证在a,b]中插入分点 a =to <x 并记Ax=x1-x(i=12,…,n)。显然只要证明 m∑M)Ax= Js(x, y)dxdy, D 这里为[x1,x中任意一点,A为所有Ax的最大者。 再在[c,d]中插入分点 C 并记y=y-y/(j=12,…,m)。过a6和[e,上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形(这是D的一个划分),记 =[x-1,xx[y-1,y,t=1,2,…,n,j=1,2,…,m; m,=inf if(x,y)),Mi=sup if(x, y)) (x,y)∈D证 在[a,b]中插入分点 a = x0  x1  xn = b ， 并记 i = i − i−1 x x x （i = 1,2,  , n）。显然只要证明   = = → n i i i h x 1 0 lim ( )  f x y x y ( , )d d  D ， 这里 i  为[ , ] i 1 i x x − 中任意一点， 为所有xi 的最大者。 再在[c, d]中插入分点c = y0  y1  ym = d ， 并记 j = j − j−1 y y y （ j = 1,2,  ,m）。过[a,b]和[c,d]上的这些分点分别作 平行于坐标轴的直线将D分成许多小矩形（这是D的一个划分），记 1 1 [ , ] [ , ] ij i i j j x x y y D =  − − ，i = 1,2,  ,n; j = 1,2,  ,m； ( , ) inf { ( , )} ij x y ij m f x y  = D ， ( , ) sup { ( , )} ij x y ij M f x y  = D