故有包络条件为 F da =0 aF at .=0 则包络Σ的方程可表为 F (x,y,z,a,t)=0 o da F (x,y,z,a,t)=0 (1-2) 9F(x,y,z,a,t)=0 2.曲面族为参数式 设在坐标系S2中，曲面参数为(u,v)，双参数曲面族的参数式为 (x2=x2(u,V,a,t) {2a)}:{y2=y2(u,v,a,t) (1一3) z2=22(u,v,a,t) 向量方程为2)=2)(u,v,a,t) 若{Σa)的包络艺存在，则对于任意的(a,t),必有族中曲面2a与Σ在点 M(u,v)相切，也就是(u,v)由(a,t)唯一地决定，即 且88，}*0 u=u(a,t) (1一4) v=v (a,t) 满足(1一4)的点(u,v)都是Σ上的点(a,t),因此，包络Σ的向量方程为 2)=2)(u(a,t),y(a,t),a,t) (1-5) 由于过M点的2a与2的参数曲线的切向量Y:u,2v,2a,c2t都落在M点 的公切面上，则 第一、2)u×r2~⊥2a,2u×02y⊥2北。有包络条件为 f（u2u,c2y,2a)=0 1（02u,02y,2t)=0 (1-6) 第二、2a×:2t⊥广2)u,c2a×2tLr2y,同样有包络条件为 (r2a,2t,2u)=0 (rf2a,2,f(2v)=0 (1一7) 由(1一5)可得 ra=n8般+y88+3a da (1-8) 2=(2)u+2yy+2 :果令 132故有包络条件为 ” ” 一日口一 己， ， 、 则包络玄的方程可 表为 ， ， ， ， 口 口 ， ， ， ， 二 一 口 。 ， 于 一 气 ， ， ， ， ‘、 一艺 曲面族为参擞式 设 在坐 标系 中 ， 曲面参数为 ， ， ， ， 双参数曲面族的参数式为 ， ， ， ， ， ， 一 、护 ，﹄‘， 一一 艺 ， ， 向量 方程为 宁 飞于 “ 〕 ， 下 、少一了、、了 矛 ‘ ︸吞、 若 艺川 的包络玄存在 ， ， 相切 ， 也就是 ， ， ， 则对于任意的 ， ， 必 有 族 中 曲 面 艺 与 艺在 点 由 唯一 地决定 ， 即 ， 且 ， ， 口 一 一 诊矛 满足 一 的点 ， 都是艺上的点 ， ‘ 、声，八 钾 节 节〔 吕 ， ， ， 住 ， 因此 ， 包络玄的向量 方程为 一 由于 过 点的艺。 与艺的参数 曲线的切 向量 宁 ” ， 一 护 ‘ ’ ， 打 艺 ’ ， 节“ ” 都落在 点 的公切面上 ， 则 第一 、 犷‘ ” 了 ‘ ” 、 一 宁 ” ， 犷〔 ‘ ’ 节“ ’ 一 节 ” 。 有包络条件为 ‘夕 ’ ， 了 ， ， 节 “ 节 、 “ 〕 ， 犷 ，多 〕 ， 节 ’ 二 一 月 第二 、 一宁〔 ’ 义 一 ‘ ， ’ 土广 ’ ’ ， 扩 ·， ’ 字 ’ 一 ‘ ’ ， 同样有包络 条件为 犷‘ ’ ， 扩‘ ’ ， 犷 ’ 犷 ’ ， 犷 ， 一 钧 一 可 得 犷 节 、 〔 〕 · 器 、 · 言二、 《 一鬓 一 。 · 瓮 扩 ’‘ 一 产巨 ‘、 如果 令 了