第五章向量分析 3,计算 Xdy-ydx 2丌 2+y2,其中x=a+by d-bc≠0,C为包围原点的闭曲线。 解:由ad-bc≠0可知,仅有原点使X2+Y2=0 Xdr-Ydx=ad-bcXxdy-ydox) 1=201y fPd+Ody 易于验证:如=2 Islad-ba)r xdy-yodx_(ad-bc) xdy-yax 2 X-+y 2丌 m2亦 (ad-bc) ∂(x a(X, y 因 (X,Y) a(x,r) c a det a(x, y) ad-bc (ad-bc) dXdy sgn(ad-bc 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 3, 计算  + − = C X Y XdY YdX I 2 2 2 1  ,其中    = + = + Y cx dy X ax by , ad −bc  0, C 为包围原点的闭曲线。 解：由 ad −bc  0 可知，仅有原点使 0 2 2 X + Y = . XdY −YdX = (ad −bc)(xdy− ydx)  + − = C X Y XdY YdX I 2 2 2 1  = ( )  + − − C X Y ad bc xdy ydx 2 2 2 = ( )  + − C Pdx Qdy ad bc 2 , 易于验证： x Q y P   =   I= ( )  + − − C X Y ad bc xdy ydx 2 2 2 = ( )  + = + − − 2 2 2 2 2 2 X Y r X Y ad bc xdy ydx  = ( )  + = − − 2 2 2 2 2 X Y r xdy ydx r ad bc  = ( )  +  − 2 2 2 2 2 2 X Y r dxdy r ad bc  = ( ) ( ) ( )  +   −  2 2 2 , , det 2 X Y r dXdY X Y x y r ad bc  , 因 ( ) ( )         =   c d a b x y X Y , ,  ( ) ( )         − − − =   c a d b X Y ad bc x y 1 , ,  ( ) (X Y ) ad bc x y − =   1 , , det , ( ) dXdY r ad bc ad bc I X Y r − − =  +  1 2 2 2 2  = Sgn(ad bc) ad bc r r ad bc = − −  − 2 2  