厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.71.116;域名: gdjpkc.xmu. edu.cn §37坐标向量 教学目的和要求:正确理解映射,单映射,满映射,同构映射的概念,掌握线 性空间的同构与集合的同构映射的联系和区别 映射 设V,W是两个集合,映射。:V→W是指一个对应法则,使得对于V中任意 个元素a,都存在W中唯一一个元素β与之对应,记为g(a)=B或φ:a→B 两个映射φ:V→W和v:V→W成为相等,并记为y=,如果对于任意 的a∈V,都有y(a)=v(a) 设:V→W是一个映射,若对于任意a≠B∈V,有g(a)≠y(),则称 是单映射.等价地,对于任意a,B∈V,若y(a)=9(6),必有a=B 设φ:V→W是一个映射,对任意的β∈W,存在一个a∈V,使得φ(a)=B, 称φ是满映射. 既单且满的映射称为一一映射.等价地,对任意∈W,存在唯一的一个a∈V, 使φ(a)= 映射φ:V→U与v:U→W的合成定义为vy:V→W,对于a∈V ap(a): =v(p(a)) 例1(1)g:R→R,x一→x2是非单非满映射; (2)g:R→[0,+∞),x+→x2是非单的满映射 (3):0,1→[0,+∞),x→→x3是单的非满映射; (4)g:0,1)→0,1),x→→x3是一一映射; 5):K K,A→|4|是非单的满映射 (6)y:R+→R,x→logx是一一映射; →K 是非单非满映射 例2idv:V→Vx→→x是一一映射,称为恒等映射￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.7 ✑✒✓✔ ✕✖ ✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✦✧★✪✦✧★✫✬✦✧✘✭✮★✯✰✱ ✲✳✴✘✫✬✵✶✷✘✫✬✦✧✘✸✹✙✺✻✼ ✽✼✽✽✦✧ ✾ V, W ✿❀❁✶✷★❂❃ϕ : V → W ✿❄✽❁❅❆❇❈★❉❊❅❋ V ● ❍■ ✽❁❏❑ α, ▲▼◆ W ● ❖✽✽❁❏❑ β ✵P❅❆★◗❘ ϕ(α) = β ❙ ϕ : α 7→ β. ❀❁✦✧ ϕ : V → W ✙ ψ : V → W ❚ ❘❯❱★❲◗❘ ϕ = ψ, ❳❨❅❋❍■ ✘ α ∈ V , ▲❩ ϕ(α) = ψ(α). ✾ ϕ : V → W ✿✽❁ ✦✧★❬❅❋❍■ α 6= β ∈ V , ❩ ϕ(α) 6= ϕ(β), ❈❭ ϕ ✿ ❪ ❂❃. ❱❫❴★ ❅❋❍■ α, β ∈ V , ❬ ϕ(α) = ϕ(β), ❵❩ α = β. ✾ ϕ : V → W ✿✽❁ ✦✧★❅ ❍■✘ β ∈ W, ▼◆✽❁ α ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = β, ❭ ϕ ✿ ❛ ❂❃. ❜✩❝✪✘✦✧❭ ❘ ❞❞❂❃. ❱❫❴★ ❅ ❍■ β ∈ W, ▼◆❖✽✘✽❁ α ∈ V , ❉ ϕ(α) = β. ✦✧ ϕ : V → U ✵ ψ : U → W ✘✷❚❡❢❘ ψϕ : V → W, ❅❋ α ∈ V , ψϕ(α) := ψ(ϕ(α)). ❣ 1 (1) ϕ : R → R, x 7−→ x 2 ✿❤✩ ❤ ✪✦✧✐ (2) ϕ : R → [0, +∞), x 7−→ x 2 ✿❤✩✘✪✦✧✐ (3) ϕ : [0, 1] → [0, +∞), x 7−→ x 3 ✿ ✩✘ ❤ ✪✦✧✐ (4) ϕ : [0, 1) → [0, 1), x 7−→ x 3 ✿✽✽✦✧✐ (5) ϕ : Kn×n → K, A 7−→ |A| ✿❤✩✘✪✦✧✐ (6) ϕ : R + → R, x 7−→ logx ✿✽✽✦✧✐ (6) ϕ : K2 → K2 ,  a b  7−→  b 0  ✿❤✩ ❤ ✪✦✧✼ ❣ 2 idV : V → V, x 7−→ x ✿✽✽✦✧★❭ ❘ ❥❦❂❃. 1