则称L()为似然函数。似然函数实质上是样本的分布律或分布密度 2.最大似然估计法 最大似然估计法,是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理 的直观想法是:在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此,一个试验如有若干个可能的 结果A,B,C,,若在一次试验中,结果A出现,则一般以为A出现的概率最大。下面通过 实例来介绍最大似然原理。 一般地,设总体X的分布律为P{X=x}=px;O),其中=(,02,On)是未知参 数。又设(x1,x2y,xn)是样本的一个观测值,那么样本(X1,X2,xn)取值(x1,x2,,xn) 的概率为 x2 }=∏P{x=x}=∏p(x:0)=L(0) 既然在一次试验中得到样本值(x1,x2,xn),那么,样本取该样本值的概率应较大, 所以就应选取使这一概率达到最大的参数值作为未知参数的估计值,也就是选取使似然函数 L(0)=∏p(x (6.1) 在=(,2,处达到最大值,则称G,0,n分别为(1,B,、On的最大似然 估计值 需要注意的是,最大似然估计值θ,依赖于样本值,即 1.2 若将上式中样本值(x1x2,x)替换成样本(X1X2,xn),所 6=6(x1,x2,Xxn)则称为参数O的最大似然估计量 由于 lnL()=∑np(x 而nL()与L(0)有相同的最大值点,因此,为最大似然估计的必要条件为则称 L(θ )为似然函数。似然函数实质上是样本的分布律或分布密度。 2． 最大似然估计法 最大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理 的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的 结果 A, B,C,..., 若在一次试验中，结果 A 出现，则一般以为 A 出现的概率最大。下面通过 实例来介绍最大似然原理。 一般地，设总体 X 的分布律为 P{X = x }= p(x;θ )，其中 ( ) θ θ θ θ m , ,..., = 1 2 是未知参 数。又设(x1 , x2 ,..., xn )是样本的一个观测值，那么。样本( ) X X X n , ,..., 1 2 取值 的概率为 ( ) n x , x ,..., x 1 2 P{ } X x X x X x P{X x } p x θ L θ n i i n i = = n = n = ∏ = i = ∏ = =1 =1 1 1 2 2 , ,..., ( ; ) ( ) 既然在一次试验中得到样本值( ) n x , x ,..., x 1 2 ，那么，样本取该样本值的概率应较大， 所以就应选取使这一概率达到最大的参数值作为未知参数的估计值，也就是选取使似然函数 ( ) ∏ ( ) （6.1） = = n i i L p x 1 θ ;θ 在 ( ) θ i θ i θ θ m θ θ θ m ˆ ..., ˆ ˆ ˆ ,..., ˆ , ˆ ˆ = 2 处达到最大值，则称 1 ， 2， 分别为θ θ θ m , ,..., 1 2 的最大似然 估计值。 需要注意的是，最大似然估计值θ ˆ i 依赖于样本值，即 ( ) i i n x , x ,..., x ˆ ˆ θ = θ 1 2 (i = 1,2...,m) 若将上式中样本值 (x1 , x2 ,..., xn ) 替换成样本 ( ) X X X n ,..., 1, 2 ，所得的 θ ˆ i = θ ˆ i( ) X1 , X 2, ..., X n 则称为参数θ i 的最大似然估计量。 由于 ( ) ∑ ( ) = = n i i L p x 1 ln θ ln ,θ 而ln L(θ )与 L(θ )有相同的最大值点，因此，θ ˆ为最大似然估计的必要条件为 5