《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 所以小G-号sn子+匠C a 2 aa gm子5FF+c (2)正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如√x2-a2(a>0)的根式施 行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sec21-1=g21,令x=asec1, 有√2-a2=ag,k=xsec1~1g1d.变量还愿时，常用辅助三角形法. 例20、计算F-后 (a>0) 解令0e学1号号1K时.a0存在反漏散m后】 “a。这里仅讨论 0<1c号的情机，同法可时论子1<” 的情况。 由于0c1受0c号，F-7=an=aimi=amc,从而 ∫石产可ar=h=e+m+( 由图2.2知， tant=a a a,所以 e a =nk+F-a+C这里C=C-ha 图2 (3)正切代换：正切代换简称为“切换”.是针对型如V2+不(a>0)的根式施行 的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sCc21-1g21=1,即1+g21=sCc21, 令x=g,本=asec2d.此时有+r=asec41=amcg后变量还原时，常用所 谓辅助三角形法。《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 10 所以 2 2 a x dx −  = 2 2 2 2 arcsin 2 2 a x a x a x C a a a − +  + = 2 2 2 arcsin 2 2 a x x a x C a + − + （2）正割代换：正割代换简称为“割换”. 是针对型如 2 2 x − a (a  0) 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec 1 , 2 2 t − = tg t 令 x = asect, 有 , 2 2 x − a = atgt dx = x sec t tgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例 20、计算 ( ) 2 2 0 dx a x a  −  解“令 sec , 0 sec 2 2 x a t t t x a t   =     = 当 或 时，  存在反函数 arcsin x t a = 。这里仅讨论 0 2 t    的情况，同法可讨论 2 t     的情况。 由于 0 2 t    0<t< 2  ， 2 2 x a a t a t dx a t tdt − = = = tan tan , tan sec ，从而 2 2 1 tan sec tan dx a t tdt a x a t =  = −   sec ln sec tan tdt t t C = + +  由图 2.2 知， 2 2 sec tan x x a t t a a − = = ，所以 2 2 2 2 ln dx x x a C a x a a − = + +  −  2 2 = + − + ln x x a C 这里 C C a = −  ln （3）正切代换： 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 2 2 a + x (a  0) 的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec 1, 2 2 t − tg t = 即 1 sec , 2 2 + tg t = t 令 x = atgt, dx a tdt 2 = sec . 此时有 sec , 2 2 a + x = a t . a x t = arctg 变量还原时, 常用所 谓辅助三角形法