《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 x2.y2 解川后t若t三t 有”州 后t话-音 联可药即后后址音感」 所以1=3x5rabc=gabc. 三、三重积分换元法 设变换T:x=xu,yw),y=uw),=u,yw)把m空间中的区域V 一对一地映成空间中的区域V,并设函数x=xu,w),y=私，W), :=u,戊W)及它的偏导数在区域P”内连续且行列式 Ju,y,w)=6uan≠0，(u,w)eV' 则∬在恤t∬exe-e,wh ,(4) 其中，y在V上可积 (一)、柱面坐标变换 如下图所示《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4 例 2 求          + + V dxdydz c z b y a x 2 2 2 2 2 2 ，其中 V 为 1 2 2 2 2 2 2 + +  c z b y a x . 解 I =  V dxdydz a x 2 2 +  V dxdydz b y 2 2 +  V dxdydz c z 2 2 ， 而  V dxdydz a x 2 2 =   − a a Rx dx dydz a x 2 2 ，而 Rx 为区域： 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y +  − ,即 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2          − +         − a x c z a x b y ，其面积为         − 2 2 1 a x bc ，故  V dxdydz a x 2 2 = dx a x bc a x a a         −  − 2 2 2 2  1 = abc 15 4 ， 同样可得  V dxdydz b y 2 2 =  V dxdydz c z 2 2 = abc 15 4 ， 所以 4 4 3 15 5 I abc abc =  =   . 三、三重积分换元法 设变换 T ：x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z = z(u,v,w) 把 uvw 空间中的区域 V 一对一地映成 xyz 空间中的区域 V ，并设函数 x = x(u,v,w)， y = y(u,v,w)， z = z(u,v,w) 及它的偏导数在区域 V 内连续且行列式 J(u,v,w)= w z v z u z w y v y u y w x v x u x                    0 , (u,v,w) V , 则 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ( ) ( ) ( )) ( )  V f x u,v,w , y u,v,w ,z u,v,w J u,v,w dudvdw ，（4） 其中 f (x, y,z) 在 V 上可积． （一）、柱面坐标变换 如下图所示