第4期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·783· ∑则圆盘中心为 Pu P2 Pi3 PT P2 P23 >00= Q11Q12 e-raj Go(jw)=s:jo Pis PT Ps3 (15) W- W1W12 WR W2 >0Z>0 定义复平面原点为0点，则过0点和圆盘中 心Gm的直线与圆盘G:的交点为W,其轨迹为 式中：*表示对称的值，且 、eraw Au=P3+Pi+Q+hWu WGw）=2 jw An2=-PuLD-Q12Lp-hWiLD 由引理2，令W,Go)=yE,Go。当y=4e0<1 π Au=-P+P5+Wz 时，得到号w<牙。令y=max.ieM,显然当 Ax-Qs-hLiWabn+2L5ZLo 1 y<1,对于任意的ieN,下式成立： Ag=-Pa-P--方wa yCo(OU(E;(jw),iE N]) 证明构造如下Lyapunov-Krasovskii函数： yCo(OUIE;(jw).ieN))=Co(W;(jo),iEN)) V()=V()+V2(t0)+V3(0+V() (16) 可知，(-1，j0)年yCo0U{E,Go),ieN),则 其中 (-1,j0)Co(0U{W,Gw),ieN)。由引理3，得Co V(0)=s()Ps(t) (0U{W,Gw),ieN)2UevG,因此(-1，j0)UevG:o V2(0= p(s)Qp(s)ds 进而代入式(12)可知A(G(Gw)不包含(-1，j0)。根 据广义Nyquist准则，式(8)的零点都具有负实 V3()= p(s)Wp(s)dsde h 部，所以系统式(6)可实现渐近稳定，则可说明系 V4()= 立(s)'r(s)dsdAd0 统式(4)可实现二分一致性。 J-hJ8 JA 7 2.2含时变时延的二分一致性 s()=Y(t)Y(-h)" ∫Y(ds 在实际工程中多智能系统所含时延并不是固 定不变的，因此在本节中将考虑系统中含有时变 p(s)=Y(s)T 根据Newton-Leibniz公式，则有式(I7)和 时延的一阶系统进行二分一致性分析，针对系统 (18): 式(5)引入中间变量对其进行规范状态变换，过 程同式(4)变换： ro--o-od (17) (①=-LDY(t-t() (13) 易得知式(13)的稳定性问题等价于系统式 [Y()-Yt-d0= (5)的二分一致性问题。因此，可以借助系统式 (18) hY()- Y(s)ds (13)的稳定性分析扩展到二分一致性分析。 Ji-h 下面通过构造Lyapunov-Krasovskii函数，给 有如下积分不等式： 出了含时变时延系统式（⑤）实现二分一致性的充 分条件。 -Jp(Wp(ds-≤ (19) 定理2假设系统式(1)的拓扑是连通且结 构平衡的，如果存在对称矩阵：P1、P2、P3、P2 P23、P8、Q11、Q12、Q2、W1、W12、W2、Z,且都 Y'ddos +0 (20) 为非负矩阵，则系统式(1)在控制协议式(3)作用 下可以达到二分一致性，从而给定时变时延上界 h>0满足条件式(14)和式(15)： 对式(17)~(20)沿系统式(5)轨迹的时间导 数，考虑式(21)(24)则有 All A12 A13 P12 -w+z 1(0=S()Ps(0+s(0'Ps0= *△22-L 0 -LpP13 Y(t)Y(t-h)T Y(s)ds 中= Λ33 P22 -P+方W阳 <0 P12 P1 Y(t) (21) -Q22 P23 P11 1 *P2P23 Y(t-h) Y(s)ds (14)∑ vjϵNi   ai j   ，则圆盘中心为 Gi0 ( jω ) = εi e −τ0 jω jω Gi0 Gi Wi 定义复平面原点为 0 点，则过 0 点和圆盘中 心 的直线与圆盘 的交点为 ，其轨迹为 Wi ( jω ) = 2εi e −τ0 jω jω Wi ( jω ) = γiEi ( jω ) γi = 4εiτ0 π < 1 εiτ0 < π 4 γ = max{γi ,i ∈ N} γ < 1 i ∈ N 由引理 2 ，令 。当 时，得到 。 令 ， 显然当 ，对于任意的 ，下式成立： γCo(0∪ {Ei ( jω ) ,i ∈ N}) ∋ γiCo(0∪ {Ei ( jω ) ,i ∈ N}) = Co(Wi ( jω ) ,i ∈ N}) (−1,j0) < γCo(0∪ {Ei ( jω ) ,i ∈ N}) (−1,j0) < Co(0∪ {Wi ( jω ) ,i ∈ N}) Co (0∪ { Wi ( jω ) ,i ∈ N) } ) ⊇ ∪i∈NGi (−1,j0) < ∪i∈NGi λ ( G ( jω )) (−1,j0) 可 知 , ， 则 。由引 理 3 ， 得 ，因此 。 进而代入式 (12) 可知 不包含 。