命题映射φ:V→W是一一映射的充分必要条件是v:W→V使v idv, ov= idu 证明充分性:对于a1,a2∈V,若y(a1)=y(a2),则a1=yp(a1)=vy(a2)= a2.所以y单 对于任意B∈W,因为g=idw,所以B=idw()=y?(v(),所以存在 a=v()∈V,使得φ(a)=y(v(6)=B,所以φ是满映射 必要性.对于任意∈W,因为φ是满映射,所以存在a∈V使得φ(a)=B, 又因为φ是单映射,所以a是唯一的(否则g(a1)=B=y(a),则a1=a).令 v:W→V,v(6)=a,则ψ是一个映射 对于任意a∈v,p(a)=v()=a=id(a),所以uy=idv 对于任意∈W,存在唯一a∈V,使得φ(a)=B,所以φ(6)=y(a)=B, 所以yy=idw.口 命题映射φ:V→W是一一映射,v:W→V是一一映射,则υ:V→V 也是一一映射 二.同构映射 定义设V,U是数域K上两个线性空间,若存在一一映射φ:V→U,且满足 (1)对任意的a,B∈V,y(a+B)=g(a)+p(6); (2)对任意的a∈V,a∈K,p(aa)=ay(a), 则称φ是一个同构映射,并称V和U是同构的线性空间,记V≈U. 例3恒等映射iv:V→V,a→α是V到V的同构映射 例4Kn×1签K1n 定理设v是K上的线性空间,dimV=n,则VKn 证明取定V的一个基E1,E2,…,En,对a∈V,a=a11+a2e2+ 表示法唯一,令 V→Kn b❧♠ ✦✧ ϕ : V → W ✿✽✽✦✧✘♥♦❵ ✚♣q✿ ψ : W → V ❉ ψϕ = idV , ϕψ = idW . rs ♥♦✲✜❅❋ α1, α2 ∈ V , ❬ ϕ(α1) = ϕ(α2), ❈ α1 = ψϕ(α1) = ψϕ(α2) = α2. t✉ ϕ ✩✼ ❅❋❍■ β ∈ W, ✈ ❘ ϕψ = idW , t✉ β = idW (β) = ϕ(ψ(β)), t✉▼◆ α = ψ(β) ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = ϕ(ψ(β)) = β, t✉ ϕ ✿ ✪✦✧✼ ❵ ✚✲✼ ❅❋❍■ β ∈ W, ✈ ❘ ϕ ✿ ✪✦✧★t✉▼◆ α ∈ V ❉❊ ϕ(α) = β, ✇ ✈ ❘ ϕ ✿ ✩✦✧★t✉ α ✿ ❖✽✘ (①❈ ϕ(α1) = β = ϕ(α), ❈ α1 = α). ② ψ : W → V, ψ(β) = α, ❈ ψ ✿✽❁ ✦✧✼ ❅❋❍■ α ∈ V, ψϕ(α) = ψ(β) = α = id(α), t✉ ψϕ = idV . ❅❋❍■ β ∈ W, ▼◆❖✽ α ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = β, t✉ ϕψ(β) = ϕ(α) = β, t✉ ϕψ = idW . ✷ ❧♠ ✦✧ ϕ : V → W ✿✽✽✦✧★ ψ : W → V ✿✽✽✦✧★❈ ψϕ : V → V ③ ✿✽✽✦✧✼ ④✼✫✬✦✧ ⑤⑥ ✾ V, U ✿⑦⑧ K ⑨❀❁✱✲✳✴★❬▼◆✽✽✦✧ ϕ : V → U, ❝✪⑩ (1) ❅ ❍■✘ α, β ∈ V , ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β); (2) ❅ ❍■✘ α ∈ V , a ∈ K, ϕ(aα) = aϕ(α), ❈❭ ϕ ✿✽❁ ✫✬✦✧★❲❭ V ✙ U ✿ ✫✬✘✱✲✳✴★◗ V ∼= U. ❣ 3 ❶ ❱✦✧ idV : V → V, α 7→ α ✿ V ❷ V ✘✫✬✦✧✼ ❣ 4 Kn×1 ∼= K1×n . ⑤❸ ✾ V ✿ K ⑨ ✘✱✲✳✴★ dimV = n, ❈ V ∼= Kn . rs ❹ ❡ V ✘✽❁❺ ε1, ε2, · · · , εn, ❅ α ∈ V , α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn ❝ ❻❼❇ ❖✽★ ② ϕ : V → Kn×1 , α 7→   a1 a2 . . . an   , 2