3)设φ:V→W是同构映射.由命题,存在一一映射v:W→V,使得 uy=1,gp=1,下面证明v(1+A2)=v(1)+(2),v(A)=A(),事实上, 设,B2∈V,则存在唯一a1,a2∈W,使得g(a1)=B1,p(a2)=B2,g(a1+a2)= 1+B2,所以v(1+B2)=v(y(a1+a2))=a1+a2=t(1)+v(B2).另一方 面,设A∈K,B∈W,存在唯一a∈V,使得φ(a)=,所以g(a)=λ3,所以 v(入6)=Aa=Av() (4)反身性:ibv:VeV;对称性:由(3);传递性:设φ:V一W是同构映 射,设v:W→U是同构映射,则上面命题知是一一映射,且uy(a+) u(y(a)+y(6)=y(a)+wy(),uy(Aa)=v(Ay(a)=入uyp(a)=A(vy(a) (5)设p:VsW,dimV=n,且E1,E2,…,En是V的基,则y(1),p(e2),…,y(En) 在W中线性无关,且对任意∈W,存在a∈V,使φ(a)=B,a=∑a1s1,所以 B=9(a)=∑a(e),故y(=1),g(E2),……,y(En)是W的一个基,所以dimW=m 反之,dimV=dinW,则V全KnxW,所以VW.口 例6设V是m维线性空间,ε1,E2,…,En是V的一个基,a1,a2,…,am在 此基下的坐标为X1,X2,……,Xm,则r(X1,X2,…,Xm)=r(a1,a2,…,am) 证明在基e1,E2,…,En下,y:V→Kn×1,∑1ae;→→ 则φ是 同构映射.且y(a1)=X1,1≤i≤m,设r(a1,…,am)=r,且aa,……,ar是 a1,…,am的极大线性无关组,因为φ同构,所以φ(an),……,φ(an)是Kx中 极大线性无关组,即X1,Xa,…,Xa是X1,X2,…,Xm的极大线性无关组,所以 r(X1, X2 X T(a1,Q2, 例7在Fx]4中,讨论f1(x)=2+x+3x2+4x4,f2(x)=-1+2x+3x2+x3,Jf3(x)= 3-x-x3+4x4的秩 解取定F{x]4的基1,x,x2,x3,x4,则f(x)在此基下的坐标分别为a 21304(3) ✾ ϕ : V → W ✿ ✫✬✦✧✼↔↕➙★ ▼◆✽✽✦✧ ψ : W → V , ❉❊ ψϕ = 1, ϕψ = 1, ➂➔➛➜ ψ(β1 + β2) = ψ(β1) + ψ(β2), ψ(λβ) = λψ(β), ➝➞⑨★ ✾ β1, β2 ∈ V , ❈▼◆❖✽ α1, α2 ∈ W, ❉❊ ϕ(α1) = β1, ϕ(α2) = β2, ϕ(α1 + α2) = β1 + β2, t✉ ψ(β1 + β2) = ψ(ϕ(α1 + α2)) = α1 + α2 = ψ(β1) + ψ(β2). ➒✽➓ ➔★✾ λ ∈ K, β ∈ W, ▼◆❖✽ α ∈ V , ❉❊ ϕ(α) = β, t✉ ϕ(λα) = λβ,, t✉ ψ(λβ) = λα = λψ(β). (4) ➟➠✲✜ idV : V ∼= V ; ❅❭✲✜↔ (3); ➡➢✲✜✾ ϕ : V −→ W ✿ ✫✬✦ ✧★✾ ψ : W → U ✿ ✫✬✦✧★❈⑨➔↕➙➤ ψϕ ✿✽✽✦✧★❝ ψϕ(α + β) = ψ(ϕ(α) + ϕ(β)) = ψϕ(α) + ψϕ(β), ψϕ(λα) = ψ(λϕ(α)) = λψϕ(α) = λ(ψϕ(α)). (5) ✾ ϕ : V ∼= W, dimV = n, ❝ ε1, ε2, · · · , εn ✿ V ✘ ❺ ★ ❈ ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn) ◆ W ● ✱✲➆➄★❝❅ ❍■ β ∈ W, ▼◆ α ∈ V , ❉ ϕ(α) = β, α = Σaiεi , t✉ β = ϕ(α) = Σaiϕ(εi), ❽ ϕ(ε1), ϕ(ε2), · · · , ϕ(εn) ✿ W ✘✽❁❺★ t✉ dimW = n. ➟ P★ dimV = dimW, ❈ V ∼= Kn×1 ∼= W, t✉ V ∼= W. ✷ ❣ 6 ✾ V ✿ n ➋ ✱✲✳✴★ ε1, ε2, · · · , εn ✿ V ✘✽❁❺★ α1, α2, · · · , αm ◆ ➥ ❺➂ ✘ ✑✒❘ X1, X2, · · · , Xm, ❈ r(X1, X2, · · · , Xm) = r(α1, α2, · · · , αm). rs ◆❺ ε1, ε2, · · · , εn ➂ ★ ϕ : V −→ Kn×1 , Σ n i=1aiεi 7−→   α1 α2 . . . αn   , ❈ ϕ ✿ ✫✬✦✧✼❝ ϕ(αi) = Xi , 1 ≤ i ≤ m, ✾ r(α1, · · · , αm) = r, ❝ αi1, · · · , αir ✿ α1, · · · , αm ✘➦➧✱✲➆➄➀★ ✈ ❘ ϕ ✫✬★ t✉ ϕ(αi1), · · · , ϕ(αir) ✿ Kn×1 ● ➦➧✱✲➆➄➀★➇ Xi1, Xi2, · · · , Xir ✿ X1, X2, · · · , Xm ✘➦➧✱✲➆➄➀★ t✉ r(X1, X2, · · · , Xm) = r(α1, α2, · · · , αm). ✷ ❣ 7 ◆ F[x]4 ● ★➨➩ f1(x) = 2+x+3x 2+4x 4 , f2(x) = −1+2x+3x 2+x 3 , f3(x) = 3 − x − x 3 + 4x 4 ✘➫✼ ➭ ❹ ❡ F[x]4 ✘ ❺ 1, x, x2 , x3 , x4 , ❈ fi(x) ◆ ➥ ❺➂ ✘ ✑✒♦✻❘ α1 =   2 1 3 0 4   , 4