于是,可以推出二项分布B(n,p)的特征函数为 +q (2) Poisson分布 f(t)=>e he ex=ei A(e-1) k! k=0 (3)正态分布 先求标准正态分布N(0,1)的特征函数 f(t) 于是,对一般的正态分布,X~N(,),由上面的性质6可知X的特 征函数为 特征函数之所以称为特征函数,是因为从分布函数F(x)到相应的特征 函数f(1)的变换是一映射。也就是说,两个不同的分布函数对应的特征函 数也是不同的。于是,给定了f(t)之后,分布函数F(x)也唯一确定了。从 f(t)到F(x)的公式如下 F()-F(a)⊥mp f(t)dt, 其中a<b都是F(x)的连续点 §3几种收敛 对于一族分布或一族随机变量,容易想到它们是否有极限,有什么意义 下的极限。如果有,极限是否还是一个分布函数。接下来就要讨论这个问题Ch5 2 ❣✓✺✎ ❖✂✼✂❤❥✐❧❦✂♠✍❝✂❞ B(n, p) ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✹ f(t) = (pe it + q) n . (2) Poisson ❝✂❞ f(t) = X∞ k=0 e itk · λ k k! e −λ = X∞ k=0 (λe it) k k! e −λ = e λ(e it−1) . (3) ❨✂♥❝✂❞ ♦✂♣✂q✂r❨✂♥❝✂❞ N(0, 1) ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✺✘ f(t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e itxe − x 2 2 dx = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e − (x−it) 2 x e − t 2 2 dx = e − t 2 2 . ❣✓✺✎ ✰✂✲✂s☛✂❨✍♥❝✍❞✎ X ∼ N(µ, σ) ✎✉t❧✈✪☛✂☞✂✌ 6 ❖✂✇ X ☛✂✫ ✬✂✝✂✞✹ f(t) = e iµt− 1 2 σ 2µ 2 . ✫✂✬✂✝✂✞✂①✂②✼✷✹✫✂✬✍✝✍✞✭✎✒✓④③✹✍⑤❝✂❞✝✍✞ F(x) ⑥✂❋✂⑦☛✂✫✂✬ ✝▼✞ f(t) ☛✵▼⑧✓✲▼✲▼⑨✂⑩✘❶✔✂❷✂✓✂❸✭✎ ❛ ❫✂❹❥❺☛❝✂❞✝✂✞✰ ⑦ ☛✂✫✂✬✂✝ ✞✂✔✂✓❹❥❺☛✏✘ ❣✓✏✎❼❻✧✍❽ f(t) ①✂❾✭✎ ❝✂❞✝✂✞ F(x) ✔✂❿✲✂➀✧✂❽ ✘ ⑤ f(t) ⑥ F(x) ☛✂➁✂✤❘✩❅ F(b) − F(a) = 1 2π lim T→∞ Z T −T e −ita − e −itb it f(t)dt, ➂❥➃ a < b ✿✂✓ F(x) ☛❇✂❈❜ ✘ §3 ➄✂➅✂➆✂➇ ✰❣✲✂➈❝✂❞✂➉✲✂➈✂✳✂✴✂✵✂✶✎✸➊✂➋✍➌⑥✍➍✦✓✂➎✍✟✂➏✍✖✭✎✸✟✂➐✍➑✻★ ✩☛▼➏▼✖➒✘ ❘▼❙✟✺✎➓➏✂✖✂✓✂➎▼➔✂✓✲❫ ❝✂❞✝✂✞✺✘➓→✩✂➣❷✂↔✂↕▼➙✂➛❫➝➜❧➞✘ 2