定义对于分布函数列{Fn},如果存在一个函数F,使得 lim Fn(a)=F(a) 对F的每一个连续点都成立,则称Fn(x)依分布收敛(弱收敛)于F(x),记 作Fn 关于弱收敛,有下面的结论 连续性定理 设分布函数列Fn(x)依分布收敛于某一分布函数F(x),则相应的特征 函数列fn(t)收敛于f(t),且在t的一个有限区间内是一致收敛的 设特征函数列fn(t)收敛于某一函数∫(t),且f(t)在t=0处连续,则 相应的分布函数列F(x)依分布收敛于某一分布函数F(x),且f(t)是F(x) 的特征函数 对于随机变量,有以下几种收敛 (1)依分布收敛 称随机变量列Xn依分布收敛到X,如果相应的分布函数Fn(x)依分布 收敛到F(x).记作Xn→→X (2)依概率收敛 称随机变量列Xn依概率收敛到X,如果对任意的ε>0,都有 lim P(IXn-X>a=0 记作XnPX (3)几乎处处收敛(几乎必然收敛,概率1收敛) 称随机变量列Xn几乎处处收敛到X,如果 P(lim Xn=X)=l n→o 记作XnX (4)r阶矩收敛 称随机变量列Xn收敛到X,如果 im‖Xxn-Xllr=0 记作Xn一→XCh5 3 ✮✂✯ ✰❣❝✂❞✝✂✞✂➟ {Fn} ✎ ❘✂❙❁✂❂✲❫✝✂✞ F ✎✸➠✂➡ limn→∞ Fn(x) = F(x) ✰ F ☛▼➢✲❫❇▼❈❜✿✂➤■ ✎➥❏✂✷ Fn(x) ➦▼❝▼❞▼➧▼➨➫➩➯➭✂➧✂➨➳➲ ❣ F(x) ✎❶➵ ➸ Fn w−→ F ✘ ➺❣ ➭✂➧✂➨✎✸✟✩✂✪☛✂➻✍➙✏❅ ➼✂➽✂➾✂✮✂➚❅ ➪❝✂❞✝✂✞✍➟ Fn(x) ➦✂❝✂❞✂➧✂➨❣✍➶✲ ❝✍❞✝✍✞ F(x) ✎➹❏❋✂⑦☛✍✫✍✬ ✝✂✞✂➟ fn(t) ➧✂➨❣ f(t) ✎✸◗✂❂ t ☛✲❫✟✂✖❥➘✂➴✂➷❧✓✲✍❆➧✍➨☛✭✘ ➪✫✂✬✂✝✂✞✂➟ fn(t) ➧✂➨❣✂➶✲✝✂✞ f(t) ✎✒◗ f(t) ❂ t = 0 ➬❇✂❈✎✒❏ ❋▼⑦☛❝▼❞✝✂✞✂➟ Fn(x) ➦▼❝▼❞▼➧▼➨❣✂➶✲ ❝✂❞✝✂✞ F(x) ✎➮◗ f(t) ✓ F(x) ☛✂✫✂✬✂✝✂✞✺✘ ✰❣✳✂✴✂✵✂✶✎✸✟✼ ✩✂❪✍➱➧✂➨❅ (1) ➦✂❝✂❞✂➧✂➨ ✷✳▼✴▼✵▼✶➟ Xn ➦▼❝▼❞▼➧▼➨▼⑥ X ✎ ❘▼❙▼❋▼⑦☛❝✂❞✝✂✞ Fn(x) ➦▼❝▼❞ ➧✂➨✂⑥ F(x) ✘✸➵➸ Xn L−→ X ✘ (2) ➦✂✃✂❐✂➧✂➨ ✷✳✂✴✂✵✂✶➟ Xn ➦✂✃✂❐✂➧✂➨✂⑥ X ✎ ❘✂❙✰✂✱✂✻☛ ε > 0 ✎✸✿✂✟ limn→∞ P(|Xn − X| > ε) = 0. ➵➸ Xn P−→ X ✘ (3) ❪✂❒➬✂➬✂➧✂➨❮➩ ❪✂❒✂❰✍Ï➧✍➨✎ ✃✍❐ 1 ➧✂➨➳➲ ✷✳✂✴✂✵✂✶➟ Xn ❪✂❒➬✂➬✂➧✂➨✂⑥ X ✎ ❘✂❙ P( limn→∞ Xn = X) = 1. ➵➸ Xn a.s. −→ X ✘ (4) r ❑✂▲✂➧✂➨ ✷✳✂✴✂✵✂✶➟ Xn ➧✂➨✂⑥ X ✎ ❘✂❙ limn→∞ ||Xn − X||Lr = 0. ➵➸ Xn L r −→ X ✘ 3