厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn §2矩阵的运算 教学目的和要求理解和掌握矩阵的相等的定义,理解和掌握矩阵的加法,数 乘,乘法的定义和运算律.了解矩阵的转置满足的性质与对称阵,反对称阵的定 义,掌握标准向量和基础矩阵的性质,了解方阵的迹的定义 矩阵的相等 两个矩阵A=(a)mxn和B=(b1)sxt相等,如果它们的行数与列数相等, 并且对应元素相等,即m=s,n=t,且a=b,1≤i≤m,1≤j≤n. 矩阵的加法 设A=(a1)mxm,B=(by)mxn,定义A和B的加法为A+B:=(a1+b3)mx 例1 0-11 矩阵的加法满足 (1)交换律:A+B=B+A (2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C); (3)存在零矩阵:0+A=A+0=A (4)存在负矩阵:对任意A,存在B,使得A+B=0 易知,(4)中的B是唯一确定的,即B=(-a).记B=-A.故可以定义矩 阵的减法A-B:=A+(-B) 三.矩阵的数乘 设A=(a)mxn,C是一个数,定义c和A的数乘为cA:=(ca)mxn 矩阵的数乘满足: (5)C(A+B)=cA+ci￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §2 ✑✒✓✔✕ ✖✗ ✘✙✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✩✬✭✮✢✣✤✥✦✧★✩✯✰✮✱ ✲✮✲✰✩✬✭✤✳✴✵✶✷✣✧ ★✩✸✹✺✻✩✼✽✾✿❀ ★✮❁✿❀ ★✩✬ ✭✮✥✦❂❃❄❅✤❆❇✧★✩✼✽✮✷✣❈★✩❉✩✬✭✶ ❊✶❋●✙❍■ ❏❑✧★ A = (aij )m×n ✤ B = (bij )s×t ✪✫✮▲▼◆❖✩P✱✾◗✱✪✫✮ ❘❙✿❚❯❱✪✫✮❲ m = s, n = t, ❙ aij = bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. ❳✶❋●✙❨❩ ❬ A = (aij )m×n, B = (bij )m×n, ✬✭ A ✤ B ✩✯✰❭ A+B := (aij +bij )m×n. ❪ 1  1 2 3 0 −1 1  +  3 −1 0 1 0 4  =  4 1 3 1 −1 8  . ✧★✩✯✰✺✻❫ (1) ❴❵✵❫ A + B = B + A; (2) ❛❜✵❫ (A + B) + C = A + (B + C); (3) ❝❞❡✧★❫ 0 + A = A + 0 = A; (4) ❝❞❢✧★❫✿❣❤ A, ❝❞ B, ✐❥ A + B = 0. ❦❧✮ (4) ♠ ✩ B ♥♦♣q✬✩✮❲ B = (−aij ). r B = −A. st✉✬✭✧ ★✩✈✰ A − B := A + (−B). ✇✶❋●✙①② ❬ A = (aij )m×n, c ♥♣❑✱✮✬✭ c ✤ A ✩✱✲❭ cA := (caij )m×n. ✧★✩✱✲✺✻❫ (5) c(A + B) = cA + cB; 1