微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 即说明,地图册{a(xa)∈(OHm;(OHm)=:Ua∩OM)}=1可定向 结合切向量的概念①,流形M的切向量在其边界∂M上具有如下的转换关系 (2…m) m-1 arm 0 axm-I arm)axg ax a axm O. 即有OM的切向量的转换关系 axl drl m一 以及 arm arm ar ar axg- ar dxg 则有同同指向流形M内部或者外部对流形M的切空间中的任意一个基{ar)=1 an指向流形M的内部,则称/2m-1 lari 确定了流形边界∂M的定向或者称流形M的 i=1 定向诱导了流形边界∂M的定向 R3中二维曲面流形的边界的定向,体积流形边界的定向,如图3所示 2应用事例 2.1曲面的流形定义 Rm+1空间中的m维光滑曲面作为流形可有两种定义,分别叙述如下 定义21(m+1中m维光滑曲面(基于微分同胚).对∑cRm+1,如果存在全空间的地图 册{(a(xa)∈6(Im+1;0a(Lm+1)=:Ua)}a=1,其中oa(xa)∈6(1m+1:Ua)为坐标卡,且满足 q4(Ua∩)={x∈Im+lm+1=0}=:Im,以及∪Ua∩E=E,则称∑为Rm+1中m维光 滑曲面 ①关于切向量,请见第??节(第??页)微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 即说明, 地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(∂Hm; ϕα(∂Hm) =: Uα ∩ ∂M)} N α=1 可定向. 结合切向量的概念➀, 流形 M 的切向量在其边界 ∂M 上具有如下的转换关系: ( ∂ ∂x1 α · · · ∂ ∂xm−1 α ∂ ∂xm α ) = ( ∂ ∂x1 β · · · ∂ ∂xm−1 β ∂ ∂xm β )   ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α ∂x1 β ∂xm α . . . . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ∂xm−1 β ∂xm α 0 · · · 0 ∂xm β ∂xm α   (   x 1 α . . . x m−1 α   , 0) 即有 ∂M 的切向量的转换关系: ( ∂ ∂x1 α · · · ∂ ∂xm−1 α ) = ( ∂ ∂x1 β · · · ∂ ∂xm−1 β )   ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α   (   x 1 α . . . x m−1 α   ) 以及 ∂ ∂xm α = ∂x1 β ∂xm α ∂ ∂x1 β + · · · + ∂xm−1 β ∂xm α ∂ ∂xm−1 β + ∂xm β ∂xm α ∂ ∂xm β , 则有 ∂ ∂xm α 同 ∂ ∂xm β 同指向流形 M 内部或者外部. 对流形 M 的切空间中的任意一个基 { ∂ ∂xi α }m i=1 , 当 ∂ ∂xm α 指向流形 M 的内部, 则称 { ∂ ∂xi α }m−1 i=1 确定了流形边界 ∂M 的定向或者称流形 M 的 定向诱导了流形边界 ∂M 的定向. R 3 中二维曲面流形的边界的定向, 体积流形边界的定向, 如图3所示. 2 应用事例 2.1 曲面的流形定义 R m+1 空间中的 m 维光滑曲面作为流形可有两种定义, 分别叙述如下. 定义 2.1 (R m+1 中 m 维光滑曲面 (基于微分同胚)). 对 Σ ⊂ R m+1 , 如果存在全空间的地图 册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1; ϕα(Im+1) =: Uα)} N α=1, 其中 ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1;Uα) 为坐标卡, 且满足 ϕ −1 α (Uα ∩ Σ) = {x ∈ Im+1|x m+1 = 0} =: Im, 以及 ∪ N α=1 Uα ∩ Σ = Σ, 则称 Σ 为 R m+1 中 m 维光 滑曲面. ➀ 关于切向量, 请见第??节 (第??页). 4