则y是映射.设a=a11+a2E2+…+ann,B=b1e1+b2=2+…+bnEn,若 y(a)=y(),则a=b2,1≤i≤n.故a=B.所以φ是单射;对于任意 (a1,a2,……,an)∈Kn,令a=a11+a2=2+…+anEn,则有φp(a)=,故φ是满 映射;易见对任意的a,3∈V,g(a+B)=y(a)+(),对任意a∈K,a∈V y(a)=ap(a).所以,φ是同构映射.口 设e1,E2,……,En是V的一组基,且对于任意a,有a=a1e1+a2+…+ann,将 (a1,a2,……,an)称为a在基e1,E2,…,En下的坐标常记为a=(1,E2,……,En) 例 5a= 2)在基e1=(0 3 0)下的坐标为 (3)在基 0)下的坐标为/3 在基51 0 下的坐 标为(3 定理(1)设y:V→W是线性同构,则y(0)=0; (2)设φ:V→W是线性同构,则φ将线性相关的向量组变为线性相关的向 量组,将线性无关向量组变为线性无关的向量组,即φ保持线性相关性; (3)设φ:V→W是同构映射,则存在v:W→V是同构映射,使得 p= idy (4)同构关系是等价关系 (5)K上两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等 证明(1)p(0)=9(0+0)=9(0)+9(0),所以φ(0)=0 (2)设a1,a2,…,am是V中线性相关的向量组,则存在不全为0的a1,a2,…,am, 使得a1a1+a2a2+…+amOm=0,所以0=9(0)=y(a1a1+a2Q2+…+anmm)= a19(a1)+a2y(a2)+…+amyp(am)所以φ(a1,y(a2),……,y(am)线性相关 另一方面,设a1,Q2,…,am是V中线性无关的向量组,考虑a19(a1)+a29(a2)+ 即y(a1a1 0=9(0),因为φ是单映 射,所以a1a1+a202+…+amOm=0,又因为a1,a2,…,am线性无关,所以 所以φ(a1 线性无关❈ ϕ ✿ ✦✧✼✾ α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, β = b1ε1 + b2ε2 + · · · + bnεn. ❬ ϕ(α) = ϕ(β), ❈ ai = bi , 1 ≤ i ≤ n. ❽ α = β. t✉ ϕ ✿ ✩✧✐❅❋❍■ (a1, a2, · · · , an) 0 ∈ Kn , ② α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, ❈❩ ϕ(α) = β, ❽ ϕ ✿ ✪ ✦✧✐❾❿❅ ❍■✘ α, β ∈ V , ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β), ❅ ❍■ a ∈ K, α ∈ V , ϕ(aα) = aϕ(α). t✉★ ϕ ✿ ✫✬✦✧✼ ✷ ✾ ε1, ε2, · · · , εn ✿ V ✘✽➀❺ ★❝ ❅❋❍■ α, ❩ α = a1ε1+a2ε2+· · ·+anεn. ➁ (a1, a2, · · · , an) 0 ❭ ❘ α ◆❺ ε1, ε2, · · · , εn ➂ ✘ ✑✒★➃◗❘ α = (ε1, ε2, · · · , εn)   a1 a2 . . . an   . ❣ 5 α =  2 3  ◆❺ e1 =  1 0  , e2 =  0 1  ➂ ✘ ✑✒❘  2 3  ; ◆❺ e2 =  0 1  , e1 =  1 0  ➂ ✘ ✑✒❘  3 2  ; ◆❺ ξ1 =  1 0  , ξ2 =  1 1  ➂ ✘ ✑ ✒ ❘  −1 3  . ⑤❸ (1) ✾ ϕ : V → W ✿ ✱✲✫✬★ ❈ ϕ(0) = 0; (2) ✾ ϕ : V → W ✿ ✱✲✫✬★ ❈ ϕ ➁ ✱✲❯➄✘ ✓ ✔➀➅❘✱✲❯➄✘ ✓ ✔➀★ ➁ ✱✲➆➄ ✓ ✔➀➅❘✱✲➆➄✘ ✓ ✔➀★➇ ϕ ➈➉✱✲❯➄✲✐ (3) ✾ ϕ : V → W ✿ ✫✬✦✧★❈▼◆ ψ : W → V ✿ ✫✬✦✧★❉❊ ψϕ = idV , ϕψ = idW ; (4) ✫✬➄✹ ✿ ❱❫➄✹✐ (5) K ⑨❀❁❩➊➋✱✲✳✴✫✬➌❝➍➌➎➏✘➋⑦❯❱✼ rs (1) ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0), t✉ ϕ(0) = 0. (2) ✾ α1, α2, · · · , αm ✿ V ● ✱✲❯➄✘ ✓ ✔➀★ ❈▼◆➐➑❘ 0 ✘ a1, a2, · · · , am, ❉❊ a1α1 +a2α2 +· · ·+amαm = 0, t✉ 0 = ϕ(0) = ϕ(a1α1 +a2α2 +· · ·+amαm) = a1ϕ(α1) + a2ϕ(α2) + · · · + amϕ(αm) t✉ ϕ(α1), ϕ(α2), · · · , ϕ(αm) ✱✲❯➄✼ ➒✽➓➔★✾ α1, α2, · · · , αm ✿ V ● ✱✲➆➄✘ ✓ ✔➀★→➣ a1ϕ(α1)+a2ϕ(α2)+ · · · + amϕ(αm) = 0, ➇ ϕ(a1α1 + a2α2 + · · · + amαm) = 0 = ϕ(0), ✈ ❘ ϕ ✿ ✩✦ ✧★t✉ a1α1 + a2α2 + · · · + amαm = 0, ✇ ✈ ❘ α1, α2, · · · , αm ✱✲➆➄★ t✉ a1 = a2 = · · · = am = 0, t✉ ϕ(α1), ϕ(α2), · · · , ϕ(αm) ✱✲➆➄✼ 3