《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 a.t产(a0,-夏m 解，令04一受1分则=0m有在反雨数。且 √2-a=a小sec=asect,=asec2h,从而 ∫产ow=-j=mC 由图2.3知 x-a sect=a +c-mk++c 这里C=C'-lna。 总结例2.19~2.21，有如下规律： (1)若被积函数含有V匠- ，一般令x=asint或x=acos1 (2)若被积函数含有VR-G,一般令x=as0c或r=acsc1 (3)若被积函数含有F+石，一般令x=aan或x=acott 2、无理代换 若被积函数是，.，的有理式时，设n为n,≤1≤k)的最小公倍数 作代换1=乐，有x=1”,=m-d.可化被积函数为1的有理函数。 例2、计算Jri+2a 标为了去掉被积函数的根式。令1=下五，即作变量代换-≥0 则=d边，从而 j2陆r-r-jrg写引+c 11 《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 11 例 21、计算 2 2 dx a x +  （ a  0 ） 2 2 x a a t a t − = = sec sec , 解：令 tan , , 2 2 x a t t   = −   则 x a t = tan 存在反函数。且 2 2 x a a t a t − = = sec sec , 2 dx a tdt = sec ，从而 2 2 dx a x +  = 1 2 sec sec ln sec tan sec a t dt tdt t t C a t  = = + +    由图 2.3 知 sect= 2 2 x a a − tan x t a = 所以 2 2 dx a x +  = 2 2 2 2 ln ln x a x C x x a C a a + + + = + + +  这里 C C a = −  ln 。 总结例 2.19～2.21，有如下规律： （1）若被积函数含有 2 2 a x − ，一般令 x a t = sin 或 x a t = cos （2）若被积函数含有 2 2 x a − ，一般令 x a t x a t = = sec csc 或 （3）若被积函数含有 2 2 x a + ，一般令 x a t x a t = = tan cot 或•• 2、无理代换 若被积函数是 n n nk x , x , , x 1 2  的有理式时, 设 n 为 n (1 i k) i   的最小公倍数, 作代换 n t = x , 有 x t dx nt dt n n 1 , − = = . 可化被积函数为 t 的有理函数. 例 22、计算 x xdx 1 2 +  解：为了去掉被积函数的根式，令 t x = +1 2 ，即作变量代换 ( ) 1 2 1 , 0 2 x t t = −  则 dx tdt = ，从而 x xdx 1 2 +  = ( ) ( ) 1 1 2 4 2 1 2 2 t t tdt t dt t dt −  = −    = 5 3 1 2 5 3 t t C     − +  