《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题：P188-1891(1)~(24): 二、第二类换元法 从积分∫cos21d出发，从两个方向用凑微法计算，即 小-二-m27dsn1=josh-+eas2h=+n2+c, 在式(1)中，如果()连续可微且(y)定号，式(2.)中左端的不定积分 Jf[o(x)lo(x)dx=F(x)+C 容易求得，并且=p()是！=()的反函数，则式(2)右端的不定积分 ∫/恤=F['(]+C。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理8.5（第二换元积分法）：设()是连续函数，（冈是连续可微函数，且(）定号， 复合运算f[o(]有意文。设F0是f[]o'0的一个原函数， 即∫r[p)aodh=F0+c 则 ∫f本=f[]o'0dww.F[o(]+c (3) 其中。'()是)的反函数 正明：有定理假设（四定号，故函数0存在反函数9（四，又 r9-ooi0 tu小四-w-0pnol （[0]lre=f 可见F[9(】是式(3)左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式(3)成立. 第二换元积分法指出，求式(3)左端不定积分，作变量代换水=00，从而 f)=f[,本=p0d,于是《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 8 形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题：P188—189 1（1）～(24)； 二、第二类换元法 从积分  tdt 2 cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即   − ==== − = x dx td t x t 1 1 sin sin 2 sin 2 = tdt  2 cos =  + = + sin 2 + , 4 1 2 1 (1 cos 2 ) 2 1 t dt t t c 在式（１）中，如果   ( x x )连续可微且 ( )定号，式(2.1)中左端的不定积分 f x x dx F x C     ( ) ( ) = + ( )    容 易 求 得 ， 并 且 ( ) ( ) 1 x u u x   − = = 是 的反函数 ，则式（ 2 ） 右 端 的 不 定 积 分 ( ) ( ) 1 f u du F x C  − = +      。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理 8.5（第二换元积分法）:设 f x( ) 是连续函数，  ( x) 是连续可微函数，且 ( x) 定号， 复合运算 f t    ( )   有意义。设 F t( ) 是 f t t     ( ) ( )   的一个原函数， 即 f t t dt F t C     ( ) ( ) = + ( )    则 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 1 t x f x dx f t t dt    − = =        = ( ) 1 F x C  −   +   （3） 其中 ( ) ( ) 1   x t − 是 的反函数。 证明：有定理假设 ( x) 定号，故函数  (t) 存在反函数 ( ) 1  u − ，又 ( ) ( ) ( ) dF t f t t dt =       于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 t x d dt dF t F x f t t dx dt dx t      − − =       = =                   ( ) 1 t x  − = = ( ( ) ) ( ) 1 ( ) t x f t f x   − =   =   可见 ( ) 1 F x  −     是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立。 第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换 x t = ( ) ，从而 f x f t dx t dt ( ) = =     ( ) , ( )   ，于是