《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 ∫f(x=∫f[p()]' 若 上 式 右 端 的 不定 积 分 ∫f[p()]p'()d=F0+c (4) 容易求出，那么再代回原来的变量=p(),便求出原不定积分 ∫f(x=F[p'(x)]+C 由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换x=0),从而使式(4)的不定 积分容易求出。那么如何选择变换x=0呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积 函数中有根式，一般选择适当的变换=0来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积 分容易求出。 常用代换有所谓无理代换，三角代换，双曲代换，倒代换，万能代换，ulr代换等 以下我们着重介绍三角代换和无理代换。 1、三角代换 (1)正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如√a2-x2(a>0)的根式施 行的，目的是去掉根号.方法是：令x=asm1,(a>0),则 =acos1,ds=acostdlt,arcsin 例19、计算∫匠-在a>0 解，令as4-号1号则=n后-a≤x50,且 N后-F==acos1,k=os,从而 j后-h.J小oso=afcos2d=j0+cos2h g引+n2c-号+号1+c 由图2.1知 cos1=a- a- 图2. 《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 9 f x dx f t t dt ( ) =     ( ) ( )     若 上 式 右 端 的 不 定 积 分 f t t dt F t C     ( ) ( ) = + ( )    （4） 容易求出，那么再代回原来的变量 ( ) 1 t x  − = ，便求出原不定积分 ( ) ( ) 1 f x dx F x C  − = +      由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理 8.5 条件的变换 x t = ( ) ，从而使式（4）的不定 积分容易求出。那么如何选择变换 x t = ( ) 呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积 函数中有根式，一般选择适当的变换 x t = ( ) 来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积 分容易求出。 常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等. 以下我们着重介绍三角代换和无理代换. 1、三角代换 （1）正弦代换：正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 2 2 a − x (a  0) 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 x = asin t, (a  0) , 则 cos , 2 2 a − x = a t dx = a costdt, arcsin . a x t = 例 19、计算 ( ) 2 2 a x dx a −  0  解：令 sin , , arcsin , 2 2 x x a t t t a x a a   = −   = −   则 ，且 2 2 a x a t a t dx a tdt − = = = cos cos , cos , 从而 2 2 a x dx −  = ( ) 2 2 2 cos . cos cos 1 cos 2 2 a a t a tdt a tdt t dt = = +    = 2 2 2 1 sin 2 sin cos 2 2 2 2 a a a t t C t t t C     + + = + +   由图 2.1 知 2 2 sin cos x a x t t a a − = =