根 据广义 Nyquist 准则，式 (8) 的零点都具有负实 部，所以系统式 (6) 可实现渐近稳定，则可说明系 统式 (4) 可实现二分一致性。 2.2 含时变时延的二分一致性 在实际工程中多智能系统所含时延并不是固 定不变的，因此在本节中将考虑系统中含有时变 时延的一阶系统进行二分一致性分析，针对系统 式 (5) 引入中间变量对其进行规范状态变换，过 程同式 (4) 变换： Y˙ (t) = −LDY (t−τ(t)) (13) 易得知式 (13) 的稳定性问题等价于系统式 (5) 的二分一致性问题。因此，可以借助系统式 (13) 的稳定性分析扩展到二分一致性分析。 下面通过构造 Lyapunov-Krasovskii 函数，给 出了含时变时延系统式 (5) 实现二分一致性的充 分条件。 P11 P12、P13、P22、 P23、P33、Q11、Q12、Q22、W11、W12、W22、Z h > 0 定理 2 假设系统式 (1) 的拓扑是连通且结 构平衡的，如果存在对称矩阵： 、 ，且都 为非负矩阵，则系统式 (1) 在控制协议式 (3) 作用 下可以达到二分一致性，从而给定时变时延上界 满足条件式 (14) 和式 (15)： ψ =   Λ11 Λ12 Λ13 P12 − 1 h WT 11 + 1 h Z ∗ Λ22 −L T D 0 −L T D P13 ∗ ∗ Λ33 P22 −P33 + 1 h WT 12 ∗ ∗ ∗ −Q22 P23 ∗ ∗ ∗ ∗ − 1 h W11 − 1 h 2 Z   < 0 (14) P =   P11 P12 P13 P T 12 P22 P23 P T 13 P T 23 P33   > 0;Q = [ Q11 Q12 Q T 12 Q22 ] > 0 W = [ W11 W12 WT 12 W22 ] > 0; Z > 0 (15) 式中：*表示对称的值，且 Λ11 = P13 + P13 +Q T 11 +hW11 Λ12 = −P11LD −Q12LD −hW11LD Λ13 = −P13 + P T 23 + 1 h W22 Λ22 = Q22 −hL T DW22LD + h 2 2 L T D ZLD Λ33 = −P23 − P T 23 −Q11 − 1 h W22 证明 构造如下 Lyapunov-Krasovskii 函数： V(t) = V1 (t)+V2 (t)+V3 (t)+V4 (t) (16) 其中 V1 (t) = ς (t) T Pς (t) V2 (t) = ∫ t t−τ(t) ρ(s) TQρ(s)ds V3 (t) = ∫ 0 −h ∫ t t+θ ρ(s) TWρ(s)dsdθ V4 (t) = ∫ 0 −h ∫ 0 θ ∫ t t+λ Y˙ (s) T RY˙ (s)dsdλdθ ς (t) = [ Y (t) T Y (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds ]T ρ(s) = [ Y (s) T Y˙ (s) T ]T 根据 Newton-Leibniz 公式，则有式（17）和 （18）： Y (t−h) = Y (t)− ∫ t t−h Y˙ (s)ds (17) ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s)dsdθ = ∫ 0 −h [Y (t)−Y (t−θ)]dθ = hY (t)− ∫ t t−h Y (s)ds (18) 有如下积分不等式： − ∫ t t−h ρ(s) TWρ(s)ds ⩽ − 1 h ∫ t t−h ρ(s) T dsW ∫ t t−h ρ(s)ds (19) ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T RY˙ (s)dsdθ ⩽ − 2 h 2 ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T dsdθR ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s)dsdθ (20) 对式 (17)~(20) 沿系统式 (5) 轨迹的时间导 数，考虑式 (21)~(24) 则有 V˙ 1 (t) = ς˙ (t) T Pς (t)+ς (t) T Pς˙ (t) = [ Y (t) T Y (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds ] .   P11 P12 P13 ∗ P22 P23 ∗ ∗ P33     Y (t) Y (t−h) ∫ t t−h Y (s)ds   (21) 第 4 期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·783·