《数学分析》下册 第二十一章二重积分】 海南大学数学系 (二)、球坐标变换 x=rsm0c0sB,0≤1<+a0 y=rsin osin 0,0s0s27 变换T:(=rcos,. 0≤0≤T sin pcose -rcosocos -rsin osin sin opsin rcososin 0 rsin ocose J(r,o.0)coso -rsin o 0 l=r'sno 变换公式为： ∬kyh证 (rsincossnsncsin rdod 在球面坐标中： r=常数，是以原点为中心的球面 日=常数，是过：轴的半平面， =常数，是以原点为顶点，以：轴为中心轴的圆锥面。 当P"=,p,a,)sr≤5，a回sp≤，0a≤0≤P时. .o.roma 例4求由圆锥体：之+少c0B和球体 x2+y2+(e-a}≤a所确定的立体体积，其中 B引和a>0为常数 解球面方程2+y2+-a=a2在球坐标系 下表示为=2 acosp, 圆锥面：=+少cotB在球坐标系下表示为 o=B. V'={,p,Bl0≤r≤2 acosp,.0≤p≤B,0≤0≤2π}.《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 6 （二）、球坐标变换 变换 T ：      =   =   =   +          cos , 0 sin sin , 0 2 sin cos , 0 z r y r x r t ， J(r,, )= cos sin 0 sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin               r r r r r − − − = sin  2 r ， 变换公式为： ( )  V f x, y,z dxdydz = f (r   r   r )r drdd V sin cos , sin sin , cos sin 2   在球面坐标中： r =常数，是以原点为中心的球面  =常数，是过 z 轴的半平面．  =常数，是以原点为顶点，以 z 轴为中心轴的圆锥面． 当 V = (r,, )r1 (, )  r  r2 ,1 ( )  2 ( ),    时, ( )  V f x, y,z dxdydz = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d f r r r r dr r r                   sin cos , sin sin , cos sin 2 , , 2 1 2 1 2 1    . 例 4 求由圆锥体 cot  2 2 z  x + y 和球体 ( ) 2 2 2 2 x + y + z − a  a 所确定的立体体积，其中        2 0,   和 a  0 为常数． 解 球面方程 ( ) 2 2 2 2 x + y + z − a = a 在球坐标系 下表示为 r = 2a cos ， 圆锥面 cot  2 2 z = x + y 在球坐标系下表示为  =  ， V = (r,, )0  r  2acos,0   ,0   2