同上面类似可证定理3成立。 定理2和定理3使得我们可以通过α1，的选取，而决定相当大的一类线性系统解的稳定 性。特别，在定理3中取 a11=n2(i,j=1,…,rji+j) n-nI 时，所得结果已扩大了文〔1)、〔2〕所给出的参数稳定性区域，这点是容易证明的，进一步有 定理4如果用UD,U6、UD分别表示由定理1、2,3所决定的参数稳定性区域，则有 U。=U6,U6DUD 证明只须证明两点：(1).D稳定⊙D稳定→D稳定；(2)如果D稳定，则一定能找到满 足定理2中条件的a1,>0使得D稳定。 (1)D稳定中D稳定：注意到D、D都是Metzler矩阵。令C=diag(l/1),…,l/入{r))。 则C>0,所以D稳定三CD稳定。又注意到CD≤D,所以D稳定→方稳定。 D稳定心D稳定：只须证明存在正对角矩阵C使得DTC+CD稳定。 因D稳定，所以可以找到aT=(a1,…,a,)>0使得aTD<0。取C=diag(a1,…,ar)。 考虑二次型f(x)=XT(CD+DTC)X,其中X∈R',则应用引理有 f(x)<2-2buXX -o-on( 从aTD<0知f(x)负定，从而DTC+CD负定。 (2)设D稳定，：先设D(从而D)的所有元素b)+0,D为稳定的Metzler矩阵，所以 存在BT=(B1,…,B,)>0,使得DB<0即 -B1+e1<0(i=1,…,r) .(8) 其中e1=(2bB)(i=1,…,r)取 =2buBI(i,j=1,), e i 则a>0且之a=1(i=1,,r)我们断言，对于这样一组a11,0是稳定的。事实上， 取YT=(β，…，B)T,则YT>0且DY<0。这是因为DY的第i个分量为 (0Y:=号+含2biB时=子(-B明+e }4Q11 2 =号(，+e(-Bi+eK0 如果D中有一些b1,为零，则把这些零换为充分小的正数e,可使所得到的Metzler矩阵 D,稳定。从这个D,出发，依上法选a,得到稳定的D。。把D,中的e换为零得到D,注意到 D≤D,所以D,稳定→D稳定，定理4证华。 104同上面 类似可证 定理 成立 。 定理 和定理 一 使得我们可 以 通过 二 ，的选取 ， 而决定相 当大的一类线 性系统解的稳定 性 。 特别 ， 在定理 中取 ， 住 ‘ 一，决 一二‘ ‘ ‘ 气 ， ， 白 ， 贯 年 一 时 ， 所 得结果 已扩大 了文 〔 〕 、 〔 〕所 给 出的参数 稳定 性 区域 ， 这点 是 容 易证 明 的 ， 进 一 步有 定理 如果 用 、 会 、 弓分别 表示 由定 理 、 、 所 决定 的参数稳定 性区域 ， 则 有 百 台 ， 台， 石 证 明 只 须证 明两点 ， 乃稳定 心 力稳定中 稳定 如果 稳 定 ， 则一定 能找到满 足定理 中条件 的 ， 。 使得 力稳定 。 乃稳定峥 力稳定 注 意到 、 力都是 矩 阵 。 令 久厂 ‘ ， … ， 久矛 ‘ 。 则 ， 所 以 稳定 稳定 。 又注意到 《 刀 ， 所 以 稳定 办 稳定 。 稳定 心 稳定 只 须证 明存在 正对 角矩 阵 使得 丁 十 稳定 。 月 稳定 ， 所 以可 以找到 “ ，， … ， ， 使 得 。 取 饭 ， ， … ， ， 。 考虑二次型 ， 其 中 〔 厂 ， 则应用 引理 有 艺 〔 一 ， “ 艺 ， ， 】 ， 】 〕 勺 名 ， ， ￡以 。 · 、 介办 工， 以 曰 一 月 · 一 一 、户、 一 … 了、、 六 一 自 从 知 负定 ， 从而 负定 。 设 稳定 ， ，先设 从而 力 的所有元 素 场 · ， 午 。 ， 为稳 定 的 矩 阵 ， 所 以 存 在 田 日 ， … ， 日 ， 使得 日 即 其 中 ， 艺 ，，日， 一 日 ， ， … ， ， 一 ， 取 二 】 二 丝坦 ‘ 匹 ， ， … ， ， 奔 ， 则 。 ，， 且 全 。 ，， 二 ， … ， 我 们 断言 一 今 取 丫 “ 日圣 ， … ， 对于这样一组 ， 是稳定 的 。 事实上 ， 田 ， 则 。且 丫 。 这是 因为 的第 个分量 为 ‘ 一－‘ 口 畜 十 全卫兰上 日卜 扁工 一 日 川 ” 、 ” 二 劫占 ， 一 一 加而 如 果 中有一些 ，，为零 ， 则把这些零 换为充分小 的正数 。 ， 可 使所得 到的 矩 阵 稳 定 。 簇 ， 从这个 出发 ， 依 上法选 ，，得到稳定 的 力 ， 。 一 把 ， 中的 。 换为零得到 力 ， 注意到 所 以 。 稳定峥 力稳定 ， 定 理 证 毕 ’