1 1 ln ( )cos( ) ( )sin( ) nn n n nn n n n n  AB A B n C D n                   （4.4.8） 本征函数之间的正交性为 cos( )sin( ) 0 cos( )cos( ' ) sin( )sin( ' ) 0, ' n nd n n d n n d nn             （4.4.8） 下面，我们通过几个实例来介绍这种方法。为增强信心，先考虑一个简单的情形 [例 4] 一半径为 R 的接地导体球置于一均匀外场 E0  中，求空间场的分布。 解：如图所示，取 E0  方向为 z 轴，这是一个绕 z 轴旋转对称的问题。球外空 间没有电荷，电势在无穷远处趋向于均匀电场的电势，总的来说，电势满足 2 0 0 0 (1) cos , (2) r R Er r                ， （4.4.9）