《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 x=rcos0,0≤1<+∞ y=rsm0,0≤0≤2π 变换T:=, -0<<+o cos0 -rsin0 0 rcose 0 J8,)=0 0 按(4)式 ∬f,y=kdt∬f(cos0,rsm0,tnat 这里V'为V在柱面坐标变换下的原象 在柱面坐标中： r=常数，是以：轴为中心轴的圆柱面： 0=常数，是过：轴的半平面： :=常数，是垂直于：轴的平面。 若V在平面上的投影区域D,即V=《怎y非(，川5S:,(,以川eD时 (y) ∬f,y杰t∬dk,.址 Gy） 其中二重积分部分应用极坐标计算 3计室顶2+h ，其中V是由曲面2+y少）=：与：=4为界面 的区域 解V在平面上的投影区域D为2+少≤2 旷6+yrkt∬r'drdak 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 变换 T ：      = −    + =   =   + z z z y r x r t , sin , 0 2 cos , 0     ， J(r,z)= 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0     r − r = r ， 按（4）式 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( )  V f r cos,rsin ,z rdrddz ， 这里 V 为 V 在柱面坐标变换下的原象． 在柱面坐标中： r =常数，是以 z 轴为中心轴的圆柱面；  =常数，是过 z 轴的半平面； z =常数，是垂直于 z 轴的平面． 若 V 在平面上的投影区域 D ，即 V = (x, y,z)z1 (x, y)  z  z2 (x, y),(x, y)D 时 ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ) ( ) ( ) dxdy f x y z dz D z x y z x y   , , 2 1 , , ， 其中二重积分部分应用极坐标计算． 例 3 计算 ( )  + V x y dxdydz 2 2 ，其中 V 是由曲面 (x + y ) = z 2 2 2 与 z = 4 为界面 的区域． 解 V 在平面上的投影区域 D 为 2 2 2 x + y  ( )  + V x y dxdydz 2 2 =  V r drddz 3 =    =    2 0 2 0 4 2 3 2 3 8 r d dr r dz