2特征函数 母函数有很好的性质,但是也有很大限制。考虑母函数的期望形式,我 们定义下面的特征函数 定义对任一随机变量,称 f(t=E(e x<t< 为X的特征函数 对任意的随机变量X以及实数t,都有 f(t)=|E(e)≤Ele 故任意随机变量的特征函数f(t)都存在,是实变复值的 特征函数有以下性质 (1)f(0)=1,|f(t)|≤1,f(-t)=f(t) (2)f(t)一致连续 (3)若X与Y相互独立,则∫x+y(t)=fx(t)·fy(t) (4)若X有k阶矩,则fx(1)是k阶可微的,且f()=E( Keitt (5)如果X的特征函数为fx(t),则a+bX的特征函数为 fa+bx(t)=efx(at) (6)f(t)是非负定的,即对任意的正整数n及任意的实数t1,……,tn与 复数A1,…,An,总有 ∑∑f(k-t4)Ax≥0. k=l j 下面看几个常用函数的特征函数 (1)两点分布 根据定义,两点分布的特征函数为Ch5 1 §2 ￾✂✁✂✄✂☎ ✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡✂☛✂☞✍✌✏✎✒✑✍✓✍✔✍✟✍✠✍✕✂✖✍✗✏✘✚✙✍✛✍✆✍✝✂✞✍☛✍✜✍✢✍✣✍✤✏✎✒✥ ✦✂✧✂★✂✩✂✪☛✂✫✂✬✂✝✂✞✭✘ ✮✂✯ ✰✂✱✂✲✂✳✂✴✂✵✂✶✎✸✷ f(t) = E(eitX ), −∞ < t < ∞ ✹ X ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✺✘ ✰✂✱✂✻☛✳✂✴✂✵✂✶ X ✼✂✽✂✾✞ t ✎✸✿✂✟ |f(t)| = |E(eitX )| 6 E|e itX | = 1. ❀✱✂✻✂✳✂✴✂✵✂✶☛✂✫✂✬✍✝✍✞ f(t) ✿✂❁✂❂✺✎✸✓✾✵✂❃✍❄☛✭✘ ✫✂✬✂✝✂✞✂✟✼✩☞✂✌✭❅ (1) f(0) = 1, |f(t)| 6 1, f(−t) = f(t). (2) f(t) ✲✂❆✂❇✂❈✘ (3) ❉ X ❊ Y ❋✂●✂❍✂■✎✸❏ fX+Y (t) = fX(t) · fY (t) ✘ (4) ❉ X ✟ k ❑▼▲✎◆❏ fX(t) ✓ k ❑▼❖▼P☛✺✎◆◗ f (k) X (t) = E(i kXk e itX ) ✘ (5) ❘✂❙ X ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✹ fX(t) ✎✸❏ a + bX ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✹ fa+bX (t) = e itbfX(at). (6) f(t) ✓✂❚✂❯✧☛✭✎❲❱✰✍✱❳✻☛✍❨❳❩✍✞ n ✽ ✱✂✻☛✾✞ t1, · · · ,tn ❊ ❃✞ λ1, · · · , λn ✎✸❬✂✟ Xn k=1 Xn j=1 f(tk − tj )λkλj > 0. ✩✂✪✂❭✂❪✂❫✂❴✂❵✝✂✞✂☛✂✫✍✬✂✝✍✞✭✘ (1) ❛✂❜✂❝✂❞ ❡✂❢✧✂★✎ ❛✂❜✂❝✂❞☛✂✫✍✬✍✝✂✞✹ f(t) = pe it + q. 1